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| Aufgabe 1 | Für welche [mm] $b\in\IR$ [/mm] ist die Lösungsmenge der linearen Gleichung [mm] $2x_1+3x_2=b$ [/mm] ein Unterraum von [mm] $\IR^2$?
[/mm]
Antwortmöglichkeiten: 1) Für jedes [mm] $b\in\IR$ [/mm] , 2) Nur für $b=0$ , 3) Nur für [mm] $b\neq0$ [/mm] , 4) Für kein [mm] $b\in\IR$ [/mm] . |
| Aufgabe 2 | $U$ und $V$ seien Unterräume von [mm] $\IR^n$ [/mm] . Welche der folgenden Mengen sind nicht immmer ein Unterraum von [mm] \IR^n?
[/mm]
1) [mm] $U\cap [/mm] V$ 2) [mm] $U\cup [/mm] V$ 3) $U+V = [mm] \{x+y|x\in U, y\in V\}$ [/mm] |
Hallo zusammen,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Ich habe immernoch ziemlich Probleme mit den Unterraumkriterien.
Insbesondere eigtl. damit: Wie weise ich nach, ob gilt: [mm] w_1, w_2\in [/mm] w [mm] \Rightarrow w_1+w_2 \in [/mm] w.
Großes Dankeschön!! für jede Antwort - häng da schon 'ne ganze Weile dran.
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Hallo Sappsallap und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
ich habe mir mal erlaubt, deinen Aufgabentext zu bearbeiten, der war nciht so besonders gut leserlich 
> Für welche [mm]b\in\IR[/mm] ist die Lösungsmenge der linearen
> Gleichung [mm]2x_1+3x_2=b[/mm] ein Unterraum von [mm]\IR^2[/mm]?
> Antwortmöglichkeiten: 1) Für jedes [mm]b\in\IR[/mm] , 2) Nur für
> [mm]b=0[/mm] , 3) Nur für [mm]b\neq0[/mm] , 4) Für kein [mm]b\in\IR[/mm] .
> [mm]U[/mm] und [mm]V[/mm] seien Unterräume von [mm]\IR^n[/mm] . Welche der folgenden
> Mengen sind nicht immmer ein Unterraum von [mm]\IR^n?[/mm]
> 1) [mm]U\cap V[/mm] 2) [mm]U\cup V[/mm] 3) [mm]U+V = \{x+y|x\in U, y\in V\}[/mm]
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> Hallo zusammen,
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
>
> Ich habe immernoch ziemlich Probleme mit den
> Unterraumkriterien.
> Insbesondere eigtl. damit: Wie weise ich nach, ob gilt:
> [mm]w_1, w_2\in[/mm] w [mm]\Rightarrow w_1+w_2 \in[/mm] w.
Für gewöhnlich durch Ausrechnen und/oder durch Ausnutzen der Eigenschaften des gegebenen VR, was meinst du ganz konkret?
>
> Großes Dankeschön!! für jede Antwort - häng da schon 'ne
> ganze Weile dran.
Zu (1): Bedenke, dass der Nullvektor immer Element eines Vektorraumes sein muss, also auch eines UVR ...
Zu (2): wie sehen denn deine Ansätze aus? Was vermutest du?
Die Vereinigung zweier Unterräume ist nicht zwangsläufig wieder ein UVR, betrachte folgendes (Gegen-)Bsp.
$n=2$, also [mm] $\IR^2$ [/mm] als Grundraum, [mm] $U:=\left\{\vektor{x\\0}\mid x\in\IR\right\}$, $V:=\left\{\vektor{0\\y}\mid y\in\IR\right\}$
[/mm]
Dann ist [mm] $U\cup [/mm] V$ die x-Achse vereinigt mit der y-Achse, also das Achsenkreuz.
Aber [mm] $U\cup [/mm] V$ ist nicht abgeschlossen bzgl. der Vektoraddition, da: [mm] $v_1=\vektor{1\\0}, v_2=\vektor{0\\1}\in U\cup [/mm] V$, aber [mm] $v_1+v_2=\vektor{1\\1}\notin U\cup [/mm] V$
So, nun du wieder, wie sieht's bzgl. [mm] $U\cap [/mm] V$ aus und wie bzgl. $U+V$?
Welche Vermutung hast du?
LG
schachuzipus
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Erstmal vielen Dank für deine schnelle Reaktion + Mühe.
Um allgemein festzustellen, ob w ein Unterraum von V ist, prüfe ich 4 Kriterien:
1) w [mm] \subseteq [/mm] V
2) 0 muss dabei sein.
3) $ [mm] w_1, w_2\in [/mm] $ w $ [mm] \Rightarrow w_1+w_2 \in [/mm] $ w.
4) [mm] w_1\in [/mm] w , [mm] \lambda\in \IR [/mm] => [mm] \lambda*w \in [/mm] w
Probleme bereitet mir dabei Nr. 3 - ich weiß einfach nicht, wie man sowas überprüft. Bspw. bei den von mir angegebenen Aufgaben.
So, nun du wieder, wie sieht's bzgl. $ [mm] U\cap [/mm] V $ aus und wie bzgl. $ U+V $?
Welche Vermutung hast du?
Also - [mm] U\cap [/mm] V ist doch eigtl. der Nullvektor, oder? Und U+V die Winkelhalbierende!?
Aber wozu mache ich das überhaupt - laut dem 3ten Kriterium (also zmdst. laut meinem... vlt. ist das ja auch Mist) muss ich doch nur überprüfen, ob [mm] w_1+w_2 \in [/mm] $ w ist. Nur weiß ich einfach nicht wie...
Danke für deine Hilfe - auch schon bis hierhin!! Wie du schon merkst, bin ich mit Vektoren und Räumen nicht so besonders fit...
Viele Grüße
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> Erstmal vielen Dank für deine schnelle Reaktion + Mühe.
> Um allgemein festzustellen, ob w ein Unterraum von V ist,
> prüfe ich 4 Kriterien:
> 1) w [mm]\subseteq[/mm] V
> 2) 0 muss dabei sein.
> 3) [mm]w_1, w_2\in[/mm] w [mm]\Rightarrow w_1+w_2 \in[/mm] w.
> 4) [mm]w_1\in[/mm] w , [mm]\lambda\in \IR[/mm] => [mm]\lambda*w \in[/mm] w
>
> Probleme bereitet mir dabei Nr. 3 - ich weiß einfach nicht,
> wie man sowas überprüft. Bspw. bei den von mir angegebenen
> Aufgaben.
Hallo,
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Deine Aufagbe war ja
"Für welche $ [mm] b\in\IR [/mm] $ ist die Lösungsmenge der linearen Gleichung $ [mm] 2x_1+3x_2=b [/mm] $ ein Unterraum von $ [mm] \IR^2 [/mm] $?"
Wir betrachten hier die Lösungsmenge L der angegebenen Gleichung.
Also ist [mm] L=\{\vektor{x_1, x_2}\in \IR^2 | 2x_1+3x_2=b\} [/mm] (alle Punkte, die die Gleichung lösen). das ist eine Teilmenge des Vektorraumes [mm] \IR^2, [/mm] und Du willst wissen, ob bzw. wann es ein Unterraume ist.
Für die 3) mußt Du nun schauen, ob die Summe zweier Lösungen wieder eine Lösung ist - also in L liegt.
Seien [mm] x:=\vektor{x_1, x_2}, y:=\vektor{y_1, y_2} [/mm] in L.
Dann lösen sie die Gleichung, dh. es gilt [mm] 2x_1+3x_2=b [/mm] und ...
Es ist [mm] x+y=\vektor{x_1, x_2}+\vektor{y_1, y_2}=...
[/mm]
Um herauszufinden, ob x+y in L liegt, mußt Du dieses Ergebnis in die Gleichung einsetzen und gucken, ob#s eine wahre Aussage gibt.
Versuch's mal.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela,
auch dir erstmal Danke für die Antwort. Das trifft ganz genau mein Problem! Leider sind - auch wenn deine Hilfestellung schon ziemlich ausgeprägt war - wohl noch ein paar weitere Tipps nötig.
Dann lösen sie die Gleichung, dh. es gilt $ [mm] 2x_1+3x_2=b [/mm] $ und ...
Einfach $ [mm] 2y_1+3y_2=b [/mm] $ !?
Es ist $ [mm] x+y=\vektor{x_1, x_2}+\vektor{y_1, y_2}=... [/mm] $
Um herauszufinden, ob x+y in L liegt, mußt Du dieses Ergebnis in die Gleichung einsetzen und gucken, ob#s eine wahre Aussage gibt.
Offensichtlich liegt genau da mein Problem. Soll ich jetzt $ [mm] 2y_1+3y_2 [/mm] - b + [mm] 2x_1+3x_2 [/mm] - b = 0 $ setzen? Das scheint mir grob falsch! Auf welches Ergebnis sollte man dabei denn kommen, damit es eine "wahre Aussage ergibt"? Doch im Prinzip wieder auf $ [mm] 2x_1+3x_2=b [/mm] $, oder?
Ich bin mir sicher, dass ich mich bei dieser ganzen Unterraum-Sacheu nglaublich dumm anstelle - aber ich versuche wirklich das zu begreifen, stolpere nur immer über diesen Nachweis. Aber ich denke, jetzt bin ich des Rätsel's Lösung schon extrem nah!
Weiterhin vielen Dank für jeden, der mir trotzdem weiterhilft!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:58 Mo 29.09.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Loesungen deiner Gleichung sind doch nicht einfach jedes (x1,x2) sondern nur (x1,(b-2x1)/3) jetzt addier 2 Loesungen!
Anfangs hilft es auch manchen, mal konkret mit Zahlen zu arbeiten, also etwa mit b=3
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:23 Mo 29.09.2008 | | Autor: | Sappsallap |
Hallo Leguart,
mal wieder: danke.
Loesungen deiner Gleichung sind doch nicht einfach jedes (x1,x2) sondern nur (x1,(b-2x1)/3)
Okay, Lösungen gelten natürlich für das x1 und ein x2 im angegebenen Verhältnis zu x1.
jetzt addier 2 Loesungen!
Das ist leider das Problem... und auch wenn ich mir da langsam blöd bei vorkomme: Was soll denn das bedeuten? 2 Lösungen aus beliebig ausgewähltem x1 und dazu im Verhältnis stehendem x2?
Vlt. hilft es ja, wenn das jmd. für die Aufgabe einfach mal machen könnte!?
Ich bleib' bei: Danke bisher an alle Helfenden. Vlt. krieg ich ja doch noch die Kurve.
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> Vlt. hilft es ja, wenn das jmd. für die Aufgabe einfach
> mal machen könnte!?
Hallo,
Aufgaben "einfach mal machen" tun wir in der regel nicht.
Aber versuch doch mal das zu tun, was ich Dir dort (unten) rate.
Gruß v. Angela
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> Dann lösen sie die Gleichung, dh. es gilt [mm]2x_1+3x_2=b[/mm] und
> ...
> Einfach [mm]2y_1+3y_2=b[/mm] !?
Hallo,
ja, wenn [mm] (y_1, y_2) [/mm] in L ist, so ist [mm] 2y_1+3y_2=b.
[/mm]
Sonst wäre [mm] (y_1, y_2) [/mm] ja gar nicht in L.
>
> Es ist [mm]x+y=\vektor{x_1, x_2}+\vektor{y_1, y_2}=...[/mm]
>
> Um herauszufinden, ob x+y in L liegt, mußt Du dieses
> Ergebnis in die Gleichung einsetzen und gucken, ob#s eine
> wahre Aussage gibt.
Du hast [mm] x+y=(x_1+y_1, x_2+y_2).
[/mm]
Du mußt nun schauen, ob 2*(1.Komponente) + 3*(2.Komponente)=b stimmt.
Machen wir's mal:
[mm] 2*(x_1+y_1) [/mm] + [mm] 3*(x_2+y_2)=\underbrace{2x_1+3x_2}_{=b, wg. x\in L } [/mm] + [mm] \underbrace{2y_1+3y_2}_{=b, wg. x\in L }=2b.
[/mm]
Nun wäre zu überlegen, ob (bzw. wann )2b=b ist...
> Ich bin mir sicher, dass ich mich bei dieser ganzen
> Unterraum-Sacheu nglaublich dumm anstelle -
Es haben ganz viele am Anfang hiermit Schwierigkeiten.
Beachte leduarts Rat, mal ein konkretes Beispiel zu nehmen, z.B. b=3.
Such nun zwei Punkte, die in der Menge liegen und schau, ob die Summe auch drin ist.
Übrigens: ist (0,0) drin?
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:47 Mo 29.09.2008 | | Autor: | Sappsallap |
Whuhu, ich denke ich hab's!!! Gescheitert ist das Ganze daran, dass ich - waraum auch immer - nie daran gedacht habe, dass ich ja 2 Vektoren addiere. Auf x1 + y1, x2 + y2 bin ich also nie gekommen.
Ich werde mir das jetzt alles nochmal in Ruhe angucken und mit dieser "neuen" Information auch versuchen, eure anderen Ratschläge zu befolgen.
(Hoffentlich nicht erst vorerst) abschließend also nochmal: Tausend Dank an Schachuzipus, Leduart und natürlich Angela! Ihr wart eine extrem große Hilfe!!!
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> [mm]U[/mm] und [mm]V[/mm] seien Unterräume von [mm]\IR^n[/mm] . Welche der folgenden
> Mengen sind nicht immmer ein Unterraum von [mm]\IR^n?[/mm]
> Also - [mm]U\cap[/mm] V ist doch eigtl. der Nullvektor, oder?
Hallo,
in schachuzipus' Beispiel ist das der Nullvektor - also ein Vektorraum (nachprüfen!).
Nimm ein anderes Beispiel: Nenne zwei 2-dimensionale Unterräumes des [mm] \IR^3. [/mm] Was ist Ihr Schnitt? Vektorraum oder kein vektorraum?
> U+V die Winkelhalbierende!?
Wie ist U+V definiert?
Was bedeutet das für das Beispiel? Welche Vektoren sind da drin?
Vektorraum? Kein Vektorraum?
gehen wir in den [mm] \IR^3. [/mm] Nenne zwei eindimensionale Unterräume. Was ist deren Summe? (Definition verwenden!) Vekorraum, kein Vektorraum?
> Aber wozu mache ich das überhaupt -
Damit Du begreifst, worum es überhaupt geht, und damit Dir klar wird, ob Du daran arbeiten solltest, "Untervektorraum" zu zeigen oder zu widerlegen.
Hast Du verstanden, warum die Vereinigung kein Untervektorraum ist? Welches der Unterraumkriterien ist verletzt?
> laut dem 3ten
> Kriterium (also zmdst. laut meinem... vlt. ist das ja auch
> Mist) muss ich doch nur überprüfen, ob [mm]w_1+w_2 \in[/mm] $ w ist.
> Nur weiß ich einfach nicht wie...
Ich habe Dir das für die Aufgabe 1 schon gezeigt.
Fur z.B. [mm] U\cap [/mm] V nimmst Du für 3.)
[mm] x,y\in U\cap [/mm] V und überlegst Dir, warum die Summe x+y auch da drin ist. Beachte hierbei, daß U,V n.V. Untervektorräume des Vektorraumes [mm] \IR^n [/mm] sind.
Versuch's.
Gruß v. Angela
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