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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:08 Fr 18.12.2009 | | Autor: | schumann |
| Aufgabe | Geg.:
- Standardbasis E des R2
- Basis B mit b1=(1,-1) und b2=(3,1)
- Vektor v=(1,2)
Berechne v zur Basis B und veranschauliche den Rechenweg, wenn v bzgl Basis B in v bzgl. Basis E zurückgerechnet wird. |
Ich unterliege in Sachen Basiswechsel der ultimativen Verpeilungnullnichtscheckung und zwar so, dass es langsam peinlich wird.
[mm] v_{E}=(1,2) [/mm] weil (1,2)=1*(1,0)+2*(0,1)
Zur Basis B berechnet sich v dann:
(1,2)= [mm] x_{B} [/mm] * (1,-1) + [mm] y_{B} [/mm] * (3,1).
Das ergibt ein LGS mit den Lösungen
[mm] x_{B}=(-5/4) [/mm] und
[mm] y_{B}=(3/4)
[/mm]
->
[mm] (1,2)_{E}=( -5/4,3/4)_{B}.
[/mm]
Wenn ich das nun zurückrechnen will, müsste doch gelten:
[mm] (-5/4,3/4)_{B}=(x,y)_{E}
[/mm]
mit
[mm] (-5/4,3/4)_{B}=x_{E} [/mm] * (1,-1) + [mm] y_{E} [/mm] * (3,1).
Das gibt wieder ein LGS, dessen Lösungen
[mm] x_{E} [/mm] = 1 und
[mm] y_{E} [/mm] = 2
sein MÜSSTEN.
Das kommt bei mir aber leider nicht heraus.
Da das o. g. nicht das anspruchsvollste LGS ist, vermute ich hier einen Denkfehler.
Kann mir bitte jemand diesen Knoten im Kopf entwirren? Danke!
Ich habe diese Frage nur hier gestellt.
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Hallo schumann,
das ist glücklicherweise nur ein einfacher Denkfehler:
> Geg.:
>
> - Standardbasis E des R2
> - Basis B mit b1=(1,-1) und b2=(3,1)
> - Vektor v=(1,2)
>
> Berechne v zur Basis B und veranschauliche den Rechenweg,
> wenn v bzgl Basis B in v bzgl. Basis E zurückgerechnet
> wird.
> Ich unterliege in Sachen Basiswechsel der ultimativen
> Verpeilungnullnichtscheckung und zwar so, dass es langsam
> peinlich wird.
>
>
> [mm]v_{E}=(1,2)[/mm] weil (1,2)=1*(1,0)+2*(0,1) ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Zur Basis B berechnet sich v dann:
>
> (1,2)= [mm]x_{B}[/mm] * (1,-1) + [mm]y_{B}[/mm] * (3,1).
> Das ergibt ein LGS mit den Lösungen
> [mm]x_{B}=(-5/4)[/mm] und
> [mm]y_{B}=(3/4)[/mm]
>
> ->
> [mm](1,2)_{E}=( -5/4,3/4)_{B}.[/mm]
> Wenn ich das nun zurückrechnen will, müsste doch gelten:
>
>
> [mm](-5/4,3/4)_{B}=(x,y)_{E}[/mm]
> mit
>
>
> [mm](-5/4,3/4)_{B}=x_{E}[/mm] * (1,-1) + [mm]y_{E}[/mm] * (3,1).
![[stop]](/images/smileys/stop.gif "[stop]")
Aber das sind doch nicht Basisvektoren der Standardbasis E des [mm] \IR^2 [/mm] !
Die heißen doch (1,0) und (0,1), wie Du weiter oben schon angewandt hast.
> Das gibt wieder ein LGS, dessen Lösungen
>
>
> [mm]x_{E}[/mm] = 1 und
> [mm]y_{E}[/mm] = 2
>
> sein MÜSSTEN.
...sind sie dann auch.
> Das kommt bei mir aber leider nicht heraus.
>
> Da das o. g. nicht das anspruchsvollste LGS ist, vermute
> ich hier einen Denkfehler.
>
> Kann mir bitte jemand diesen Knoten im Kopf entwirren?
> Danke!
Jetzt besser?
lg
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:48 Fr 18.12.2009 | | Autor: | schumann |
Danke reverend!
> Wenn ich das nun zurückrechnen will, müsste doch gelten:
>
>
> $ [mm] (-5/4,3/4)_{B}=(x,y)_{E} [/mm] $
> mit
>
>
> $ [mm] (-5/4,3/4)_{B}=x_{E} [/mm] $ * (1,-1) + $ [mm] y_{E} [/mm] $ * (3,1).
Aber das sind doch nicht Basisvektoren der Standardbasis E des $ [mm] \IR^2 [/mm] $ !
Die heißen doch (1,0) und (0,1), wie Du weiter oben schon angewandt hast.
Frage hierzu:
WAs muss ich jetz mit der Standardbasis machen? Als Linearkombination der B-Basisvektoren formulieren?
(1,0) = x*(1,-1) + y*(3,1)
und für (0,1) selbiges?
Kann ich mir nciht vorstellen, dann hab ich ja plötzlich 4 Werte, ich will aber nur 2, und zwar 1 und 2. :)
??
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Hallo nochmal,
so wie ich die Aufgabe verstehe (die ja etwas lustig formuliert ist), sollst Du jetzt so tun, als wüsstest Du nur [mm] \vec{v}_B=(-5/4,3/4)_{B} [/mm] und solltest also nun [mm] \vec{v}_E [/mm] bestimmen.
Das ist nun allerdings unkompliziert, weil Du die Beziehung zwischen den beiden Basen schon in der richtigen Form kennst, also die Angabe der Basisvektoren von B in der Basisform der Basis E.
[mm] \vec{v}_B=\vektor{-\bruch{5}{4}\\\bruch{3}{4}}_{B}=-\bruch{5}{4}\vektor{1\\-1}_E+\bruch{3}{4}\vektor{3\\1}_E=\bruch{1}{4}\vektor{-5+9\\5+3}_E=\vektor{1\\2}_E
[/mm]
...was ja kein überraschendes Ergebnis ist.
lg
rev
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:31 Fr 18.12.2009 | | Autor: | schumann |
Ach das sieht gut aus! Danke!
Mcih irritiert, dass die Basisvektoren für Basis B, die nicht die Einheits basis ist, dass diese Basisvektoren jeoch (trotzdem) zur Basis E geschrieben sind.
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