Vektor im Unterraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:49 Mi 10.11.2010 | | Autor: | sissenge |
| Aufgabe | Gegeben seiender Unterraum U des [mm] R^3 [/mm] und die Vektoren b1 und b2:
U:= span ((1,3,5);(-1,1,-3);(2,4,9))
b1 = (0,6,3)
b2= (5,-1,2)
Prüfen Sie, ob die Vektoren b1 und b2 in U liegen. |
Jetzt habe ich eine Matrix aufgestellt, mit den drei Vektoren des Unterraum und die rechte SPalte ist z.B. b1
Denn es muss ja gelten:
[mm] \lambda [/mm] v1 + [mm] \mu [/mm] v2 + [mm] \gamma [/mm] v3 = b1
Dann habe ich mit Gauß gelöst und habe als Lösungsvektor für [mm] \lambda \mu [/mm] und [mm] \gamma
[/mm]
etwas in Abhängigkeit von [mm] \gamma [/mm] rausbekommen
dann habe ich für [mm] \gamma [/mm] den 3.wert des Vektors von b1 eingesetzt und geschaut was dann heraus kommt.
Der daraus entstandene Vektor entspricht NICHT b1 heißt das, dass b1 nicht in U liegt??
Für b2 kommt in der Matrize ein Widerspruch, heißt das, dass b2 auch nicht in U liegt???
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> Gegeben seiender Unterraum U des [mm]R^3[/mm] und die Vektoren b1
> und b2:
>
> U:= span ((1,3,5);(-1,1,-3);(2,4,9))
> b1 = (0,6,3)
> b2= (5,-1,2)
>
> Prüfen Sie, ob die Vektoren b1 und b2 in U liegen.
> Jetzt habe ich eine Matrix aufgestellt, mit den drei
> Vektoren des Unterraum und die rechte SPalte ist z.B. b1
> Denn es muss ja gelten:
> [mm]\lambda[/mm] v1 + [mm]\mu[/mm] v2 + [mm]\gamma[/mm] v3 = b1
>
> Dann habe ich mit Gauß gelöst und habe als Lösungsvektor
> für [mm]\lambda \mu[/mm] und [mm]\gamma[/mm]
> etwas in Abhängigkeit von [mm]\gamma[/mm] rausbekommen
>
> dann habe ich für [mm]\gamma[/mm] den 3.wert des Vektors von b1
> eingesetzt und geschaut was dann heraus kommt.
>
> Der daraus entstandene Vektor entspricht NICHT b1 heißt
> das, dass b1 nicht in U liegt??
Hallo,
statt Deine Rechenstory zu erzählen, poste doch lieber mal Deine Rechnung. Wenn wir diese sehen, können wir Dir sicher helfen.
So muß man mutmaßen, was Du meinst.
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> Für b2 kommt in der Matrize
Matrix
> ein Widerspruch, heißt das,
> dass b2 auch nicht in U liegt???
Ja.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:22 Mi 10.11.2010 | | Autor: | sissenge |
Ok, also Aufgabenstellung ist hoffentlich klar..
Dann habe ich :
[mm] \lambda [/mm] v1 + [mm] \mu [/mm] v2 + [mm] \gamma [/mm] v3 = b
[mm] \pmat{ 1 & -1 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & 4 & 6 \\ 5 & -3 & 9 & 3 }
[/mm]
Dann habe ich das Umgeformt und am Ende kommt das:
[mm] \pmat{ 1 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & - \bruch{1}{2} & \bruch{3}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
daraus habe ich geschlossen, dass :
aus 2. Zeile:
[mm] \mu [/mm] - 0,5 [mm] \gamma [/mm] = [mm] \bruch{3}{2}
[/mm]
nach [mm] \mu [/mm] auflösen
[mm] \mu [/mm] = [mm] \bruch{3}{2} [/mm] + 0,5 [mm] \gamma
[/mm]
aus 1.Zeile:
[mm] \lambda [/mm] - [mm] \mu [/mm] + 2 [mm] \gamma [/mm] = 0
[mm] \mu [/mm] einsetzen
[mm] \lambda [/mm] = [mm] \bruch{3}{2} [/mm] - [mm] \bruch{3}{2} \gamma
[/mm]
daraus ergibt sich [mm] b_{x} [/mm] = ( [mm] \bruch{3}{2} [/mm] - [mm] \bruch{3}{2} \gamma [/mm] , [mm] \bruch{3}{2} [/mm] + 0,5 [mm] \gamma [/mm] , [mm] \gamma [/mm] )
dann habe ich gesagt es muss b1 =bx gelten und habe deshalb für [mm] \gamma [/mm] 3 eingesetzt
dann ergibt sich der Vektor [mm] b_{x} [/mm] (3) = ( -3, 3 ,3 ) und dies ist ungleich b1 deshlab liegt b1 nicht in U
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> Ok, also Aufgabenstellung ist hoffentlich klar..
Hallo,
ja.
>
> Dann habe ich :
>
> [mm]\lambda[/mm] v1 + [mm]\mu[/mm] v2 + [mm]\gamma[/mm] v3 = b
>
> [mm]\pmat{ 1 & -1 & 2 & 0 \\
3 & 1 & 4 & 6 \\
5 & -3 & 9 & 3 }[/mm]
>
> Dann habe ich das Umgeformt und am Ende kommt das:
>
> [mm]\pmat{ 1 & -1 & 2 & 0 \\
0 & 1 & - \bruch{1}{2} & \bruch{3}{2} \\
0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> daraus habe ich geschlossen, dass :
>
> aus 2. Zeile:
> [mm]\mu[/mm] - 0,5 [mm]\gamma[/mm] = [mm]\bruch{3}{2}[/mm]
>
> nach [mm]\mu[/mm] auflösen
>
> [mm]\mu[/mm] = [mm]\bruch{3}{2}[/mm] + 0,5 [mm]\gamma[/mm]
>
> aus 1.Zeile:
>
> [mm]\lambda[/mm] - [mm]\mu[/mm] + 2 [mm]\gamma[/mm] = 0
> [mm]\mu[/mm] einsetzen
>
> [mm]\lambda[/mm] = [mm]\bruch{3}{2}[/mm] - [mm]\bruch{3}{2} \gamma[/mm]
Bis hierher ist alles in bester Ordnung.
Jetzt kommt der Denkfehler:
>
> daraus ergibt sich [mm]b_{x}[/mm] = ( [mm]\bruch{3}{2}[/mm] - [mm]\bruch{3}{2} \gamma[/mm] , [mm]\bruch{3}{2}[/mm] + 0,5 [mm]\gamma[/mm] , [mm]\gamma[/mm] )
>
> dann habe ich gesagt es muss b1 =bx gelten und habe deshalb
> für [mm]\gamma[/mm] 3 eingesetzt
Du hast jetzt ausgerechnet, daß alle Lösungen Deiner Gleichung $ [mm] \lambda [/mm] $ [mm] v_1 [/mm] + $ [mm] \mu [/mm] $ [mm] v_2 [/mm] + $ [mm] \gamma [/mm] $ v3 = [mm] b_1 [/mm] von der Gestalt
[mm] \vektor{\lambda\\\mu\\\gamma}=\vektor{\bruch{3}{2}- \bruch{3}{2} \gamma \\ \bruch{3}{2}+ 0,5 \gamma$\\ \gamma}
[/mm]
sind.
Das bedeutet: egal, welche zahl Du Dir für [mm] \gamma [/mm] aussuchst, mit diesem
[mm] \gamma, \lambda$ [/mm] = [mm] $\bruch{3}{2}$ [/mm] - [mm] $\bruch{3}{2} \gamma$ [/mm] und [mm] $\mu$ [/mm] = [mm] $\bruch{3}{2}$ [/mm] + 0,5 [mm] $\gamma$ [/mm] hast Du eine Lösung der Gleichung $ [mm] \lambda [/mm] $ [mm] v_1 [/mm] + $ [mm] \mu [/mm] $ [mm] v_2 [/mm] + $ [mm] \gamma [/mm] $ v3 = [mm] b_1 [/mm] gefunden.
Probier' das jetzt mal aus.
Besonders bequem ist natürlich [mm] \gamma=0, [/mm] aber Du solltest es auch ruhig mit [mm] \gamma [/mm] =3 (wie zuvor) versuchen.
Erkenntnis, da Du [mm] b_1 [/mm] schreiben kannst als Linearkombinationvon [mm] v_1, v_2, v_3, [/mm] liegt [mm] b_1 [/mm] in dem von den drei Vekoren aufgespannten Unterraum des [mm] \IR^3.
[/mm]
Gruß v. Angela
>
> dann ergibt sich der Vektor [mm]b_{x}[/mm] (3) = ( -3, 3 ,3 ) und
> dies ist ungleich b1 deshlab liegt b1 nicht in U
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:41 Do 11.11.2010 | | Autor: | sissenge |
Also das heißt obwohl ich aus [mm] b_{x} [/mm] = ( [mm] \bruch{3}{2} [/mm] - [mm] \bruch{3}{2} \gamma [/mm] , [mm] \bruch{3}{2} [/mm] + 0,5 [mm] \gamma [/mm] , [mm] \gamma [/mm] )
nich auf b1 komme liegt b1 trotzdem in U???
was bringt mir dann bx ???
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> Also das heißt obwohl ich aus [mm]b_{x}[/mm] = ( [mm]\bruch{3}{2}[/mm] -
> [mm]\bruch{3}{2} \gamma[/mm] , [mm]\bruch{3}{2}[/mm] + 0,5 [mm]\gamma[/mm] ,
> [mm]\gamma[/mm] )
>
> nich auf b1 komme liegt b1 trotzdem in U???
>
> was bringt mir dann bx ???
Hallo,
vielleicht liest Du mein Post einfach nochmal gründlich - ich hab' das doch nicht zum Ignorieren getippt.
Danach können wir uns weiter unterhalten.
Nur nochmal ganz kurz zusammengefaßt: mit Deinem Gleichungssystem hast Du die Koeffizienten [mm] \lambda, \mu [/mm] und [mm] \gamma [/mm] ausgerechnet, mit denen Deine Gleichung lösbar ist.
Gruß v. Angela
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:03 Do 11.11.2010 | | Autor: | sissenge |
ok... jetzt habe ich dann in die Gleichung [mm] \lambda [/mm] v1 + [mm] \mu [/mm] v2 + [mm] \gamma [/mm] v3 = b1 alles eingesetzt was ich habe
Dann steht folgendes da:
[mm] (\bruch{3}{2} [/mm] - [mm] \bruch{3}{2} \gamma [/mm] ) [mm] \vektor{1 \\ 3 \\ 5} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} \gamma \vektor{-1 \\ 1 \\ -3} [/mm] + [mm] \gamma \vektor{2 \\ 4\\ 9} [/mm] = [mm] \vektor [/mm] { [mm] 0\\ [/mm] 6 [mm] \\ [/mm] 3 }
Soll ich jetzt nach [mm] \gamma [/mm] auflösen??
Wie multipliziere ich dann
[mm] (\bruch{3}{2} [/mm] - [mm] \bruch{3}{2} \gamma [/mm] ) [mm] \vektor{1 \\ 3 \\ 5}
[/mm]
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> ok... jetzt habe ich dann in die Gleichung [mm]\lambda[/mm] v1 + [mm]\mu[/mm]
> v2 + [mm]\gamma[/mm] v3 = b1 alles eingesetzt was ich habe
>
> Dann steht folgendes da:
>
> [mm](\bruch{3}{2}[/mm] - [mm]\bruch{3}{2} \gamma[/mm] ) [mm]\vektor{1 \\
3 \\
5}[/mm]
> + [mm]\bruch{1}{2}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2} \gamma \vektor{-1 \\
1 \\
-3}[/mm]
> + [mm]\gamma \vektor{2 \\
4\\
9}[/mm] = [mm]\vektor[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{ [mm]0\\
[/mm] 6 [mm]\\
[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
3 }
>
> Soll ich jetzt nach [mm]\gamma[/mm] auflösen??
Nein.
Hatte ich Di nicht gesagt, daß Du mit jedem beliebigen [mm] \gamma [/mm] ein Lösung Deiner Gleichung hast? Doch, hatte ich.
Ich hatte sogar gesagt: teste es mal mit [mm] \gamma [/mm] =0 und danach mit [mm] \gamma=3 [/mm] und verschaff Dir so einen Eindruck davon, daß es stimmt.
das Ziel war doch, eine Linearkomination zu finden, die den [mm] Vektor\vektor{0\\6\\3} [/mm] ergibt.
Du kannst dir jetzt sogar ganz viele solcher Linearkombinationen basteln.
>
> Wie multipliziere ich dann
> [mm](\bruch{3}{2}[/mm] - [mm]\bruch{3}{2} \gamma[/mm] ) [mm]\vektor{1 \\
3 \\
5}[/mm]
Puh. Es mangelt echt am Elementarsten...
So:
[mm] ...=\vektor{(\bruch{3}{2}- \bruch{3}{2} \gamma )*1\\(\bruch{3}{2}-\bruch{3}{2} \gamma$ )*3\\(\bruch{3}{2}-\bruch{3}{2} \gamma )*5}.
[/mm]
Und wenn du vorher für [mm] \gamma [/mm] was einsetzt, bist Du alle Sorgen los.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:42 Do 11.11.2010 | | Autor: | sissenge |
Tut mir furchtbar leid, aber es gibt an den Unis ja keine Mathematiker, di IRGENDWAS erklären können!!!
Dann kommt erstaunlicher weise immer der gleiche vektor raus...
Was sagt mir das dann???
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:56 Do 11.11.2010 | | Autor: | sissenge |
Das heißt doch ich kann den b1 durch keine Linearkombination von [mm] \lambda \mu [/mm] und [mm] \gamma [/mm] bilden also liegt b1nicht in U
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Hallo sissenge,
> Tut mir furchtbar leid, aber es gibt an den Unis ja keine
> Mathematiker, di IRGENDWAS erklären können!!!
Ja, daran wir's liegen!
Ist ja immer so, in der Schule lag es auch nur an den Lehrern, die nix erklären können.
Wenn man mal was nicht versteht, ist es auch strengstens verboten, sich mal auf eigene Faust schlau zu machen.
Etwa im Internet nach einer Erklärung zu suchen oder gar - oh Graus - in ein Buch zu schauen ...
>
> Dann kommt erstaunlicher weise immer der gleiche vektor
> raus...
Wann? Was genau meinst du?
Setze für [mm]\gamma[/mm] irgendwas ein, der Einfachheit halber [mm]\gamma=0[/mm]
Dann lautet (für dieses spezielle [mm]\gamma[/mm]) die LK:
[mm]\frac{3}{2}\cdot{}\vektor{1\\
3\\
5}+\frac{3}{2}\cdot{}\vektor{-1\\
1\\
-3}+0\cdot{}\vektor{2\\
4\\
9}=\vektor{0\\
6\\
3}[/mm]
Hieran siehst du auch (nochmal), dass sogar die beiden Vektoren [mm]\vektor{1\\
3\\
5},\vektor{-1\\
1\\
-3}[/mm] reichen, um [mm]\vektor{0\\
6\\
3}[/mm] zu erzeugen, sprich: [mm]\vektor{0\\
6\\
3}[/mm] liegt im Spann der ersten beiden Vektoren, damit natürlich erst recht im Spann aller drei Vektoren ...
Setzte auch mal für [mm]\gamma[/mm] ein oder zwei andere Werte ein, um andere Linearkombinationen zu erhalten ...
Dann bekommst du ein bisschen ein Gefühl dafür - schaden kann das nicht ...
>
> Was sagt mir das dann???
Gruß
schachuzipus
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