Vektor in Basis darstellen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Stellen Sie den Vektor x in der Basis b1,b2,b3 dar.
a) Arbeiten Sie mit dem Skalarprodukt.
b) Verwenden sie eine Basistransformationsmatrix.
x=(3 1 3)t , b1=(1 1 0)t, b2=(-1 1 0)t,b3=(0 0 1)t |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
okey werd ich in zukunft machen ! 
danke für deine schnelle Antwort !!
Zu a) könnte es so funktionieren :
x=<x,b1>b1+<x,b2>b2+<x,b3>b3
und muss ich die Basisvektoren dafür auf die Länge 1 bringen ??
zu b) ist invertiert = transponiert ? dann hab ich es verstanden !
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:57 Mi 01.02.2006 | | Autor: | kokiweb |
willkommen Ich werde gern versuchen, Dir zu helfen, weil ich das Thema gerade selbst nochmal hinter mir hatte:
Hinweis: Invertiert ist nicht Transponiert. Schlage dazu mal am besten im Index eines Mathematikbuches nach.
Einiges zur Inversen, weil das gerade für den Basiswechsel und lineare Abbildungen ganz wichtig ist:
- Mit E bezeichnet man meistens die Einheitsmatrix (mit Einsen auf der Haptdiagonalen, sonst Nullen).
- Mit [mm] M^{-1} [/mm] bezeichnet man die Inverse von M.
Die Zusammenhänge:
(1) [mm] M*M^{-1}=E \gdw M^{-1}*M=E [/mm] (Man beachte, dass beide Fälle wichtig sind, da die Matrizenmultiplikation NICHT kommutativ ist).
(2) M*E=M (und wieder umgekehrt, aber man beachte nach wie vor, dass die Matrizenmultiplikation nicht kommutativ ist!)
Was soll das alles?
Wenn man eine Matrix M invertiert, errechnet man ihre Inverse. Dies geschieht, indem man durch Zeilenumformungen aus M die Einheitsmatrix formt und die selben Zeilenumformungen auch mit der Einheitsmatrix vollzieht. Am besten setzt man beide Matrizen (die Einheitsmatrix und die zu invertierende dabei nebeneinander). Die Ergebnisse der Zeilenumformungen an der Einheitsmatrix stellen dann die Inverse von M dar.
z.B. ist
[mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 0}^{-1} [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & \bruch{1}{3} \\ \bruch{1}{2} & -\bruch{1}{6}}
[/mm]
Nicht jede, aber diese Matrix ist invertierbar. Später erfährt man dazu noch ganz interessante Zusammenhänge...
Nun zu Deiner Aufgabe:
Dein Vektor x soll laut Aufgabe durch die Basis (b1,b2,b3) dargestellt werden. Dabei sollte man die Vektoren am besten in der Spaltenschreibweise darstellen:
[mm] \underbrace{\vektor{3 \\ 1 \\ 3}}_{x}=\underbrace{t_{1}*\vektor{1 \\ 1 \\ 0}}_{b_{1}}+\underbrace{t_{2}*\vektor{-1 \\ 1 \\ 0}}_{b_{2}}+\underbrace{t_{3}*\vektor{0 \\ 0 \\ 1}}_{b_{3}}
[/mm]
, wobei [mm] t_{1}, t_{2}, t_{3} \in \IR [/mm] und [mm] x,b_{1},b_{2},b_{3} \in \IR^{3}
[/mm]
Jetzt müssen wir die richtigen Parameter [mm] t_{1}, t_{2}, t_{3} [/mm] finden, sodass x durch [mm] b_{1},b_{2},b_{3} [/mm] dargestellt wird. Falls es unmöglich ist, diese Parameter zu finden, liegt x nicht in dem Vektorraum, welcher von der Basis [mm] (b_{1},b_{2},b_{3}) [/mm] aufgespannt wird.
Die Parameter [mm] t_{1}, t_{2}, t_{3} [/mm] errechnet man durch Lösung des LGS
3 = [mm] 1*t_{1} [/mm] + [mm] 3*t_{2} [/mm] + [mm] 0*t_{3}
[/mm]
1 = [mm] 1*t_{1} [/mm] + [mm] 1*t_{2} [/mm] + [mm] 0*t_{3}
[/mm]
3 = [mm] 0*t_{1} [/mm] + [mm] 3*t_{2} [/mm] + [mm] 1*t_{3}
[/mm]
und erhält dann
[mm] t_{1}=2
[/mm]
[mm] t_{2}=-1
[/mm]
[mm] t_{3}=3
[/mm]
Also ist
[mm] \underbrace{\vektor{3 \\ 1 \\ 3}}_{x}=\underbrace{2*\vektor{1 \\ 1 \\ 0}}_{2*b_{1}}+\underbrace{(-1)*\vektor{-1 \\ 1 \\ 0}}_{(-1)*b_{2}}+\underbrace{3*\vektor{0 \\ 0 \\ 1}}_{3*b_{3}}
[/mm]
Nun lautet der Vektor x bzgl. der neuen Basis also nicht mehr [mm] \vektor{3 \\ 1 \\ 3}, [/mm] sondern [mm] \vektor{2 \\ -1 \\ 3}.
[/mm]
Wenn Du Dich noch nicht genau auskennst, musst Du Dir das erstmal auf der Zunge zergehen lassen, bevor Du gleich zu Basiswechselmatrizen (=Darstellungsmatrizen) übergehst.
Der Vektor [mm] \vektor{3 \\ 1 \\ 3} [/mm] ist bezüglich der "kanonischen Basis" des [mm] \IR^{3} [/mm] dargestellt, denn
[mm] \vektor{3 \\ 1 \\ 3} [/mm] = [mm] 3*\vektor{1 \\ 0 \\ 0}+1*\vektor{0 \\ 1 \\ 0}+3*\vektor{0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Verdaue das erstmal...
Sascha
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:56 Do 02.02.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi carlito,
> Zu a) könnte es so funktionieren :
>
> x=<x,b1>b1+<x,b2>b2+<x,b3>b3
>
> und muss ich die Basisvektoren dafür auf die Länge 1
> bringen ??
Ich kenne diese Formel leider nicht, deshalb kann ich dir keine sichere Antwort geben, aber angenommen, du steckst als x wieder [mm] b_1 [/mm] rein, dann sollte der Skalarwert vor [mm] b_1 [/mm] ind der Formel ja gerade 1 werden, also sollte es wohl eher so heissen:
[mm] $x=\bruch{}{}*b_1+\bruch{}{}*b_2+\bruch{}{}*b_3$
[/mm]
es gibt auch noch tiefere Zusammenhaenge zw. dem Transponieren und Invertieren (symmetrischer und orthogonaler Anteil), aber darauf will ich eigentlich nicht weiter eingehen, weil ich das selbst nachlesen muesste.
Jedenfalls ist meine obige Formel wohl richtiger, aber on sie stimmt, kann ich nicht wirklich sagen.
Zum Invertieren schau doch mal hier : Gauss-Jordan
viele Gruesse
DaMenge
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:47 Do 02.02.2006 | | Autor: | kokiweb |
Den Ansatz, dieses Problem so zu lösen, wenn man noch überhaupt nicht durchsteigt, finde ich ja bemerkenswert (im Positiven). Doch leider haut das nur im Spezialfall hin:
[mm] B=(\vektor{1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 1 \\ 0},\vektor{0 \\ 1 \\ 3}) [/mm] sei eine Basis der [mm] \IR^3
[/mm]
und [mm] x=\vektor{3 \\ 1 \\ 3} [/mm] (unser altes x)
nach der in diesem Thread aufgestellten "Skalarprodukt"-Formel gilt nun:
[mm] x=\vektor{3 \\ 1 \\ 3}=3*\vektor{1 \\ 0 \\ 0}+ [/mm] 1 [mm] *\vektor{0 \\ 1 \\ 0}+1*\vektor{0 \\ 1 \\ 3}
[/mm]
Richtig ist aber
[mm] x=\vektor{3 \\ 1 \\ 3}=3*\vektor{1 \\ 0 \\ 0}+ [/mm] 0 [mm] *\vektor{0 \\ 1 \\ 0}+1*\vektor{0 \\ 1 \\ 3}
[/mm]
Dieser Lösungsweg ist also nicht für jede Basis anwendbar, aber trotzdem bemerkenswert, da es Basen gibt, in denen es offensichtlich klappt.
Ich vermute jetzt einfach mal:
Eure Formel mit dem Skalarprodukt ist dann richtig, wenn [mm] T_{B->KB} [/mm] (wobei T "Basistransformation" heißen soll) eine Diagonalmatrix ist. Falls [mm] T_{KB->B} [/mm] keine Diagonalmatrix ist, kann die Formel falsch sein.
ABER: Wenn [mm] T_{KB->B} [/mm] eine Diagonalmatrix ist, braucht man die "Formel mit dem Skalarprodukt" nicht unbedingt, da man die gesuchten Faktoren der Linearkombination in diesem Fall (nahezu) ablesen könnte.
Ich würde bei der Aufgabe also eher von der Multiplikation mit einem Skalar ausgehen und die Sache so angehen, wie ich es bereits vorgeführt habe.
Bevor man dann zum Teil b) dieser Aufgabe kommt, sollte man Teil a) auch wirklich verstanden haben... Die Skalare (errechneten Parameter) aus Teil a) sind nämlich ein Schlüssel zu der in Teil b) verlangten Basiswelchselmatrix...
Sascha
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:05 Do 02.02.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi Sascha,
der Witz dieser Aufgabe ist es doch eben deine Haudrauf-Methode zu vermeiden, dies ist die Variante, die man zuerst lernt - neben dieser gibt es noch Alternativen - zum Beispiel die, die hier durch die beiden Aufgabenteile benutzt werden sollen.
Die Formel von mir ist übrigens richtig für orthogonal-Basen.
Für Orthonormal-Basen braucht man auch nicht mehr durch den Betrag teilen.
Ich hoffe euch ist klar, warum ?!?
(Bei orthonormal ist invertieren ja gleich transponieren und bei orthogonal muss man eben noch nach-normieren..)
Der Sinn von a) ist : das Skalarprodukt von x mit [mm] b_1 [/mm] ist die Länge der Projektion von x auf [mm] b_1
[/mm]
(dies ist aber aus obengenannten Gründen nur für normierte Basisvektoren richtig, ansonsten muss man nach-normieren)
Deshalb ist die Formel so auch ok..
(ich denke beim Gram-Schmidt-Verfahren sollte man Ähnlichkeiten erkennen)
viele Grüße
DaMenge
|
|
|
| |
|
Dankeschonmal für eure Beiträge, haben mir schon geholfen !
Zu der Projektionformel, du hast gesagt das man bei dieser formel nicht mehr durch den betrag zu teilen braucht ... meinst du damit das man sie nicht auf die Länge 1 bringen muss ?
Dann noch zur b) Bei orthonormalen Basen ist invertieren ja gleich transponieren. Heißt das ich die transpornierte matrix mein Basis mit dem Vektor multiplizieren kann und dann den Vektor in der Basis hab ??
MFG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:29 Do 02.02.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
> Zu der Projektionformel, du hast gesagt das man bei dieser
> formel nicht mehr durch den betrag zu teilen braucht ...
> meinst du damit das man sie nicht auf die Länge 1 bringen
> muss ?
Vorsicht, deine Basis ist nur othogonal nicht orthonormal !
Also musst du noch durch den Betrag teilen, also durch [mm] $$ [/mm] bei [mm] b_1 [/mm] usw...
>
> Dann noch zur b) Bei orthonormalen Basen ist invertieren ja
> gleich transponieren. Heißt das ich die transpornierte
> matrix mein Basis mit dem Vektor multiplizieren kann und
> dann den Vektor in der Basis hab ??
auch hier geht es nicht ganz so einfach, denn dies gilt nur bei orthonormalen Basisvektoren.
Wenn du jetzt die Basisvektoren zuerst normierst , dann kannst du es schon so machen - aber ich denke, dann ist auch der Sinn der Aufgabe verfehlt, denn dann hast du a) nur in Matrixschreibweise gemacht...
(so kann sich Sascha auch von der Richtigkeit der Formel überzeugen..)
Ich würde an deienr Stelle lieber mal Invertieren - mit den Link von ganz oben sollte dir das auch nicht schwer fallen...
viele Grüße
DaMenge
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:39 Do 02.02.2006 | | Autor: | carlito83 |
Also othogonal heisst das sie alle senkrecht aufeinander stehen und
orthonormal wenn sie alle senkrecht aufeinander stehen und die länge 1 haben! Berichtige mich wenn es nicht so ist, aber dann denk ich hab ich es verstanden!!
danke ihr habt echt was drauf .... !!!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:43 Do 02.02.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi carlito,
ja, das sind richtige definitionen von orthogonal bzw. orthonormal.
viele Grüße
DaMenge
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:48 Do 02.02.2006 | | Autor: | kokiweb |
Nun, das ist mir alles gar nicht so klar, weil ich die Alternativen gar nicht kenne (Wenn, dann nur als eigener Gedankengang, aber nicht in Form von Sätzen von der Uni). Danke für Deine Erläuterungen dazu.
Es wäre nur noch schön, wenn Du das, was Du in Prosa erzählst, auch mal zeigst, so wie ich meine Haudrauf-Methode gezeigt habe... Dann kann man Dich als Anfänger auch viel leichter verstehen. Ich muss gestehen, dass ich nichteinmal weiß, was eine Orthonormal-Basis ist und würde mich mehr auch über mathematische Darstellungen als über Fremdworte freuen.
Sascha
|
|
|
| |
|
Ach vllt noch ein Frage.:
wenn ich die Einheitsmatrix mit der transponierten ein Matrix multipliziere, bekomm ich dann die invertierte der Matrix ?? kann sein das ich schwachsin rede ist mir nur so gerade in den Sinn gekommen ??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:49 Do 02.02.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
nein, wenn du die Einheitsmatrix mit irgendeiner anderen Matrix multiplizierst, kommt immer die andere Matrix raus, denn die Einheitsmatrix ist das neutrale Element bzgl. der Multiplikation bei Matrizen.
Dies ist nur dann auch die Inverse, wenn die Transponierte gleich der Inversen ist...
viele Grüße
DaMenge
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:49 Do 02.02.2006 | | Autor: | kokiweb |
> (so kann sich Sascha auch von der Richtigkeit der Formel überzeugen..)
WIRKLICH überzeugen kann ich mich schlecht von dem, was Du sagst, denn es wäre schön, ein paar mathematische Zeilen dazu zu lesen.
Deshalb meine Frage, wenn ich jetzt mit einem Blatt Papier anfange...
Unsere Basis: [mm] B=(\underbrace{\vektor{1\\1\\0}}_{=:b_1},\underbrace{\vektor{-1\\1\\0}}_{=:b_2},\underbrace{\vektor{0\\0\\1}}_{=:b_1}) [/mm]
1) Ich teste, ob die Basis B orthonormal ist (d.h. [mm] $\forall{v_{1}},v_{2}\in{B}:{v_{1}}\perp{v_{2}}\wedge\parallel{v_{1}}\parallel=\parallel{v_{2}}\parallel=1$)
[/mm]
Orhogonal?
[mm] $=0$
[/mm]
[mm] $=0$
[/mm]
[mm] $=0$, [/mm] was man ja eigentlich auch schon sieht.
Frage dazu: Wäre die Basis nicht orthogonal, müsste ich die Haudrauf-Methode verwenden oder gibt es noch mehr Möglichkeiten?
Normal?
[mm] $\parallel{b_{1}}\parallel=\wurzel{2}$
[/mm]
[mm] $\parallel{b_{2}}\parallel=\wurzel{2}$
[/mm]
[mm] $\parallel{b_{3}}\parallel=1$
[/mm]
und nun? Die Vektoren sind nicht normal.
2) Jetzt müsste ich wahrscheinlich das machen, was Du als "Nachnormieren" bezeichnet hast:
Die Formel lautet deswegen dann also nicht:
[mm] \underbrace{\vektor{3\\1\\3}}_{=:x}=*b_1+*b_2+*b_3
[/mm]
sondern:
[mm] \underbrace{\vektor{3\\1\\3}}_{=:x}=\bruch{}{}*b_1+\bruch{}{}*b_2+\bruch{}{}*b_3
[/mm]
WÄRE DAS KORREKT?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:41 Fr 03.02.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hallo Sascha,
alles, was du schreibst ist richtig.
> > (so kann sich Sascha auch von der Richtigkeit der Formel
> überzeugen..)
>
> WIRKLICH überzeugen kann ich mich schlecht von dem, was Du
> sagst, denn es wäre schön, ein paar mathematische Zeilen
> dazu zu lesen.
ok - gleich - moment..
> Frage dazu: Wäre die Basis nicht orthogonal, müsste ich die
> Haudrauf-Methode verwenden oder gibt es noch mehr
> Möglichkeiten?
Es gibt ja immer auch die Möglichkeit über die Basistransformationsmatrix.
Und dies wird dann auch gleich der Schritt zu der anderen Formel mit den Skalarprodukten..
> und nun? Die Vektoren sind nicht normal.
>
> 2) Jetzt müsste ich wahrscheinlich das machen, was Du als
> "Nachnormieren" bezeichnet hast:
genau !
Also gehen wir mal der Einfachheit wegen von einer orthNORMalen Basis aus, dann lautet meine behauptete Formel ja :
[mm] $\cdot{}b_1+\cdot{}b_2+\cdot{}b_3 [/mm] $
also ist das bzgl dieser Basisdarstellung gerade :
[mm] $\vektor{\\\\}=\underbrace{\vektor{b_1^T\\b_2^T\\b_3^T}}_{als Matrix} [/mm] * x [mm] =\underbrace{\vektor{b_1&b_2&b_3}^T}_{als Matrix} [/mm] * x$
und jetzt wissen wir ja, dass hier invertieren gleich transponieren ist und deswegen ist die transponierte Matrix gleich der Basistransformationsmatrix, die man verwenden würde, wenn man es damit gemacht hättte.
(Habe jetzt erst deine andere Mitteilung gelesen : kennst du denn die  Transformationsmatrix schon genug um sie als "wahr" zu betrachten, soll heißen : ist die Gleichheit zwischen TrafoMatrix und dieser Matrix, die durch das Skalarprodukt entsteht, für dich schon Argument genug um die Richtigkeit der Formel für orthonormale Basen zu sehen?)
So, bei orthogonalen Vektoren sollte es ähnlich gehen:
[mm] $\bruch{}{}*b_1+\bruch{}{}*b_2+\bruch{}{}*b_3$
[/mm]
[mm] $=*\bruch{1}{}*b_1+*\bruch{1}{}*b_2+*\bruch{1}{}*b_3$
[/mm]
also ist das bzgl dieser Basisdarstellung gerade :
[mm] $\vektor{\bruch{}{}\\\bruch{}{}\\\bruch{}{}}=\underbrace{\vektor{\bruch{1}{}*b_1^T\\\bruch{1}{}*b_2^T\\\bruch{1}{}*b_3^T}}_{als Matrix} [/mm] * x [mm] =\underbrace{\vektor{\bruch{1}{}*b_1&\bruch{1}{}*b_2&\bruch{1}{}*b_3}^T}_{als Matrix} [/mm] * x$
mist, nun hänge ich auch gerade ein wenig fest : die Matrix darf man zwar jetzt auch als Invertierte schreiben, denn die Einträge sind ja jetzt Nachnormiert, aber dies ist ja nicht ohne weiteres dasselbe wie die Basistransformationsmatrix, die wir eigentlich suchen
(das Inverse und die Faktoren innerhalb der Spalten stören mich noch etwas)
aber ich werde darüber mal nachdenken müssen...
(also bewiesen ist dies für orthogonale Vektoren noch nicht !!
im kopf war das gestern alles so logisch...)
viele Grüße
DaMenge
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:13 Fr 03.02.2006 | | Autor: | DaMenge |
Jetzt weiß ich es wieder..
es hat etwas mit dem Zusammenhang zwischen Invertieren, transponieren und symmetrischen Matrizen zu tun:
ein wichtiges Lemma besagt :
Jede reelle invertierbare Matrix A, kann eindeutig als Produkt einer orthogonalen Matrix O ( wo also gilt [mm] $O^T=O^{-1}$) [/mm] und einer symmetrischen Matrix S (also [mm] S^T=S) [/mm] geschrieben werden : A=OS
siehe zum Beispiel ![[]](/images/popup.gif) HIER(Formel (12.22))
man muss hier nochmal kurz vorsichtig sein :
eine orthogonale Matrix hat orthoNORMIERTE Spalten !!!
(siehe zum Beispiel im Fischer ca Seite 300++)
So, was bedeutet dies nun für unser Problem ?
Die Matrix : $ [mm] \vektor{b_1 & b_2 & b_3} [/mm] $
ist ja invertierbar, weil es linear unabhängige Spalten sind, also gilt:
$ [mm] \vektor{b_1&b_2&b_3}=\vektor{\bruch{1}{\parallel b_1 \parallel }*b_1&\bruch{1}{\parallel b_2 \parallel }*b_2&\bruch{1}{\parallel b_3 \parallel }*b_3}*\vektor{\parallel b_1 \parallel *e_1&\parallel b_2 \parallel *e_2&\parallel b_3 \parallel *e_3}$
[/mm]
wobei [mm] e_1 [/mm] der erste Einheitsvektor sein soll, die zweite Matrix ist also einfach die Diagonalmatrix mit den Beträgen der Vektoren auf der Diagonalen
so, dann ist die BasistrafoMatrix, die wir eigentlich verwenden müssten :
(beim invertieren vertauschen sich auch die faktoren)
[mm] $\vektor{b_1&b_2&b_3}^{-1}=\vektor{\bruch{1}{\parallel b_1 \parallel }*e_1&\bruch{1}{\parallel b_2 \parallel }*e_2&\bruch{1}{\parallel b_3 \parallel }*e_3}*\vektor{\bruch{1}{\parallel b_1 \parallel }*b_1&\bruch{1}{\parallel b_2 \parallel }*b_2&\bruch{1}{\parallel b_3 \parallel }*b_3}^T$
[/mm]
nun ist aber $ [mm] (\parallel [/mm] a [mm] \parallel )^2= [/mm] $
also :
[mm] $\vektor{b_1&b_2&b_3}^{-1}=\vektor{\bruch{1}{(\parallel b_1 \parallel)^2 }*b_1&\bruch{1}{(\parallel b_2 \parallel)^2 }*b_2&\bruch{1}{(\parallel b_3 \parallel)^2 }*b_3}^T [/mm] = [mm] \vektor{\bruch{1}{}*b_1&\bruch{1}{}*b_2&\bruch{1}{}*b_3}^T$
[/mm]
also kann man die BasistrafoMatrix zu genau der Matrix umformen, die ich oben in der Antwort hergeleitet hatte...
puuhhh - war doch nicht ganz so trivial - hatte nämlich das Quadrat vergessen gehabt^^
viele Grüße
DaMenge
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:54 Do 02.02.2006 | | Autor: | carlito83 |
Vielen dank.. laß euch auch jetzt mal ein wenig in ruhe
Schönen Abend noch
bis dann
cu
|
|
|
|
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
,
