Vektor \in \IR^3 injektiv auf? < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Huhu und gute Morgen!
Ich muss einen Definitionsbereich finden, sodass
[mm] \vektor{ p * cos (x) \\ p * sin(x) \\ t} [/mm] , p,t [mm] \in \IR
[/mm]
injektiv ist.
Würde ich jetzt x auf [0, [mm] \pi [/mm] ] einschränken, so wär mein cosinus injektiv, aber nicht der Sinus, aber wäre trotzdem der Vektor injektiv oder? Da die zweite Komponente evtl sich wiederholen könnte aber die erste nicht zweimal vorkommt
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:53 Fr 06.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> Huhu und gute Morgen!
>
> Ich muss einen Definitionsbereich finden, sodass
>
> [mm]\vektor{ p * cos (x) \\ p * sin(x) \\ t}[/mm] , p,t [mm]\in \IR[/mm]
>
> injektiv ist.
>
> Würde ich jetzt x auf [0, [mm]\pi[/mm] ] einschränken, so wär
> mein cosinus injektiv, aber nicht der Sinus, aber wäre
> trotzdem der Vektor injektiv oder? Da die zweite Komponente
> evtl sich wiederholen könnte aber die erste nicht zweimal
> vorkommt
Wenn ich Dich richtig verstehe, so suchst Du eine Teilmenge M von [mm] \IR, [/mm] so dass Die Funktion
[mm] $f:\IR \times [/mm] M [mm] \times \IR \to \IR^3,$
[/mm]
[mm] $f(p,x,t):=\vektor{ p \cdot{} cos (x) \\ p \cdot{} sin(x) \\ t} [/mm] $
injektiv ist.
Das wird Dir aber nicht gelingen,falls M mehr als ein Element enthält, denn es ist
[mm] $f(0,x,0)=\vektor{ 0 \\ 0\\ 0} [/mm] $ für alle x [mm] \in [/mm] M.
FRED
|
|
|
| |
|
> > Huhu und gute Morgen!
> >
> > Ich muss einen Definitionsbereich finden, sodass
> >
> > [mm]\vektor{ p * cos (x) \\ p * sin(x) \\ t}[/mm] , p,t [mm]\in \IR[/mm]
>
> >
> > injektiv ist.
> >
> > Würde ich jetzt x auf [0, [mm]\pi[/mm] ] einschränken, so wär
> > mein cosinus injektiv, aber nicht der Sinus, aber wäre
> > trotzdem der Vektor injektiv oder? Da die zweite Komponente
> > evtl sich wiederholen könnte aber die erste nicht zweimal
> > vorkommt
>
>
> Wenn ich Dich richtig verstehe, so suchst Du eine Teilmenge
> M von [mm]\IR,[/mm] so dass Die Funktion
>
> [mm]f:\IR \times M \times \IR \to \IR^3,[/mm]
>
> [mm]f(p,x,t):=\vektor{ p \cdot{} cos (x) \\ p \cdot{} sin(x) \\ t}[/mm]
>
> injektiv ist.
>
> Das wird Dir aber nicht gelingen,falls M mehr als ein
> Element enthält, denn es ist
>
> [mm]f(0,x,0)=\vektor{ 0 \\ 0\\ 0}[/mm] für alle x [mm]\in[/mm] M.
>
> FRED
mm blöd, würde meine Argumentation denn hinhauen, wenn ich p nur auf [mm] \IR [/mm] ohne {0} betrachte?
|
|
|
| |
|
Hallo,
beachte, was dir Angela schon geschrieben hat. Damit sollte es einleuchten, dass
[mm] p\ne{0}
[/mm]
noch nicht ganz ausreicht, was aber gar nicht so ganz leicht ist einzusehen: p skaliert ja die beiden oberen Koordinaten, nennen wir sie [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2. [/mm] Dabei gibt es für [mm] x\in[0;2\pi) [/mm] nur zwei Stellen, an denen cos(x)=sin(x) gilt. Dabei nehmen die beiden Funktionen die Werte [mm] \wurzel{2}/2 [/mm] oder [mm] -\wurzel{2}/2 [/mm] an. Also gibt es unterschiedliche Paare (p,x), so dass bei festem t deine Funktion den gleichen Wert annimmt, nämlich für [mm] (p;\pi/2;t) [/mm] und für [mm] (-p;3/2\pi;t).
[/mm]
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Hallo,
ich finde die Überschrift und auch die gepostete Fragestellung etwas dubios.
Wie lautet der Originaltext der Aufgabe?
"Injektiv" ist ja nun eine Eigenschaft, die Funktionen haben können - und nicht Vektoren.
Offenbar geht es um eine vektorwertige Funktion.
Aber Du mußt schon verraten, ob wir über eine Funktion, die aus einer Teilmenge des [mm] \IR^3 [/mm] heraus abbildet, reden, also über
[mm] f(p,x,t):=\vektor{ p * cos (x) \\ p * sin(x) \\ t}
[/mm]
oder ob es um die Funktion [mm] f:\IR\to \IR^3 [/mm] mit
[mm] f(x):=\vektor{ p * cos (x) \\ p * sin(x) \\ t} [/mm] , p,t fest
geht, oder um etwas ganz anderes.
Letztere beschreibt [mm] fürp\not=0 [/mm] einen Kreis,
und für [mm] x\in [0,2\pi[ [/mm] sollte die Funktion injektiv sein.
LG Angela
|
|
|
| |
|
Hallo,
>
> ich finde die Überschrift und auch die gepostete
> Fragestellung etwas dubios.
> Wie lautet der Originaltext der Aufgabe?
>
> "Injektiv" ist ja nun eine Eigenschaft, die Funktionen
> haben können - und nicht Vektoren.
>
> Offenbar geht es um eine vektorwertige Funktion.
>
> Aber Du mußt schon verraten, ob wir über eine Funktion,
> die aus einer Teilmenge des [mm]\IR^3[/mm] heraus abbildet, reden,
> also über
>
> [mm]f(p,x,t):=\vektor{ p * cos (x) \\ p * sin(x) \\ t} [/mm]
>
> oder ob es um die Funktion [mm]f:\IR\to \IR^3[/mm] mit
>
> [mm]f(x):=\vektor{ p * cos (x) \\ p * sin(x) \\ t} [/mm] , p,t
> fest
>
> geht, oder um etwas ganz anderes.
>
> Letztere beschreibt [mm]fürp\not=0[/mm] einen Kreis,
> und für [mm]x\in [0,2\pi[[/mm] sollte die Funktion injektiv sein.
>
> LG Angela
Entschuldige meine Ungenauigkeit! Eigentlich geht es um f(x), nicht f(p,x,t), p,t sind [mm] \in \IR [/mm] .
Ich habe mich für meine Aufgabe aber gefragt (unabhängig von der Aufgabenstellung) , was wäre, wenn ich an den festen p und t auch dran rumdrehen dürfte, ob der erlaubte Bereich dann in der Theorie dort größer wäre. Daher meine Betrachtung für p [mm] \not= [/mm] 0
|
|
|
|
