Vektoren < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Berechne Orthonormalbasen des von (1;-1; 0) und (1; 0; 1) bzw. von ( 3/5; 0; 4/5 ; 0), (1; 1; 0; 1) und (1;-1; 1;-1) erzeugten Untervektorraums von
R3 bzw. R4 (mit dem Standardskalarprodukt). |
Also für R3 sollte ich es schon richtig da bekomme ich (0;1;1) heraus.
ich habe nur ein bischen ein problem wie es genau aubläuft:
also ich normiere zuerst einen vektor in meinem fall:
[mm] 1/\wurzel{2}*(1; [/mm] -1; 0)
dann subtrahiere ich vom anderen vektor den einheitsvektor und multipliziere ihn mit der der länge der beiden vektoren also 2:
das heißt dann: (1;0;1) - [mm] 2/\wurzel{2}* 1/\wurzel{2} [/mm] * (1;-1;0)=(0;1;1)
ist das so alles richtig?
wie mach ich es dann bei 3 vektoren? subtrahiere ich da von einem die länge und die Norm der zwei anderen vektoren oder geht es da anders?
Danke
|
|
| |
|
Hallo!
> Also für R3 sollte ich es schon richtig da bekomme ich
> (0;1;1) heraus.
Hallo! Das stimmt so nicht, du hast natürlich zwei Vektoren raus, die dir die yz-Ebene Aufspannen, oder? Somit ist deine Basis [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0};\vektor{0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
>
> ich habe nur ein bischen ein problem wie es genau
> aubläuft:
> also ich normiere zuerst einen vektor in meinem fall:
> [mm]1/\wurzel{2}*(1;[/mm] -1; 0)
Nein, du mußt zuerst Basisvektoren deines Unterraums bestimmen. Die müssen ein äh - Erzeugendensystem ?!? bilden. Auf jeden Fall benötigst du genügend lin. unabhängige Vektoren, um den gesamten Unterraum damit aufzuspannen. Das sind bei der erste Aufgaben beispielsweise die beiden oben genannten Vektoren. (Die sind sowohl normiert als auch orthogonal, da mußt du also gar nix mehr dran machen.)
>
> dann subtrahiere ich vom anderen vektor den einheitsvektor
> und multipliziere ihn mit der der länge der beiden vektoren
> also 2:
>
> das heißt dann: (1;0;1) - [mm]2/\wurzel{2}* 1/\wurzel{2}[/mm] *
> (1;-1;0)=(0;1;1)
>
> ist das so alles richtig?
>
> wie mach ich es dann bei 3 vektoren? subtrahiere ich da von
> einem die länge und die Norm der zwei anderen vektoren oder
> geht es da anders?
>
> Danke
Hmmm, am besten schaust du dir das Verfahren mal bei ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia an, da ist das eigentlich ganz gut erklärt, und danach sollte es kein Problem sein, da noch ne Dimension dran zu hängen.
|
|
|
| |
|
Hmm leider schaffe ich es nicht, die Theorie in das Bsp umzusetzten. wir haben in der vorlesung aus 2 vektoren auch nur eine Orthonomalbase berechnet. haben wir da die zweite nur weggelassen oder gibts da nur eine? mir würde es wirklich sehr helfen wenn mir einer an meinem bsp es mir kurz erklären könnte.
Danke
|
|
|
| |
|
> Hmm leider schaffe ich es nicht, die Theorie in das Bsp
> umzusetzten. wir haben in der vorlesung aus 2 vektoren auch
> nur eine Orthonomalbase
Hallo,
eine Base ist was anderes. "Basis" heißt das.
Aber abgesehen davon frage ich mich, was Du mit dem Satz meinst.
Was eine Basis ist, weißt Du?
Wenn Du eine Basis hast, und diese orthomormierst, kommt natürlich eine Basis heraus, die genausoviele Elemente hat, wie die, mit der Du gestartet bist.
Ich gehe doch stark davon aus, daß das in Deiner Vorlesung auch so war...
Ich hoffe, daß Du Dir den Link v. EventHorizon nicht nur angeschaut hast, sondern versucht, am Beipiel durchzurechnen. Schad, daß man davon nichts sieht.
Ich passe den Text, den ich aus der wiki kopiert habe, jetzt mal exakt an Deine erste Aufgabe an. Dann sollte die Durchführung eigentlich kein Problem mehr bereiten.
"Der folgende Algorithmus berechnet zu den linear unabhängigen Vektoren [mm] v_1:=\vektor{1 \\ -1\\0}und v_2:=\vektor{1 \\ 0\\1} [/mm] ein Orthonormalsystem von 2 normierten, paarweise orthogonalen Vektoren, das denselben Untervektorraum erzeugt.
Die einzelnen Vektoren [mm] u_1, u_2 [/mm] des Orthonormalsystems erhält man, indem zuerst jeweils ein orthogonaler Vektor berechnet und anschließend normalisiert wird:
[mm] u_1 [/mm] = [mm] \frac{v_1}{\left\|v_1\right\|} [/mm] (Normalisieren des ersten Vektors v1)
[mm] u_2^\prime [/mm] = [mm] v_2 [/mm] - [mm] \langle v_2, u_1 \rangle \cdot u_1 [/mm] (Orthogonalisieren des zweiten Vektors v2)
[mm] u_2 [/mm] = [mm] \frac{u_2^\prime}{\left\|u_2^\prime\right\|} [/mm] (Normalisieren des Vektors [mm] u_2^\prime) [/mm] "
[mm] (u_1, u_2) [/mm] ist dann die gesuchte ONB.
Bei der zweiten Aufgabe überzeuge Dich v. der linearen Unabhängigkeit der drei Vektoren, benenne sie dem Link (oder Deinen Unterlagen) entsprechend, und dann starte streng nach Vorschrift den Algorithmus. Sonderlich viel zu überlegen gibt's da nämlich nicht.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
somit ist dann die basis die 2 vekotoren :
u1 = [mm] 1/\wurzel{2}* [/mm] (1;-1;0)
u'2 = (1;0;1) - [mm] (1/\wurzel{2})*(2/\wurzel{2})*(1;-1;0)= [/mm] (0;1;1)
u2= [mm] 1/\wurzel{2}*(0;1;1)
[/mm]
|
|
|
| |
|
> somit ist dann die basis die 2 vekotoren :
>
> u1 = [mm]1/\wurzel{2}*[/mm] (1;-1;0)
>
> u'2 = (1;0;1) - [mm](1/\wurzel{2})*(2/\wurzel{2})*(1;-1;0)=[/mm]
> (0;1;1)
>
> u2= [mm]1/\wurzel{2}*(0;1;1)[/mm]
Hallo,
das kann ja nicht sein. Es ist doch Dein [mm] u_2 [/mm] gar nicht orthogonal zu Deinem [mm] u_1.
[/mm]
Du hast Dich bei der Berechnung v. [mm] u_2' [/mm] vertan.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
danke. das war jetzt ein dummer fehler. natürlich ist u2= [mm] 1/\wurzel{6}*(2;2;1)
[/mm]
Danke für deine extrem schnelle hilfe
|
|
|
| |
|
> danke. das war jetzt ein dummer fehler. natürlich ist u2=
> [mm]1/\wurzel{6}*(2;2;1)[/mm]
>
> Danke für deine extrem schnelle hilfe
Mach keine Witze! Wo kommt denn jetzt die [mm] /\wurzel{6} [/mm] her???
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
u'2 ist ja (1/2;1/2;1) das multipliziere ich mit 2 -> (1;1;2) und das normiere ich dann da [mm] \wurzel{1+1+2²} [/mm]
EDIT: sorry ich sehe dass ich dass ich vor lauter 1er und 2er oben einen schreibfehler gemacht habe. so sollte es passen. sorry
|
|
|
| |
|
zum zweiten habe ich jetzt eine frage:
also u1 = [mm] 1/\wurzel{3}*(1;1;0;1)
[/mm]
u2= [mm] 1/\wurzel{33}*(4;-2;3;-2) [/mm] diese zwei sind normal von dem her sollte es bs her passen
u'3= [mm] (3/5;0;4/5;0)-(1/\wurzel{3})*(1/\wurzel{3})*(1;1;0;1)-(1/\wurzel{33})*(1/\wurzel{33})*(4;-2;3;-2)=(8;-15;39;-15)
[/mm]
da ist dann leider schon wieder was falsch, aber ich finde den fehler leider nicht!
|
|
|
| |
|
> zum zweiten habe ich jetzt eine frage:
>
> also u1 = [mm]1/\wurzel{3}*(1;1;0;1)[/mm]
>
> u2= [mm]1/\wurzel{33}*(4;-2;3;-2)[/mm] diese zwei sind normal von
> dem her sollte es bs her passen
Ja, das ist richtig.
>
> u'3=
> [mm](3/5;0;4/5;0)-(1/\wurzel{3})*(1/\wurzel{3})*(1;1;0;1)-(1/\wurzel{33})*(1/\wurzel{33})*(4;-2;3;-2)=(8;-15;39;-15)[/mm]
>
> da ist dann leider schon wieder was falsch, aber ich finde
> den fehler leider nicht!
Du hast da immer das Skalarprodukt vergessen, der Vorfaktor des Vektors ist zwar da, aber die Vektoren sind nicht multipliziert. Die Ausdrücke, die in der wiki in den spitzen Klammern stehen fehlen.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
ok;
[mm] (3/5;0;4/5;0)-(1/\wurzel{3})\cdot{}((3/5)/\wurzel{3})\cdot{}(1;1;0;1)-(1/\wurzel{33})\cdot{}((7/5)/\wurzel{33})\cdot{}(4;-2;3;-2)=(38;-19;11;-19)
[/mm]
das ist zwar jetzt im rechten winkel auf u1 aber nicht auf u2!
ist das immer noch falsch oder gibt es da einfach keine ONB?
|
|
|
| |
|
> ok;
>
> [mm](3/5;0;4/5;0)-(1/\wurzel{3})\cdot{}((3/5)/\wurzel{3})\cdot{}(1;1;0;1)-(1/\wurzel{33})\cdot{}((7/5)/\wurzel{33})\cdot{}(4;-2;3;-2)=(38;-19;11;-19)[/mm]
>
> das ist zwar jetzt im rechten winkel auf u1 aber nicht auf
> u2!
>
> ist das immer noch falsch oder gibt es da einfach keine
> ONB?
Doch, eine ONB gibt es.
Wenn's nicht paßt, wird es daran liegen, daß Du beim Rechnen einen Vorzeichenfehler gemacht hast.
Bis aufs Ergebnis - welches ich nicht ausgerechnet habe - sieht's auf meinem Zettel jedenfalls genauso aus.
Gruß
|
|
|
| |
|
> > Also für R3 sollte ich es schon richtig da bekomme ich
> > (0;1;1) heraus.
>
> Hallo! Das stimmt so nicht, du hast natürlich zwei Vektoren
> raus,
Hier hast Du recht, so sollte das sein.
>die dir die yz-Ebene Aufspannen, oder? Somit ist
> deine Basis [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0};\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
Das stimmt nicht.
Es geht um den v. [mm] \vektor{1 \\ -1\\0} [/mm] und [mm] \vektor{1 \\ 0\\1} [/mm] aufgespannten Raum, dieser ist sicher nicht die yz-Ebene.
Daß die beiden Vektoren lin. unabhängig sind, sieht man sofort, also sind sie eine Basis des v. ihrnen erzeugten Unterraumes des [mm] \IR^3, [/mm] und ausgehend v. dieser Basis kann man orthonormieren.
> Nein, du mußt zuerst Basisvektoren deines Unterraums
> bestimmen. Die müssen ein äh - Erzeugendensystem ?!?
> bilden.
Eine Basis eben.
Erzeugen tun sie ja nach Def., man muß eine max. linear unabhängige Teilmenge finden - wozu man bei der ersten Aufgabe nicht lange suchen muß.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
