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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:54 Sa 22.08.2009 | | Autor: | cornacio |
| Aufgabe | Gegeben: Raute durch A(-2/-1), Diagonalenschnittpunkt M (2/1) und Diagonale f= [mm] \wurzel{20}.
[/mm]
Ermittle die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte rechnerisch? |
Komm nicht mehr weiter.......
Ich kann den Eckpunkt C (gegenüberliegend von A) berechnen, steh dann aber voll an!
AM = [mm] \vektor{4 \\ 2}
[/mm]
C = [mm] \vektor{2 \\ 1} [/mm] + [mm] \vektor{4 \\ 2} [/mm] = [mm] \vektor{6 \\ 3}
[/mm]
???
kann mir bitte wer helfen?
Danke
Grüße cornacio
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Mir fällt dazu folgendes ein, sofern Normieren für dich ein Begriff ist oder du es anwenden darfst/willst:
Wir haben ja sozusagen die Diagonale E (AC). Davon kennen wir auch den Vektor, nämlich [mm] $\vec{AC}$
[/mm]
Dieser Vektor steht senkrecht auf der anderen Diagonale, f. Das bedeutet, der Richtungsvektor der Diagonalen f ist:
[mm] $m_f=\bruch{1}{\vec{AC}}$ [/mm] (Orthogonalitätsbedingung)
Achso dummer Fehler, da wir ja in der Vektorrechnung sind, könntest du das zwar umwandeln, aber es geht natürlich auch mit der Gleichung:
[mm] $m_{AC}*m_{DB}=0$
[/mm]
Demzufolge ist $ [mm] m_{AC}=\vektor{-2\\4}$ [/mm] oder auch umgedreht.
Denn bei Vektoren müssen ja senkrecht aufeinanderstehende Vektoren 0 ergeben. Diese Gleichung ist im 2d-Raum eindeutig lösbar, sprich koordinaten und Vorzeichen rumdrehen.
Da du jetzt weißt, dass die Diagonale f [mm] \wurzel{20} [/mm] lang ist, ist die Hälfte davon eben [mm] \bruch{\wurzel{20}}{2}
[/mm]
Da sich [mm] \wurzel{20} [/mm] als [mm] \wurzel{5*4} [/mm] schreiben lässt, können wir durch teilweises wurzelziehen das ganze auf [mm] \wurzel{5} [/mm] vereinfachen (beide 2 kürzen sich weg)
Das bedeutet, wenn du vom Mittelpunkt M jeweils diese Strecke + und - mal den Richtungsvektor von f, also [mm] m_f [/mm] gehst, müsstest du bei D und B landen. Das gilt aber nur, wenn der Richtungsvektor der Diagonalen f, eben mf, genau die Länge 1 hätte. Im moment ist das aber nicht der Fall, weshalb wir ihn noch normieren müssen. Dask ennst du eventuell von der Hesse'schen Normalenform, jedenfalls lautet die Formel für einen normierten Vektor: [mm] $n_{m_f}=\bruch{m_f}{|m_f|}$
[/mm]
Also müssen wir den Vektor durch seine Länge teilen. Die Länge von [mm] m_f [/mm] beträgt:
$ [mm] \wurzel{2^2+4^2}=\wurzel{20} [/mm] $
Ach wie lustig...unser Vektor ist schon exakt so lang wie die Diagonale f! Das erübrigt uns natürlich den Schritt, ihn auf 1 zu normieren! Wir nehmen einfach die Hälfte!! Denn das bringt uns genau zur Hälfte von [mm] \wurzel{20} [/mm] und damit haben wir genau die Entfernung zu den Eckpunkten. Also die letzte Rechnung für den Punkt C oder D, je nach dem, wie du die Orthogonalität und damit VOrzeichen durchgeführt hast:
[mm] $\vec{C} [/mm] / [mm] \vec{D}=M \pm \bruch{1}{2}*\vec{DC} [/mm] $
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:29 Sa 22.08.2009 | | Autor: | cornacio |
Vielen Dank, du hast mir sehr geholfen!
Dieses Matheforum ist echt ein wahnsinn!!
grüße nach Deutschland!
cornacio
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:39 Sa 22.08.2009 | | Autor: | Adamantin |
Gern geschehen und dafür sind wir da, aber schau bitte nochmal meinen Beitrag an, vor allem das Ende, es hatten sich erst Fehler eingeschlichen und am Ende habe ich gemerkt, das die Aufgabe ganz nett ist und viele Schritte wegfallen. Daher brauchst du das Normieren und das ganze Zeug nicht ,da es sich ja herausgestellt hat, dass die Diagonale genau so lang wie der neue Vektor DB ist, also einfach nochma schauen, falls noch nicht gesehen ;) Habe aber alles stehen lassen, für ähnliche Aufgaben.
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