Vektoren < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:45 Do 03.12.2009 | | Autor: | Ayame |
| Aufgabe | Man beweise, dass die Vektoren (a,b) und (c,d) aus dem [mm] \IR-vektorraum\
[/mm]
[mm] \IR^{2} [/mm] linear unabhängig sind, genau dann, wenn ad - bc [mm] \not= [/mm] 0 ist. |
also ich hab die geleichung : s* [mm] \vektor{a\\ b} [/mm] + t* [mm] \vektor{c \\ d} [/mm] = 0
und dachte mir ich setzt für s und t 1 ein erhalte aber [mm] \not= [/mm] 0.
dann wär :
[mm] \vektor{a \\ b} [/mm] + [mm] \vektor{c \\ d} \not= [/mm] 0
aber ich schaff es nicht nach ad - bc [mm] \not= [/mm] 0 umzuformen oder hab ich die beschreibung der vektoren falsch verstanden ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:49 Do 03.12.2009 | | Autor: | abakus |
> Man beweise, dass die Vektoren (a,b) und (c,d) aus dem
> [mm]\IR-vektorraum\[/mm]
> [mm]\IR^{2}[/mm] linear unabhängig sind, genau dann, wenn ad - bc
> [mm]\not=[/mm] 0 ist.
> also ich hab die geleichung : s* [mm]\vektor{a\\ b}[/mm] + t*
> [mm]\vektor{c \\ d}[/mm] = 0
Gut. Daraus erhältst du die beiden Gleichungen
a*s +c*t=0 und
b*s+ d*t=0.
Löse das nach s und t auf.
Gruß Abakus
> und dachte mir ich setzt für s und t 1 ein erhalte aber
> [mm]\not=[/mm] 0.
> dann wär :
>
> [mm]\vektor{a \\ b}[/mm] + [mm]\vektor{c \\ d} \not=[/mm] 0
>
> aber ich schaff es nicht nach ad - bc [mm]\not=[/mm] 0 umzuformen
> oder hab ich die beschreibung der vektoren falsch
> verstanden ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:13 Do 03.12.2009 | | Autor: | Ayame |
also wenn ich nach s umforme bekomme ich raus : s*(da - bc) = d
und wenn ich nach t umforme : t*(da - bc) = a
Also kann ich schlussfolgern dass wenn die vektoren lienear unabhängig sind und s und t = 0 sind dann ergibt die gleichung [mm] \not=0 [/mm] .
aber müssten s und t nicht = 1 sein damit die geleichung so aussieht : ad-bc [mm] \not= [/mm] 0 ?? oder teile ich noch ma durch die koeffizienten ? also :
da - bc = [mm] \bruch{a}{t} [/mm] und da- bc = [mm] \bruch{d}{s}
[/mm]
ich versteh immer noch nicht wieso ad-bc [mm] \not= [/mm] 0 die lineare unabhängigkeit beweisen soll.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:22 Do 03.12.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Schau dir doch mal die Klammer (da-cb) an, die bei beiden Umformungen auftaucht. Was passiert, wenn diese gleich Null ist? Was heisst das dann für die "Startaussage"?
Marius
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:32 Do 03.12.2009 | | Autor: | Ayame |
also wenn ich dis noch m aufschreibe :
s* [mm] \bruch{da - bc}{a} [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] s*(da - bc) = 0
t* [mm] \bruch{da - bc}{c} [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] t*(da - bc) = 0
ich könnte noch 2 weitere gelichungen aufstellen (geteilt durch d und b)
Vorraussetzung : a,b,c,d dürfen nicht 0 sein (sonst wär ja die erste gleichung falsch)
Dann zusammen :
s*(da - bc) + t*(da - bc) = 0
ich komm da nicht weiter. es ist mir ja klar dass ad-bc = 0 ist wenn die vektoren lin abhängig sind aber wie beweis ich das gegenteil ?
Ist es nicht viel einfacher mit einem indirekten beweis :
Ann : (a,b) und (c,d) lin abhänging, dann ist c = a*x und d=b*x und [mm] x\not= [/mm] 0
also ist dann lauf formel : ad-bc [mm] \not= [/mm] 0
also ist abx - bax [mm] \not= [/mm] 0 [mm] \Rightarrow [/mm] abx - abx [mm] \not= [/mm] 0 !! Widerspruch !!
Und wär dann hier schon fertig ??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Sa 05.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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