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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:38 Fr 21.10.2011 | | Autor: | murmel |
| Aufgabe | Welche Komponenten besitzen beide Vektoren entlang der durch [mm] $\vec e_x [/mm] + [mm] \vec e_z [/mm] = (1,0,1)$ beschriebenen Richtung?
Gegebene Vektoren:
[mm]\vec r_1(t) = x_0 * \begin{pmatrix} t / \tau \\ t^2 / \tau^2 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
[mm]\vec r_2(t) = x_0 * \begin{pmatrix} -cos \left(\omega t \right) \\ sin \left( \omega t \right) \\ t / \tau \end{pmatrix}[/mm]
(Anmerkung: Es gibt nur einen halben Punkt für diese Aufgabe) |
Hallo, ich habe gerade Schwierigkeiten den Inhalt dieser Aufgabe zu erfassen. Was genau meint der Dozent?
Ok, ich weiß, dass für [mm] $\vec r_1; \, \vec r_2$ [/mm] je ein (Orts)Vektor, die von t abhängig sind, gegeben ist. Es kann also einen Vektor aus [mm] $\vec r_1 [/mm] (t)$ und/ oder [mm] $\vec r_2 [/mm] (t)$ geben der/ die in Richtung [mm] $\vec e_x [/mm] + [mm] \vec e_z$ [/mm] zeigt/ zeigen. Habe ich das richtig verstanden?
Aus dem Bauch heraus vermute ich, dass es für [mm] $\vec r_1(t)$ [/mm] keinen Vektor gibt, der in die vorgegebene Richtung zeigt, da die z-Komponente Null ist.
Gibt es einen rechnerischen Nachweis? Ich stelle mich gerade ziemlich dämlich an.
Für [mm] $\vec r_2(t)$ [/mm] gibt es einen Vektor zu irgendeinem Zeitpunkt der in die Richtung zeigt. Ebenfalls die Frage: kann ich das rechnerisch ermitteln und wenn ja wie?
Für Hilfestellung wäre ich euch sehr dankbar.
Murmel
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Hallo Murmel,
> Welche Komponenten besitzen beide Vektoren entlang der
> durch [mm]\vec e_x + \vec e_z = (1,0,1)[/mm] beschriebenen
> Richtung?
>
> Gegebene Vektoren:
>
> [mm]\vec r_1(t) = x_0 * \begin{pmatrix} t / \tau \\
t^2 / \tau^2 \\
0 \end{pmatrix}[/mm]
>
>
> [mm]\vec r_2(t) = x_0 * \begin{pmatrix} -cos \left(\omega t \right) \\
sin \left( \omega t \right) \\
t / \tau \end{pmatrix}[/mm]
>
> (Anmerkung: Es gibt nur einen halben Punkt für diese
> Aufgabe)
>
> Hallo, ich habe gerade Schwierigkeiten den Inhalt dieser
> Aufgabe zu erfassen. Was genau meint der Dozent?
>
> Ok, ich weiß, dass für [mm]\vec r_1; \, \vec r_2[/mm] je ein
> (Orts)Vektor, die von t abhängig sind, gegeben ist. Es
> kann also einen Vektor aus [mm]\vec r_1 (t)[/mm] und/ oder [mm]\vec r_2 (t)[/mm]
> geben der/ die in Richtung [mm]\vec e_x + \vec e_z[/mm] zeigt/
> zeigen. Habe ich das richtig verstanden?
Ich denke nicht. Gesucht ist die Komponente in der gegebenen Richtung, wenn Du Dein Koordinatensystem so ändern würdest, dass [mm] (\vec{e}_x+\vec{e}_z) [/mm] einer der neuen Basisvektoren würde.
> Aus dem Bauch heraus vermute ich, dass es für [mm]\vec r_1(t)[/mm]
> keinen Vektor gibt, der in die vorgegebene Richtung zeigt,
> da die z-Komponente Null ist.
Vertrau Deinem Bauch besser nicht.
> Gibt es einen rechnerischen Nachweis? Ich stelle mich
> gerade ziemlich dämlich an.
>
> Für [mm]\vec r_2(t)[/mm] gibt es einen Vektor zu irgendeinem
> Zeitpunkt der in die Richtung zeigt. Ebenfalls die Frage:
> kann ich das rechnerisch ermitteln und wenn ja wie?
Klar. Du projizierst [mm] \vec{r}_1(t) [/mm] und [mm] \vec{r}_2(t) [/mm] auf [mm] (\vec{e}_x+\vec{e}_z). [/mm] Das geht mit dem Skalarprodukt. Schau mal ![[]](/images/popup.gif) hier.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:36 Fr 21.10.2011 | | Autor: | murmel |
Ok, kann ich ansatzweise nachvollziehen, ABER: im Bild 3 befindet sich [mm] $\vec r_1$ [/mm] im (schwarzen) Bezugssystem (BS). Wenn ich dieses Summationsspielchen weiterspiele, kann ich dies ja auch für die übrigen Axen ausführen, so dass das "rote" nicht kartesische BS gebildet wird, welche durch Linearkombinationen (in den Ebenen) der fehlenden Basisvektoren aus den Einheitsvektoren aus dem schwarzen BS zustande kommen. Die blaue Schraffur verdeutlicht, dass die beiden gezeigten Vektoren eine (Teil)Fläche aufspannen die -ich hoffe nicht allzusehr stümperhaft an diesen Sachverhalt heranzugehen ;O)- wiederum mit der senkrechten Fläche die durch die x- und z-Achse aufgespannt wird, den Winkel [mm] $\alpha$ [/mm] bilden.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Kurzum: [mm] $\vec r_1 \perp \vec e_z$, [/mm] so wie es in WIKI gefordert wird und wie es aus Gl.1 hervorgehen müsste.
Die Komponente ist ja
[mm]Gl.1 \quad k = \bruch{\vec r_1 * \vec e_{z}}{\vmat{\vec e_{z}}^2}[/mm]
Aber: [mm] $\theta \, \left( \vec r_1, \vec d_{xz} \right) \,<\, [/mm] 90$°(u.a.), mit [mm] $\vec d_{xz} [/mm] = [mm] \vec e_x [/mm] + [mm] \vec e_z$
[/mm]
Oder heißt das nun, ich soll einfach [mm] $\vec r_1$ [/mm] auf [mm] $\vec d_{xz}$ [/mm] projizieren, ohne dabei den Winkel [mm] $\alpha$ [/mm] aber den Winkel [mm] $\theta$ [/mm] zu berücksichtigen? Jedoch ist hier ja nichts mehr kartesisch. Ich verstehe gerade nur "Bahnhof".
Meine erste Lösung sieht also bahnhofslärmmäßig so aus:
$k = [mm] \bruch{ \vec r_1 \circ \vec d_{xz}}{\vmat{ \vec d_{xz}} * \vmat{ \vec r_1} * cos \,\theta} [/mm] $
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo Murmel!
> Ok, kann ich ansatzweise nachvollziehen, ABER: im Bild 3
> befindet sich [mm]\vec r_1[/mm] im (schwarzen) Bezugssystem (BS).
Was soll das bedeuten, dass sich ein Vektor in einem Bezugssystem befindet? (Im Bild 3 wird [mm]\vec r_1[/mm] dargestellt.)
> Wenn ich dieses Summationsspielchen weiterspiele, kann ich
> dies ja auch für die übrigen Axen ausführen,
Ja, aber warum?
> so dass das
> "rote" nicht kartesische BS gebildet wird, welche durch
> Linearkombinationen (in den Ebenen) der fehlenden
> Basisvektoren aus den Einheitsvektoren aus dem schwarzen BS
> zustande kommen.
Was sind 'fehlende' Vektoren?
> Die blaue Schraffur verdeutlicht, dass die
> beiden gezeigten Vektoren eine (Teil)Fläche aufspannen die
> -ich hoffe nicht allzusehr stümperhaft an diesen
> Sachverhalt heranzugehen ;O)- wiederum mit der senkrechten
> Fläche die durch die x- und z-Achse aufgespannt wird, den
> Winkel [mm]\alpha[/mm] bilden.
>
>
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> [Dateianhang nicht öffentlich]
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>
> Kurzum: [mm]\vec r_1 \perp \vec e_z[/mm], so wie es in WIKI
> gefordert wird
Das wird im WIKI gefordert?
> und wie es aus Gl.1 hervorgehen müsste.
Das geht aus Gl.1 in dem Fall $k = 0$ hervor.
> Die Komponente ist ja
>
> [mm]Gl.1 \quad k = \bruch{\vec r_1 * \vec e_{z}}{\vmat{\vec e_{z}}^2}[/mm]
Das ist die Komponente (Wiki-Definition) in Richtung [mm] $\vec e_z$ [/mm] und nicht die gesuchte Komponente.
>
> Aber: [mm]\theta \, \left( \vec r_1, \vec d_{xz} \right) \,<\, 90[/mm]°(u.a.),
> mit [mm]\vec d_{xz} = \vec e_x + \vec e_z[/mm]
>
> Oder heißt das nun, ich soll einfach [mm]\vec r_1[/mm] auf [mm]\vec d_{xz}[/mm]
> projizieren, ohne dabei den Winkel [mm]\alpha[/mm] aber den Winkel
> [mm]\theta[/mm] zu berücksichtigen? Jedoch ist hier ja nichts mehr
> kartesisch. Ich verstehe gerade nur "Bahnhof".
Du musst vor allem die Definition einer Komponente berücksichtigen!
>
> Meine erste Lösung sieht also bahnhofslärmmäßig so
> aus:
>
>
>
> [mm]k = \bruch{ \vec r_1 \circ \vec d_{xz}}{\vmat{ \vec d_{xz}} * \vmat{ \vec r_1} * cos \,\theta}[/mm]
Ich weiß nicht wie bei euch eine 'Komponente eines Vektors entlang der durch einen Vektor beschriebenen Richtung' definiert ist. Manchmal ist damit ein Vektor gemeint, manchmal ein Koeffizient in einer Linearkombination von Basisvektoren. Enthalten diese Basisvekoren [mm] $\vec e_x +\vec e_z$ [/mm] (Interpretation von reverend) oder [mm] $\frac{\vec e_x +\vec e_z}{\|\vec e_x + \vec e_z\|}$?
[/mm]
Die gesuchte Komponente, als Vektor interpretiert, ist so definiert:
[mm] $\frac{\vec r_1(t)\cdot (\vec e_x + \vec e_z)}{(\vec e_x + \vec e_z)\cdot(\vec e_x + \vec e_z)}(\vec e_x +\vec e_z) [/mm] = [mm] k\cdot\begin{pmatrix}
1\\
0\\
1
\end{pmatrix} [/mm]
Als Vektor ist die Komponente dann auch unabhängig von einem Bezugssystem bzw. einer Basis.
Was ist also $k$?
LG mathfunnel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:04 So 23.10.2011 | | Autor: | murmel |
@reverend, @mathfunnel
Danke für eure Hilfestellung, hatte es aber dann doch noch nicht "verinnerlicht", und dann fiel mir auch noch der Merziger/ Wirth, 5. Auflage sprichwörtlich aus der Heimbibliothek in die Hände, hui... Seite 131 steht's dann noch einmal für Spätzünder (wie ich es war) gut erklärt.
Vor lauter Bäumen hatte ich den Wald nicht gesehen xD
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