Vektoren auf einer Geraden < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:11 Fr 15.11.2013 | | Autor: | LisaK |
| Aufgabe | Seien a, b, c [mm] \in \IR^3 [/mm] drei Vektoren, die nicht auf einer Geraden liegen. Zeigen Sie:
a) Die Vektoren a-b und c-a sind linear unabhängig.
[mm] E=c+\alpha [/mm] (b-a) + [mm] \beta [/mm] (c-a)
[mm] \alpha, \beta \in \IR
[/mm]
Also ist E eine Ebene, die a, b, c enthält.
b) Die in a) angegebene Ebene ist die eindeutig bestimmte Ebene, die diese drei Vektoren enthält. |
a)
Zunächst muss ich zeigen, dass b-a und c-a linear unabhänig sind. Das heißt, a, b und c dürfen keine Vielfachen voneinander sein. Außerdem gilt: (b-a)x(c-a) [mm] \ne [/mm] 0
Ich habe dies ausmultipiziert und umgeformt, so dass ich auf folgendes komme:
(axb)+(bxc)+(axc) [mm] \ne [/mm] 0
Also muss ein Summand ungleich 0 sein. Nur ich weiß nicht wie ich das zeige.
Außerdem weiß ich nicht wie ich für [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] Zahlen erhalte.
b)
Es gibt nur eine Ebene, die diese Vektoren enthält. Also muss ich zeigen, dass alle Ebenen, die diese Vekotren auch enthalten, gleich E sind.
Kann mir jemand helfen wie man dies zeigt?
Vielen Dank schon im Voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:28 Fr 15.11.2013 | | Autor: | abakus |
> Seien a, b, c [mm]\in \IR^3[/mm] drei Vektoren, die nicht auf einer
> Geraden liegen. Zeigen Sie:
>
> a) Die Vektoren a-b und c-a sind linear unabhängig.
> [mm]E=c+\alpha[/mm] (b-a) + [mm]\beta[/mm] (c-a)
> [mm]\alpha, \beta \in \IR[/mm]
> Also ist E eine Ebene, die a, b, c
> enthält.
>
> b) Die in a) angegebene Ebene ist die eindeutig bestimmte
> Ebene, die diese drei Vektoren enthält.
> a)
> Zunächst muss ich zeigen, dass b-a und c-a linear
> unabhänig sind. Das heißt, a, b und c dürfen keine
> Vielfachen voneinander sein.
Hallo,
das ist mir zu forsch dahergesagt.
Das heißt doch erst einmal nur konkret, dass (b-a) kein Vielfaches von (c-a) sein darf.
Führe also die Annahme k*(b-a)=(c-a) zu einem Widerspruch:
k*[mm]\vec{b}[/mm]-k* [mm]\vec{a}[/mm] = [mm]\vec{c}[/mm] - [mm]\vec{a}[/mm]
[mm]\vec{c}[/mm] = k*[mm]\vec{b}[/mm]+(1-k)* [mm]\vec{a}[/mm] .
Aus einem bestimmten Grund ist dies nicht möglich...
Gruß Abakus
> Außerdem gilt: (b-a)x(c-a)
> [mm]\ne[/mm] 0
> Ich habe dies ausmultipiziert und umgeformt, so dass ich
> auf folgendes komme:
> (axb)+(bxc)+(axc) [mm]\ne[/mm] 0
> Also muss ein Summand ungleich 0 sein. Nur ich weiß nicht
> wie ich das zeige.
> Außerdem weiß ich nicht wie ich für [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm]
> Zahlen erhalte.
>
> b)
> Es gibt nur eine Ebene, die diese Vektoren enthält. Also
> muss ich zeigen, dass alle Ebenen, die diese Vekotren auch
> enthalten, gleich E sind.
> Kann mir jemand helfen wie man dies zeigt?
>
> Vielen Dank schon im Voraus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:11 So 17.11.2013 | | Autor: | LisaK |
Und warum ist das jetzt ein Widerspruch? Ich komm da nicht drauf?
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Hallo,
> Und warum ist das jetzt ein Widerspruch? Ich komm da nicht
> drauf?
Weil [mm] \vec{c} [/mm] nach der Rechnung von abakus die konvexe Hülle von [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] ist und der Punkt C somit irgendwo auf der Geraden durch A und B liegt.
Gruß, Diophant
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 09:10 Mo 18.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Diophant,
> Hallo,
>
> > Und warum ist das jetzt ein Widerspruch? Ich komm da nicht
> > drauf?
>
> Weil [mm]\vec{c}[/mm] nach der Rechnung von abakus die konvexe
> Hülle von [mm]\vec{a}[/mm] und [mm]\vec{b}[/mm] ist...
???
Wir haben nirgends eine Einschränkung an [mm] $k\,,$ [/mm] dass
$0 [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] 1$
sein sollte. Sonst würde Abakus Rechnung auch zeigen, dass [mm] $C\,$ [/mm] auf
der Strecke mit Endpunkten [mm] $A\,$ [/mm] und [mm] $B\,$ [/mm] (jeweils inklusive) liegen würde.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 09:20 Mo 18.11.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo Marcel,
> Hallo Diophant,
> > Weil [mm]\vec{c}[/mm] nach der Rechnung von abakus die konvexe
> > Hülle von [mm]\vec{a}[/mm] und [mm]\vec{b}[/mm] ist...
>
> ???
>
> Wir haben nirgends eine Einschränkung an [mm]k\,,[/mm] dass
>
> [mm]0 \le k \le 1[/mm]
>
> sein sollte. Sonst würde Abakus Rechnung auch zeigen, dass
> [mm]C\,[/mm] auf
> der Strecke mit Endpunkten [mm]A\,[/mm] und [mm]B\,[/mm] (jeweils inklusive)
> liegen würde.
Ja, du hast natürlich Recht. Ich verwechsle da manchmal die Begriffe noch, es ist hier streng genommen eine Affinkombination. Aber der wesentliche Punkt ist und bleibt ja der, das abakus nachgerechnet hat, dass C auf der Geraden durch A und B liegt.
Danke für den Hinweis!
Grüße & schönen Tag,
Diophant
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:16 Mo 18.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Und warum ist das jetzt ein Widerspruch? Ich komm da nicht
> drauf?
vielleicht schreibst Du besser
[mm] $\vec{c}= k_0*\vec{b}+(1-k_0)*\vec{a}$ [/mm] (wobei [mm] $k_0 \in \IR$ [/mm] fest)
um zu
[mm] $\vec{c}=\vec{a}+k*(\vec{b}-\vec{a})$ [/mm] (wobei [mm] $k_0 \in \IR$ [/mm] fest)
Denn Du weißt doch sicher:
[mm] $\vec{c}(\mu)=\vec{a}+\mu*(\vec{b}-\vec{a})$ [/mm] (wobei [mm] $\mu \in \IR$ [/mm] variabel)
beschreibt eine Gerade (durch [mm] $A\,$ [/mm] und [mm] $B\,$).
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:27 Mo 18.11.2013 | | Autor: | abakus |
> Und warum ist das jetzt ein Widerspruch? Ich komm da nicht
> drauf?
Weil c sonst eine Linearkombination von a und b wäre
(k* a + (1-k) *b ), in der wenigstens einer der beiden reellen Faktoren k bzw. (1-k) nicht Null wäre...
Gruß Abakus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:35 Fr 15.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Seien a, b, c [mm]\in \IR^3[/mm] drei Vektoren, die nicht auf einer
> Geraden liegen. Zeigen Sie:
>
> a) Die Vektoren a-b und c-a sind linear unabhängig.
> [mm]E=c+\alpha[/mm] (b-a) + [mm]\beta[/mm] (c-a)
> [mm]\alpha, \beta \in \IR[/mm]
> Also ist E eine Ebene, die a, b, c
> enthält.
>
> b) Die in a) angegebene Ebene ist die eindeutig bestimmte
> Ebene, die diese drei Vektoren enthält.
> a)
> Zunächst muss ich zeigen, dass b-a und c-a linear
> unabhänig sind. Das heißt, a, b und c dürfen keine
> Vielfachen voneinander sein.
nein - das heißt, dass
[mm] $b-a\,$ [/mm] kein Vielfaches von [mm] $c-a\,$ [/mm] sein darf
und dass
[mm] $c-a\,$ [/mm] kein Vielfaches von [mm] $b-a\,$ [/mm] sein darf.
Jedenfalls, wenn man streng nach der Definition vorgeht (ohne
irgendwelche Vereinfachungen!), die auch
hier (klick!)
gegeben wurde.
Äquivalent dazu ist halt:
[mm] $\lambda*(c-a)+\mu*(b-a)=\textbf{0}$
[/mm]
hat nur die Lösung [mm] $\lambda=\mu=0\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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