Vektoren positiv lin. abh. < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:17 Sa 06.07.2013 | | Autor: | Herbart |
Hallo,
wenn ich zwei Vektoren im [mm] \IR^n [/mm] habe und diese linear abhängig sind, also
[mm]\lamda v =u[/mm] oder [mm]\lamda u=v[/mm] mit [mm] \lamda \in \IR, [/mm]
weisen genau dann beide Vektoren in eine Richtung, wenn [mm] \lamda [/mm] >0?
Von der Anschauung her, würde ich dies bestätigen (z.B. im [mm] \IR^3), [/mm] weswegen ich die obige Frage auch formuliert habe  , aber wie kann man das beweisen?
MfG Herbart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Sa 06.07.2013 | | Autor: | Herbart |
Irgendwie wurde überall das entsprechende [mm] \lambda [/mm] nicht erkannt. Also noch mal mit [mm] \lambda
[/mm]
> Hallo,
>
> wenn ich zwei Vektoren im [mm]\IR^n[/mm] habe und diese linear
> abhängig sind, also
> [mm]\lambda v =u[/mm] oder [mm]\lambda u=v[/mm] mit [mm]\lambda \in \IR,[/mm]
> weisen genau dann beide Vektoren in eine Richtung, wenn
> [mm]\lambda[/mm] >0?
> Von der Anschauung her, würde ich dies bestätigen (z.B.
> im [mm]\IR^3),[/mm] weswegen ich die obige Frage auch formuliert
> habe , aber wie kann man das beweisen?
>
> MfG Herbart
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:19 Sa 06.07.2013 | | Autor: | Rated-R |
> Hallo,
>
> wenn ich zwei Vektoren im [mm]\IR^n[/mm] habe und diese linear
> abhängig sind, also
> [mm]\lamda v =u[/mm] oder [mm]\lamda u=v[/mm] mit [mm]\lamda \in \IR,[/mm]
Hallo, wenn gilt lambda * u = v => 1/ lambda * v = u
> weisen genau dann beide Vektoren in eine Richtung, wenn
> [mm]\lamda[/mm] >0?
Wie fasst man Richtung auf?
über die Winkel zu den einzelnen Koordinantenachsen
Beispiel [mm] \IR^2:
[/mm]
Vektor u = [mm] \vektor{u_1 \\ u_2}
[/mm]
Vektor v = [mm] \vektor{v_1 \\ v_2} =\lambda [/mm] * u = [mm] \vektor{\lambda *u_1 \\ \lambda *u_2}
[/mm]
[mm] cos(\alpha)=v_1/\vmat{v} [/mm] = [mm] \lambda *u_1/\vmat{\lambda * u}
[/mm]
[mm] cos(\beta) [/mm] = [mm] v_2/\vmat{v}= \lambda *u_2/\vmat{\lambda * u}
[/mm]
zum Betrag:
[mm] \vmat{\lambda * u} [/mm] = [mm] \wurzel{(\lambda * u_1)^2+(\lambda * u_2)^2}= \wurzel{\lambda ^2}*\wurzel{u_1^2+u_2^2}
[/mm]
=> [mm] cos(\beta)= \lambda *u_1/\vmat{\lambda * u}= \bruch{ \lambda *u_1}{\vmat{\lambda}*\vmat{u}}
[/mm]
Wenn lambda positiv ist kann man das einfach rausziehen und kürzen. d. h. die winkel bleiben gleich. falls lambda jetzt negativ ist kann man auch kürzen aber es bleibt das minus stehen und somit verändern sich die Winkel => richtung ändernt sich
für [mm] R^n [/mm] ist das äquvivalent, man muss einfach die Defintion der Richtung kennnen und das ganze allgemein nachrechnen.
ich hoffe ich konnte helfen
gruß Tom
> Von der Anschauung her, würde ich dies bestätigen (z.B.
> im [mm]\IR^3),[/mm] weswegen ich die obige Frage auch formuliert
> habe , aber wie kann man das beweisen?
>
> MfG Herbart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:27 Sa 06.07.2013 | | Autor: | Herbart |
Vielen Dank für deine Antwort!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:30 So 07.07.2013 | | Autor: | fred97 |
> > Hallo,
> >
> > wenn ich zwei Vektoren im [mm]\IR^n[/mm] habe und diese linear
> > abhängig sind, also
> > [mm]\lamda v =u[/mm] oder [mm]\lamda u=v[/mm] mit [mm]\lamda \in \IR,[/mm]
> Hallo, wenn gilt lambda * u = v => 1/ lambda * v = u
> > weisen genau dann beide Vektoren in eine Richtung, wenn
> > [mm]\lamda[/mm] >0?
>
> Wie fasst man Richtung auf?
>
> über die Winkel zu den einzelnen Koordinantenachsen
>
> Beispiel [mm]\IR^2:[/mm]
>
>
>
> Vektor u = [mm]\vektor{u_1 \\ u_2}[/mm]
> Vektor v = [mm]\vektor{v_1 \\ v_2} =\lambda[/mm]
> * u = [mm]\vektor{\lambda *u_1 \\ \lambda *u_2}[/mm]
>
> [mm]cos(\alpha)=v_1/\vmat{v}[/mm] = [mm]\lambda *u_1/\vmat{\lambda * u}[/mm]
>
> [mm]cos(\beta)[/mm] = [mm]v_2/\vmat{v}= \lambda *u_2/\vmat{\lambda * u}[/mm]
Hm..... Ich kann nur vermuten, dass Du hier meinst [mm] \alpha+ \beta [/mm] = [mm] \pi/2.
[/mm]
>
> zum Betrag:
>
> [mm]\vmat{\lambda * u}[/mm] = [mm]\wurzel{(\lambda * u_1)^2+(\lambda * u_2)^2}= \wurzel{\lambda ^2}*\wurzel{u_1^2+u_2^2}[/mm]
>
> => [mm]cos(\beta)= \lambda *u_1/\vmat{\lambda * u}= \bruch{ \lambda *u_1}{\vmat{\lambda}*\vmat{u}}[/mm]
" =>" verstehe ich gar nicht. Ist jetzt plötzlich [mm] cos(\beta)= cos(\alpha) [/mm] ?
>
> Wenn lambda positiv ist kann man das einfach rausziehen und
> kürzen. d. h. die winkel bleiben gleich. falls lambda
> jetzt negativ ist kann man auch kürzen aber es bleibt das
> minus stehen und somit verändern sich die Winkel =>
> richtung ändernt sich
>
> für [mm]R^n[/mm] ist das äquvivalent, man muss einfach die
> Defintion der Richtung kennnen
..... und die wäre ?
FRED
> und das ganze allgemein
> nachrechnen.
>
> ich hoffe ich konnte helfen
>
> gruß Tom
>
>
> > Von der Anschauung her, würde ich dies bestätigen (z.B.
> > im [mm]\IR^3),[/mm] weswegen ich die obige Frage auch formuliert
> > habe , aber wie kann man das beweisen?
> >
> > MfG Herbart
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