Vektoren über F_{p} Basis? < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Betrachte die Vektoren aus dem [mm] \IF_{p}-Vektorraum \IF_{p}^{5} [/mm] für p Primzahl:
[mm] v_{1}=\vektor{2\\1\\-6\\0\\-1}, v_{2} [/mm] = [mm] \vektor{-4\\-2\\18\\1\\2}, v_{3} [/mm] = [mm] \vektor{0\\3\\0\\2\\3}, v_{4} [/mm] = [mm] \vektor{6\\0\\-24\\-2\\-9}.
[/mm]
Dabei sind die auftretenden ganzen Zahlen als Körperelemente derart auszufassen, dass sie angeben wie oft [mm] 1_{K} [/mm] aufsummiert wird. Bestimme für jedes p die Dimension und eine Basis von U := [mm] Lin(v_{1},v_{2},v_{3},v_{4})). [/mm] Für welche p ist [mm] ((v_{1},v_{2},v_{3},v_{4})) [/mm] eine Basis von U ? |
Hallo!
Bei der obigen Aufgabe wollte ich euch fragen, ob meine Überlegungen richtig sind.
Mir geht es dabei weniger um die exakte Lösung, als darum, ob mein Vorgehen legitim ist oder ob ich noch Fälle vergessen haben etc.
Ich habe zunächst die Vektoren zeilenweise in eine Matrix geschrieben und die mit [mm] \IF_{p} [/mm] - konformen Umformungen (nur Vertauschen und Addition einer Zeile auf eine andere) auf die Form:
[mm] \begin{pmatrix}2 & 1 & -6 & 0 & -1 \\ 0 & 3 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & -6 & 0 & -3\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -3\end{pmatrix}
[/mm]
Ich habe mir nun noch überlegt, dass ich die dritte Zeile mit (-1) multiplizieren könnte, da (-1)*a = -a in einem Körper ist...?:
[mm] \begin{pmatrix}2 & 1 & -6 & 0 & -1 \\ 0 & 3 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 6 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -3\end{pmatrix}
[/mm]
Und dann sehe ich, dass für $p =2,3,6$ Probleme auftreten können, weil ja in [mm] $\IF_{p}:=\IZ [/mm] / [mm] \IZ_{p}$ [/mm] gilt: [mm] $\underbrace{1+1+...+1+1}_{p-mal} [/mm] = 0$.
Im Falle p = 2 ist die Matrix dann:
[mm] \begin{pmatrix}0 & 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1\end{pmatrix}
[/mm]
d.h. Rang = 3, d.h. dim(U) = 3, eine Basis von U ist zum Beispiel die 1., 2. und 4. Zeile.
Im Falle p = 3 ist die Matrix dann:
[mm] \begin{pmatrix}2 & 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0\end{pmatrix}
[/mm]
d.h. Rang = 2, d.h. dim(U) = 2, eine Basis von U ist zum Beispiel die 1. und 4. Zeile.
Im Falle p = 6 ist die Matrix dann:
[mm] \begin{pmatrix}2 & 1 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 3 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 3\end{pmatrix}
[/mm]
d.h. Rang 0= 4, d.h. dim(U) = 4, eine Basis von U sind alle vier Zeilen zusammen.
D.h. für alle p außer 2 und 3, d.h. für p > 3 ist [mm] ((v_{1},v_{2},v_{3},v_{4})) [/mm] auch eine Basis von U.
Vielen Dank für Eure Hilfe und Korrektur,
Grüße,
Stefan
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> Mir geht es dabei weniger um die exakte Lösung, als darum,
> ob mein Vorgehen legitim ist oder ob ich noch Fälle
> vergessen haben etc.
Hallo,
nachgerechnet habe ich nichts.
Das Vorgehenen ist richtig und vollstandig - allerdings ist die 6 keine Primzahl, den Fall solltest Du also wohl lieber weglassen...
Gruß v. Angela
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Hallo Angela,
dann vielen Dank für dein Drüberschauen.
> Das Vorgehenen ist richtig und vollstandig - allerdings
> ist die 6 keine Primzahl, den Fall solltest Du also wohl
> lieber weglassen...
Genau so etwas meinte ich - wie konnte ich nur 
Danke nochmal,
Stefan
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