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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:46 Sa 09.05.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | Gegeben sind die Punkte A = (1, 2, 2), B = (−2, 5, 1), C = (−1, 6, 0), D = (1, [mm] \lambda, \lambda [/mm] + 1)
in dem kartesischen Koordinatensystem mit Ursprung O. Bestimmen Sie:
a) Den Fl¨acheninhalt des Dreiecks ABC
b) sin [mm] \beta, [/mm] wobei [mm] \beta [/mm] der Winkel zwischen den Vektoren [mm] \overrightarrow{BA} [/mm] und [mm] \overrightarrow{BC} [/mm] ist |
Nun ich habe die Punkte A, B und C gegeben, diese sind ja auch gleichzeitig die Vektoren zu eben diesen Punkten. Durch Addition von [mm] \overrightarrow{A} [/mm] und [mm] \overrightarrow{B} [/mm] erhalte ich [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] genau so verfahre ich für [mm] \overrightarrow{AC} [/mm] und [mm] \overrightarrow{BC}. [/mm] Nun ermittel ich mittels Hilfe der Formel [mm] |\overrightarrow{a}|=\wurzel{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}} [/mm] die Länge der errechneten Vektoren, dadruch ist mein Dreieck definiert.
Soweit richtig?
Nun soll ich ja den Sinus [mm] \beta [/mm] berechnen. Diesen berechne ich mit der Formel Gegenkatete dividiert durch Hypothenuse.
Was mir hier nicht klar ist, da mein letzter Umgang mit Vekoren und Geometrie schon eine ganze Weile zurück liegt ist, benutze ich hier DEG-Maß oder RAD-Maß um diesen Sinus zu errechnen?
Greetz
Ganzir
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Hallo!
> Gegeben sind die Punkte A = (1, 2, 2), B = (−2, 5,
> 1), C = (−1, 6, 0), D = (1, [mm]\lambda, \lambda[/mm] + 1)
> in dem kartesischen Koordinatensystem mit Ursprung O.
> Bestimmen Sie:
> a) Den Fl¨acheninhalt des Dreiecks ABC
> b) sin [mm] \beta,[/mm] wobei [mm]\beta [/mm] der Winkel zwischen den
> Vektoren [mm]\overrightarrow{BA}[/mm] und [mm]\overrightarrow{BC}[/mm] ist
> Nun ich habe die Punkte A, B und C gegeben, diese sind ja
> auch gleichzeitig die Vektoren zu eben diesen Punkten.
Ja. Wenn man die Koordinaten eines Punktes untereinander schreibt, erhält man den zugehörigen Ortsvektor.
> Durch Addition von [mm]\overrightarrow{A}[/mm] und
> [mm]\overrightarrow{B}[/mm] erhalte ich [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] genau so
> verfahre ich für [mm]\overrightarrow{AC}[/mm] und
> [mm]\overrightarrow{BC}.[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Nein! Nicht durch Addition der Ortsvektoren [mm] \vec{OA} [/mm] und [mm] \vec{OB}, [/mm] sondern durch Subtraktion von [mm] \vec{OA} [/mm] von [mm] \vec{OB} [/mm] erhältst du [mm] \vec{AB}, [/mm] also [mm] $\vec{AB} [/mm] = [mm] \vec{OB} [/mm] - [mm] \vec{OA}$. [/mm] Analog die anderen Berechnungen. Wichtig: Du erhältst bei diesem Vorgang Richtungsvektoren.
> Nun ermittel ich mittels Hilfe der
> Formel [mm]|\overrightarrow{a}|=\wurzel{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}[/mm]
> die Länge der errechneten Vektoren, dadruch ist mein
> Dreieck definiert.
Genau, so würdest du die drei Seitenlängen deines Dreiecks erhalten.
> Nun soll ich ja den Sinus [mm]\beta[/mm] berechnen. Diesen berechne
> ich mit der Formel Gegenkatete dividiert durch
> Hypothenuse.
Aber nur, wenn du vorher zeigen konntest, dass das vorliegende Dreieck ABC auch wirklich rechtwinklig ist! Ansonsten nimmst du gerade einen Spezialfall an, der vielleicht noch nicht einmal gerechtfertigt ist!
Es gibt gewisse Formeln, mit denen man die gestellten Aufgaben schneller lösen kann. Den Winkel, der zwischen zwei Vektoren aufgespannt wird, erhältst du zum Beispiel mit
[mm] $\cos(\alpha) [/mm] = [mm] \bruch{\vec{AB}\circ \vec{AC}}{|\vec{AB}|*|\vec{AC}|}$
[/mm]
[mm] \alpha [/mm] = Winkel zwischen [mm] \vec{AB} [/mm] und [mm] \vec{AC}
[/mm]
[mm] \circ [/mm] = ![[]](/images/popup.gif) Standardskalarprodukt
[mm] |\vec{AB}| [/mm] = Länge vom Vektor [mm] \vec{AB}, [/mm] wird wie du oben geschrieben hast berechnet.
Die Fläche des Parallelogramms, welches von zwei Vektoren [mm] \vec{AB} [/mm] und [mm] \vec{AC} [/mm] aufgespannt wird, kannst du ganz einfach mit
$A = [mm] |\vec{AB}\times\vec{AC}|$
[/mm]
berechnen, demzufolge wird das von den beiden Vektoren aufgespannte Dreieck den Flächeninhalt
$A = [mm] \bruch{1}{2}*|\vec{AB}\times\vec{AC}|$
[/mm]
haben.
[mm] \times [/mm] = Kreuzprodukt oder Vektorprodukt
> Was mir hier nicht klar ist, da mein letzter Umgang mit
> Vekoren und Geometrie schon eine ganze Weile zurück liegt
> ist, benutze ich hier DEG-Maß oder RAD-Maß um diesen Sinus
> zu errechnen?
Je nachdem, was du erhalten möchtest. DEG = 0° bis 180°, RAD = 0 bis [mm] \pi.
[/mm]
Viele Grüße, Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:19 Sa 09.05.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe |
$ [mm] \cos(\alpha) [/mm] = [mm] \bruch{\vec{AB}\circ \vec{AC}}{|\vec{AB}|\cdot{}|\vec{AC}|} [/mm] $ |
Ich hatte schon befürchtet, dass ich hier etwas eingerostet bin....
OK danke schonmal für die Starthilfe.... wenn ich so nun den Cos berechne, wie komme ich dann an den Sinus?
Greetz
Ganzir
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> [mm]\cos(\alpha) = \bruch{\vec{AB}\circ \vec{AC}}{|\vec{AB}|\cdot{}|\vec{AC}|}[/mm]
>
> Ich hatte schon befürchtet, dass ich hier etwas eingerostet
> bin....
>
> OK danke schonmal für die Starthilfe.... wenn ich so nun
> den Cos berechne, wie komme ich dann an den Sinus?
Hallo,
mithilfe von [mm] cos^\alpha [/mm] + [mm] sin^2\alpha [/mm] =1 kannst Du den Sinus aus dem Cosinus gewinnen.
Leider bekommst Du [mm] sin\alpha=\pm\wurzel(1-cos^\alpha).
[/mm]
Das zu wählende Vorzeichen hängt vom Winkel ab:
[mm] \sin \alpha [/mm] = [mm] \sqrt{ 1 - \cos^2 \alpha } [/mm] für [mm] \alpha \in \left[0,\pi \right]=[0^\circ,180^\circ]
[/mm]
[mm] \sin \alpha [/mm] = - [mm] \sqrt{ 1 - \cos^2 \alpha } [/mm] für [mm] \alpha \in \left[ \pi , 2\pi \right]=[180^\circ,360^\circ].
[/mm]
Oder meintest Du was anderes? Übers Kreuzprodukt kommst Du an auch den sin des eingeschlossenen Winkels:
[mm] sin\alpha=\bruch{|\vec{a}x\vec{b}|}{|\vec{a}|*|\vec{b}|}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:52 Sa 09.05.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | | $ [mm] sin\alpha=\bruch{|\vec{a}x\vec{b}|}{|\vec{a}|\cdot{}|\vec{b}|}. [/mm] $ |
Genau nach so eine Formel habe ich gesucht also hier einfach alles einsetzen und dann ausrechen?
Greetz
Ganzir
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> [mm]sin\alpha=\bruch{|\vec{a}x\vec{b}|}{|\vec{a}|\cdot{}|\vec{b}|}.[/mm]
> Genau nach so eine Formel habe ich gesucht also hier
> einfach alles einsetzen und dann ausrechen?
Hallo,
ja.
Du brauchst natürlich Vektoren des [mm] \IR^3, [/mm] im [mm] \IR^2 [/mm] klappt das nicht.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:18 Sa 09.05.2009 | | Autor: | ganzir |
OK vielen Dank, Vektoren im [mm] \IR^3 [/mm] habe ich.
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