Vektoren und Paralellogramme < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:17 Mo 15.11.2010 | | Autor: | ert40 |
| Aufgabe | Gegeben sind die Punkte A (3|5|5) ; B (3|8|1) und D (8|4|-2)
Bestimmen Sie den Punkt C, sodass ein Parallelogramm entsteht! |
Mein Lösungsansatz:
[mm] \overrightarrow{BA} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 8 \\ 1} [/mm] - [mm] \vektor{3 \\ 5 \\ 5} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 3 \\ -4}
[/mm]
C = [mm] \vektor{8 \\ 4 \\ -2} [/mm] + [mm] \vektor{0 \\ 3 \\ -4} [/mm] = (8|1|-6)
wie gehts richtig?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:25 Mo 15.11.2010 | | Autor: | ert40 |
bzw ( 8|7|-6)
^^
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:56 Mo 15.11.2010 | | Autor: | pppppp |
Eine Möglichkeit wäre, das graphisch zu machen:
Habe mir das so hergeleitet:
Wenn ein Parallelogramm im Raum schwebt wirft es einen Schatten auf die Wand. Dieser stellt auch ein Parallelogramm dar. Die Wand kannst Du Dir als x1-x2-Ebene vorstellen (oder analog als x1-x3 bzw x2-x3)
Da zeichnest Du nun deine Punkte ein und kannst den für das Parallelogramm fehlenden ermitteln.
Die Frage ist natürlich, ob ihr das rechnerisch lösen müsst.
Dann musst Du einen Verbindungs Vektor vom ersten zum nächsten Punkt ermitteln und den dann am dritten Punkt starten lassen. Er wird auf Punkt C zeigen. (er kann natürlich in 2 Richtungen zeigen, je nach Vorzeichen. Da musst Du überlegen welche Richtung korrekt ist.
Um es Dir besser vorstellen zu können kannst Du die Methode auch im zweidimensionalen anwenden (analog zum ersten Ansatz)
Ich bin mir nicht 100 % ig sicher und bitte darum um Korrekturlesung.
Viel Erfolg
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 02:01 Di 16.11.2010 | | Autor: | KarlMarx |
pppppp schrieb:
> Ich bin mir nicht 100 % ig sicher und bitte darum um Korrekturlesung.
Mach ich mal hier:
> Eine Möglichkeit wäre, das graphisch zu machen:
Im [mm] $\IR^3$ [/mm] ist das meist recht umständlich.
Eine Skizze hilft natürlich immer, die beschränkt man aber (wenn nicht explizit anders gefordert) auf zwei Dimensionen.
> Wenn ein Parallelogramm im Raum schwebt wirft es einen
> Schatten auf die Wand. Dieser stellt auch ein Parallelogramm dar.
Nein, nicht unbedingt. Genauso wie der Schatten eines Rechtecks ein Parallelogramm sein kann, kann es auch andersherum sein. Was Du da vor hast, nennt sich Projektion und dafür muss erstmal eine Projektionsebene gewählt werden. Von dieser Projektionsebene - genauer von der Lage des Parallelogramms zur Projektionsebene - hängt die geometrische Form des Schattens ab. In besonderen Fällen kann der Schatten sogar "nur" eine Strecke sein; z.B. wenn eine parallel zu einer Koordinatenebene liegende ebene Figur auf eine andere Koordinatenebene projiziert wird. Man kann sich das leicht verdeutlichen, wenn man ein Blatt Papier im Licht dreht und wendet und dabei dessen Schatten auf einem Tisch beobachtet. Folglich ist diese Variante
a) zumindest sehr umständlich und zeitraubend,
b) möglicherweise nicht zielführend,
c) ein Hinweis für den Lehrer, dass man das Thema nicht verstanden hat
und man hat damit nichts gewonnen. Sollte man also besser lassen!
> Die Frage ist natürlich, ob ihr das rechnerisch lösen müsst.
Nein, das ist nicht fraglich. So nicht explizit eine graphische Lösung gefordert ist, wird grundsätzlich rechnerisch gelöst. Graphische Lösungen im [mm]\IR^3[/mm] sind so einfach nicht möglich, da das Koordinatensystem im allgemeinen in mehreren zweidimensionalen Ansichten - ähnlich wie die Zweitafelprojektion eines Körpers (ca. 8. Klasse) - zu zeichnen ist und diese dann auch noch korrekt im Kopf zusammengesetzt werden müssen.
> ... Da musst Du überlegen welche Richtung korrekt ist.
Nein, muss man nicht. Die Richtung ist durch den zuvor erstellten Vektor und seine Verknüpfung (+ bzw. -) mit dem Ortsvektor des dritten Punktes gegeben. Grundsätzlich gibt es jedoch drei Lösungen für dieses Problem (s.u.). Insofern ist die Aufgabenstellung auch nicht gut. Anstelle von
Bestimmen Sie den Punkt C, sodass ...
sollte es lauten
Bestimmen Sie einen Punkt C, sodass ein Parallelogramm entsteht!
> Um es Dir besser vorstellen zu können kannst Du die Methode auch im Zweidimensionalen anwenden
Als Skizze sehr zu empfehlen (s.o.)! Eine zweidimensionale Beispielrechnung ist unnötig.
So, und nun zurück zur Eingangsfrage:
Eine rechnerische Lösung hast Du - abgesehen von dem kleinen Rechenfehler und der nicht ganz sauberen Schreibweise - ja schon richtig erstellt:
Du stellst den Vektor zwischen einem Punktepaar der gegebenen Punkte auf (egal welche) und addierst diesen zum Ortsvektor des dritten Punktes. Da man mit drei Punkten, die nicht auf einer Geraden liegen, auf jeden Fall drei verschiedene (nicht kollineare) Vektoren aufstellen kann, muss es auch drei verschiedene Lösungen geben. Zu diesen drei Vektoren gibt es natürlich noch ihre jeweils negativen Vektoren, die aber zu keinen weiteren Lösungen führen, denn das ist nur "Vorzeichen-Schieberei". Aus der zweidimensionalen Skizze wird das sofort klar.
Deine Rechnung hatte nur einen kleinen Rechenfehler, den Du um 23:25 schon selbst korrigiert hast: Du addierst den Vektor [mm] $\overrightarrow{AB} [/mm] (man schreibt den Anfangspunkt normaler Weise zuerst) zum Punkt [mm]D[/mm]:
[mm] $\begin{pmatrix}8 \\ 4 \\ -2\end{pmatrix} [/mm] + [mm] \begin{pmatrix}0 \\ 3 \\ -4\end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}8 \\ 7 \\ -6\end{pmatrix} [/mm] = [mm] \overrightarrow{OC}\,.$
[/mm]
Das ist der Ortsvektor zu einem Punkt [mm]C[/mm], welcher mit den anderen dreien ein Parallelogramm bildet. Gefragt ist jedoch kein Vektor, sondern ein Punkt - die Antwort lautet also: Mit dem Punkt [mm]C\,(8\mid 7 \mid -6)[/mm] ist das Viereck [mm]A B C D[/mm] ein Parallelogramm.
Die anderen beiden Lösungen würden z.B. lauten:
[mm] $\overrightarrow{OC}_2 [/mm] = D - [mm] \overrightarrow{AB} \quad \Rightarrow \quad C_2\,(8\mid 1\mid [/mm] -6)$ und
[mm] $\overrightarrow{OC}_3 [/mm] = B - [mm] \overrightarrow{AD} \quad \Rightarrow \quad C_3\,(-2\mid 9\mid 8)\,.$
[/mm]
Dein erstes Ergebnis war also auch richtig. Nur nicht so, wie Du es gerechnet hast. Wenn man den Vektor [mm]\overrightarrow{AD}[/mm] andersherum auftstellt ([mm]\overrightarrow{DA}[/mm]) oder den Vektor [mm]\overrightarrow{BD}[/mm] verwendet, ergeben sich die zweite und dritte Lösung oben natürlich aus einer Addition anstelle der Subtraktion. Vor allem um das zu sehen, sollte man den Sachverhalt kurz in 2D skizzieren. Rein qualitativ natürlich; die speziellen Koordinaten sind dabei unerheblich.
Diese Aufgabe zeigt mal wieder: Viele Wege führen nach Rom - man muß nur konsistent rechnen und mit den Vorzeichen korrekt umgehen.
Gruß, Marx.
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