Vektoren zu Basen erweitern < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:08 Di 11.01.2005 | | Autor: | kath |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
hallo,
ich habe folgende Aufgabe gestellt bekommen:
Erweitern Sie die folgenden Familien von Vektoren B' zu einer Basis des entsprechenden [mm] R^n.
[/mm]
a) B'= [mm] \vektor{1 \\ -2 \\ 3}
[/mm]
b) B' = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} \vektor{0 \\ -1 \\ 0}
[/mm]
kann mir irgendwer verraten, wie ich diese Aufgaben angehen soll/kann?
ich mus einen Vektor finden, der zu den/dem gegebenen linear unabhängig
ist, stimmt das?
und wenn der Ansatz stimmt, wie kann icht das realisieren=
Danke für jede Hilfe!
Kat
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:28 Di 11.01.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi kath,
ja der Ansatz stimmt, bei der a) sollst du ZWEI und bei der b) sollst du einen weiteren Vektor finden, so dass sie linear unabhängig sind.
Dies ist übrigens genau dann der Fall, wenn für die 0 als Linearkombination nur die triviale Lösung existiert, was gleichbedeutend ist mit:
$ [mm] x_1 [/mm] * [mm] \vec{b_1 } [/mm] + [mm] x_2 [/mm] * [mm] \vec{b_2 } [/mm] + [mm] x_3 [/mm] * [mm] \vec{b_3 } [/mm] = [mm] 0\quad =>\quad x_1 =x_2 =x_3 [/mm] =0$
Das heißt, wenn du bei der a) noch zwei Vektoren $ [mm] v_1 =\vektor{u\\v\\w} [/mm] ; [mm] v_1 =\vektor{r\\s\\t} [/mm] $ dazu nimmst, soll
$ [mm] \pmat{ u & r & 1 \\ v & s & -2 \\ w & t & 3 }*\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}=\vektor{ 0 \\ 0 \\ 0 } [/mm] $
nur für $ [mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}=\vektor{ 0 \\ 0 \\ 0 } [/mm] $ möglich sein.
wenn du jetzt die vektoren so wählen würdest, dass die Matrix schon Dreiecksgestalt hat (rang = 3 ), dann kannst du schnell nachweisen, was der x-Vektor sein muss....
analog bei der b)
(Hinweis: vertauschen der Reihenfolge der Basisvektoren ändert nichts an ihrer linearen unabhängigkeit)
hoffe, ich hab mich verständlich ausgedrückt.
viele Grüße
DaMenge
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:56 Di 11.01.2005 | | Autor: | kath |
Hallo,
danke ist wunderbar nachvollziehbar..+ hat auch für die Aufgabe funktioniert!
gruss
kath
|
|
|
|
