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Hi!
Ich habe in einem Skript folgendes gefunden:
Ist [mm]\vec{v}[/mm] ein Vektorfeld, so ist äquivalent:
-- [mm]\vec{v}[/mm] ist ein Potentialfeld
-- das Kurvenintegral [mm]\oint_K \vec{v}d\vec{x}[/mm] ist wegunabhängig
-- Kurvenintegrale über geschlossene Wege sind null
Ohne an [mm] $\vec{v}$ [/mm] die Bedingung zu stellen:
[mm]\frac{\partial v_y}{\partial z}=\frac{\partial v_z}{\partial y};\frac{\partial v_x}{\partial y}=\frac{\partial v_y}{\partial x};\frac{\partial v_x}{\partial z}=\frac{\partial v_z}{\partial x}[/mm]
ist das doch offensichtlich Falsch, oder?
Erst wenn obige Bedingung an [mm] $\vec{v}$ [/mm] erfüllt ist, so kann man doch sagen, dass für [mm] $\vec{v}$ [/mm] ein Potential existiert?
Es ist doch so, dass man aus dem Potential das entsprechende Vektorfeld recht einfach finden kann. Hingegen kann es passieren, dass es zu einem Vektorfeld überhaupt kein Potential gibt? Ich hoffe ich habe das alles noch richtig in Erinnerung. Wäre super wenn mir das jemand bestätigen könnte.
Valerie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:47 Do 04.04.2013 | | Autor: | leduart |
hallo
Nein das ist immer richtig.
man kann es yeigen wenn v=gradf ist.
gruss leduart
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> Nein das ist immer richtig.
> man kann es yeigen wenn v=gradf ist.
Hm, [mm]\vec{v}=grad(f)[/mm] setzt doch voraus, dass es eine Potentialfunktion gibt. Wenn [mm]\vec{v}=grad(f)[/mm].
Meine Frage bezog sich aber auf die andere Richtung. Man kann doch nicht sagen:
[mm]\vec{v}[/mm] ist Vektorfeld, äquvalent dazu ist:
[mm]\vec{v}[/mm] ist Potentialfeld
zu folgendem Vektorfeld:
[mm] \vektor{ye^x+yz \\ e^x+xz \\ e^x+xy}[/mm]
Lässt sich doch zum Beispiel kein Potential finden.
Also ist [mm]\vec{v}[/mm] auch kein Potentialfeld, oder?
Valerie
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:38 Do 04.04.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein, natürlich nicht jedes Vektorfeld ist ein grad Feld.
Aber es ging doch darum, ob es zu einem VF ein Potential gibt, dann kann man es a) als gradf schreiben, oder äqivalent dazu, das Integral ist unabh, vom Weg.
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:44 Fr 05.04.2013 | | Autor: | fred97 |
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> Hi!
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> Ich habe in einem Skript folgendes gefunden:
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> Ist [mm]\vec{v}[/mm] ein Vektorfeld, so ist äquivalent:
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> -- [mm]\vec{v}[/mm] ist ein Potentialfeld
> -- das Kurvenintegral [mm]\oint_K \vec{v}d\vec{x}[/mm] ist
> wegunabhängig
>
> -- Kurvenintegrale über geschlossene Wege sind null
>
>
> Ohne an [mm]\vec{v}[/mm] die Bedingung zu stellen:
>
> [mm]\frac{\partial v_y}{\partial z}=\frac{\partial v_z}{\partial y};\frac{\partial v_x}{\partial y}=\frac{\partial v_y}{\partial x};\frac{\partial v_x}{\partial z}=\frac{\partial v_z}{\partial x}[/mm]
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> ist das doch offensichtlich Falsch, oder?
> Erst wenn obige Bedingung an [mm]\vec{v}[/mm] erfüllt ist, so kann
> man doch sagen, dass für [mm]\vec{v}[/mm] ein Potential existiert?
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> Es ist doch so, dass man aus dem Potential das
> entsprechende Vektorfeld recht einfach finden kann.
> Hingegen kann es passieren, dass es zu einem Vektorfeld
> überhaupt kein Potential gibt? Ich hoffe ich habe das
> alles noch richtig in Erinnerung. Wäre super wenn mir das
> jemand bestätigen könnte.
>
> Valerie
Hallo Valerie,
entweder ist Dein Skript schlampig oder Du. Jedenfalls vermisse ich in Deinen obigen Ausführungen jede Genauigkeit.
Versuchen wir mal, Klarheit in die Sche zu bringen:
Zunächst braucht ja das Vektorfeld $ [mm] \vec{v} [/mm] $ einen Definitionsbereich und man sollte ein paar Voraussetzungen an $ [mm] \vec{v} [/mm] $ spendieren !
Im Folgenden sei G [mm] \subseteq \IR^3 [/mm] ein Gebiet (also offen und zusammenhängend) und $ [mm] \vec{v} [/mm] $: G [mm] \to \IR^3 [/mm] stetig.
Dann gilt
SATZ 1:
$ [mm] \vec{v} [/mm] $ besitzt auf G eine Stammfunktion [mm] \gdw
[/mm]
das Kurvenintegral $ [mm] \oint_K \vec{v}d\vec{x} [/mm] $ ist wegunabhängig in G.
DEFINITION: Ist $ [mm] \vec{v} =(v_x,v_y,v_z)$ [/mm] stetig differenzierbar, so erfüllt $ [mm] \vec{v} [/mm] $ auf G die Integrabilitätsbedingungen : [mm] \gdw
[/mm]
es gilt
$ [mm] \frac{\partial v_y}{\partial z}=\frac{\partial v_z}{\partial y};\frac{\partial v_x}{\partial y}=\frac{\partial v_y}{\partial x};\frac{\partial v_x}{\partial z}=\frac{\partial v_z}{\partial x} [/mm] $ auf G.
(Hier habe ich Deine (unglücklich gewählten) Bez. für für die Komponentenfunktionen von $ [mm] \vec{v} [/mm] $ übernommen: [mm] v_x, [/mm] ....)
SATZ 2: $ [mm] \vec{v} [/mm] $ sei stetig differenzierbar und besitze auf G eine Stammfunktion.
Dann sind die Integrabilitätsbedingungen auf G erfüllt.
Die Umkehrung von SATZ 2 ist i.a. falsch ! Es gibt also stetig differenzierbare Vektorfelder, die auf G die Integrabilitätsbedingen erfüllen, aber auf G keine Stammfunktionen haben.
Ein Beispiel hierfür muß ich noch raussuchen.
Nun kann man noch definieren, wann ein Gebiet G "einfach zusammenhängend" genannt wird. Das will ich hier nicht tun, aber "anschaulich" bedeutet das, dass G keine "Löcher" hat.
Satz 3: Sei G ein einfach zusammenhängendes Gebiet und sei $ [mm] \vec{v}:G \to \IR^3 [/mm] $ stetig differenzierbar. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:
(1) $ [mm] \vec{v} [/mm] $ besitzt auf G eine Stammfunktion;
(2) das Kurvenintegral $ [mm] \oint_K \vec{v}d\vec{x} [/mm] $ ist wegunabhängig in G ;
(3) $ [mm] \vec{v} [/mm] $ erfüllt auf G die Integrabilitätsbedingungen.
Gruß FRED
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