Vektormultiplikation < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:56 Sa 12.09.2020 | | Autor: | yonca |
Hallo,
ich gebe gerade einer Schülerin der 11ten Klasse Nachhilfe und bin ein bisschen aus dem Thema raus.
Daher hätte ich eine Frage zur Multiplikation von Vektoren. Ich kann auf die schnelle nichts dazu im Internet finden.
Ich würde gerne wissen, warum eine Vektormultiplikation nicht erlaubt ist. Ich meine nicht das Skalarprodukt und auch nicht das Kreuzprodukt. Damit meine ich, warum ist es nicht erlaubt zwei Vektoren zu nehmen und die Einträge der jeweiligen Koordinaten miteinander zu multiplizieren?
Kann mir jemand einen Gedankenanstoß dazu geben? Kann man das Ganze vielleicht irgendwie geometrisch begründen?
Vielen Dank schon mal für jegliche Hilfe!
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> Ich würde gerne wissen, warum eine Vektormultiplikation
> nicht erlaubt ist. Ich meine nicht das Skalarprodukt und
> auch nicht das Kreuzprodukt. Damit meine ich, warum ist es
> nicht erlaubt zwei Vektoren zu nehmen und die Einträge der
> jeweiligen Koordinaten miteinander zu multiplizieren?
Natürlich ist es nicht "verboten", eine derartige Operation zu definieren. Nur wäre dies dann halt eine Zusammenfassung mehrerer elementarer Zahl-Multiplikationen zu einer Serie und hat nicht mehr wirklich etwas mit den Vektoren in ihrem Vektorraum zu tun.
> Kann mir jemand einen Gedankenanstoß dazu geben? Kann man
> das Ganze vielleicht irgendwie geometrisch begründen?
Ich sehe keine irgendwie sinnvolle Möglichkeit einer geometrischen Interpretation. Man sollte dabei etwa auch daran denken, dass auch eine Multiplikation von zwei eindimensionalen Größen (Längeneinheit Meter) geometrisch gesehen einem zweidimensionalen Flächeninhalt (Einheit Quadratmeter) entspricht.
Möchte man also im Raum [mm] $\IR^3$ [/mm] ein derartiges Konstrukt einführen, so müsste man dazu drei Zusatzkoordinaten einführen, welche jeweils zweidimensional zu denkende Ergebnisse fassen. Also eher etwas absurd ...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:40 Sa 12.09.2020 | | Autor: | yonca |
Okay. Danke erstmal!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:06 So 13.09.2020 | | Autor: | chrisno |
In zwei Dimensionen geht es, aber die Multiplikation muss anders definiert werden. Das ergibt die komplexen Zahlen.
In drei und mehr Dimensionen geht es nicht, wenn die Struktur eines Körpers erreicht werden soll.
Speziell für deine Idee der Multiplikation:
Erst einmal sieht es gut aus:
Es gibt ein neutrales Element, das Assoziativgesetz gilt, kommutativ ist die Operation auch noch.
Doch dann:
Bei der Bildung des inversen Elemnts ist nur die Null der Addition, also der Nullvektor ausgenommen.
Nun ist es aber nicht möglich, ein inverses Element anzugeben, wenn schon nur eine der Komponenten Null ist.
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