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| Aufgabe | | Sei A [mm] \in \IR^{NxN} [/mm] eine reguläre Matrix und [mm] \|.\| [/mm] eine Vektornorm im [mm] \IR^N. [/mm] Zeigen Sie, dass dann durch [mm] ||x||_A [/mm] := [mm] \|Ax\| [/mm] ebenfalls eine Norm im [mm] \IR^N [/mm] definiert wird. Warum ist dabei die Voraussetzung der Regularität notwendig? |
Hallo,
ich beschäftige mich im Moment mit oben genannter Aufgabe.
Zur ersten Fragestellung habe ich mir überlegt, nicht die 3 Axiome einer Norm durchzugehen, sondern einfach zu sagen, dass nach Voraussetzung [mm] \|.\| [/mm] eine zulässige Norm im [mm] \IR^N [/mm] ist und (wenn man davon ausgeht, dass x [mm] \in \IR^N) [/mm] Ax [mm] \in \IR^N [/mm] und somit [mm] \|.\| [/mm] auch eine zulässige Norm für den Vektor Ax ist.
Warum die Matrix A jedoch regulär sein soll, weiß ich jetzt leider nicht. Hoffe da kann mir jemand weiterhelfen.
Vielen Dank im Voraus!
Gruß,
Gratwanderer
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:48 Mi 04.05.2011 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Sei A [mm]\in \IR^{NxN}[/mm] eine reguläre Matrix und [mm]\|.\|[/mm] eine
> Vektornorm im [mm]\IR^N.[/mm] Zeigen Sie, dass dann durch [mm]||x||_A[/mm] :=
> [mm]\|Ax\|[/mm] ebenfalls eine Norm im [mm]\IR^N[/mm] definiert wird. Warum
> ist dabei die Voraussetzung der Regularität notwendig?
> ich beschäftige mich im Moment mit oben genannter
> Aufgabe.
>
> Zur ersten Fragestellung habe ich mir überlegt, nicht die
> 3 Axiome einer Norm durchzugehen,
Aber genau das wird von dir bei dieser Aufgabe erwartet. Es sei denn, du hast eine äquivalente Definition der Norm.
> sondern einfach zu sagen,
> dass nach Voraussetzung [mm]\|.\|[/mm] eine zulässige Norm im [mm]\IR^N[/mm]
> ist und (wenn man davon ausgeht, dass x [mm]\in \IR^N)[/mm] Ax [mm]\in \IR^N[/mm]
> und somit [mm]\|.\|[/mm] auch eine zulässige Norm für den Vektor
> Ax ist.
Es geht nicht um 'zulässig'. Eine Abbildung ist eine Norm oder nicht, und das klärt man mit Hilfe der Definition. Die Aussage, daß Ax [mm] \in R^N [/mm] ist, reicht dafür nicht.
> Warum die Matrix A jedoch regulär sein soll, weiß ich
> jetzt leider nicht. Hoffe da kann mir jemand weiterhelfen.
Das brauchst du für [mm] ||z||_A [/mm] = 0 [mm] \gdw [/mm] z = 0
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Ok, ich habe jetzt mal versucht die 3 Axiome durchzuegeh doch bleibe beim 1. schon hängen :(
was ich zeigen möchte [mm] \|x\|_A [/mm] := [mm] \|Ax\| \ge [/mm] 0
Jetzt kann ich [mm] \|Ax\| [/mm] umschreiben als [mm] \|\summe_{i}\summe_{j}a_{ij}x_j\| [/mm] aber ich weiß nciht ob mich das weiterbringt.
Gruß,
Gratwanderer
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:29 Mi 04.05.2011 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Ok, ich habe jetzt mal versucht die 3 Axiome durchzuegeh
> doch bleibe beim 1. schon hängen :(
>
> was ich zeigen möchte [mm]\|x\|_A[/mm] := [mm]\|Ax\| \ge[/mm] 0
>
> Jetzt kann ich [mm]\|Ax\|[/mm] umschreiben als
> [mm]\|\summe_{i}\summe_{j}a_{ij}x_j\|[/mm] aber ich weiß nciht ob
> mich das weiterbringt.
Hier reicht es nun wirklich zu bemerken, daß Ax [mm] \in R^N [/mm] liegt und || || eine Norm ist.
Gruß aus HH
Dieter
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:50 Mi 04.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ok, ich habe jetzt mal versucht die 3 Axiome durchzuegeh
> doch bleibe beim 1. schon hängen :(
>
> was ich zeigen möchte [mm]\|x\|_A[/mm] := [mm]\|Ax\| \ge[/mm] 0
>
> Jetzt kann ich [mm]\|Ax\|[/mm] umschreiben als
> [mm]\|\summe_{i}\summe_{j}a_{ij}x_j\|[/mm] aber ich weiß nciht ob
> mich das weiterbringt.
[mm] ||x||_A [/mm] =0 [mm] \gdw [/mm] ||Ax||=0 [mm] \gdw [/mm] Ax=0 [mm] \gdw [/mm] x=0.
Das letzte [mm] \gdw [/mm] wegen der Regularität von A.
[mm] $||x+y||_A=||A(x+y)||=||Ax+Ay|| \le [/mm] ||Ax||+||Ay||= [mm] ||x||_A+||y||_A$
[/mm]
[mm] $||tx||_A=||A(tx)||= [/mm] ||tAx||= [mm] |t|*||Ax||=|t|*||x||_A$
[/mm]
FRED
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> Gruß,
> Gratwanderer
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