Vektorpotential u. Biot-Savart < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:43 Di 15.02.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Da es eine im Grunde mathematische Frage ist, hab ich sie nicht zum Elektrotechnikforum zugeordnet. Es geht darum, ob ich es richtig berechnet habe. Bitte um drüberschauen.
Die allgemeine Formel für das Magnetfeld in der Magnetostatik ist (Biot-Savart):
B(r) = [mm] \bruch{\mu_{0}}{4*\pi}*\integral_{\IR^{3}}^{}{\bruch{j(r')\times(r'-r) }{|r-r'|^{3}}d^{3}\tau'}
[/mm]
Jetzt hat man das Vektorpotential A eingeführt,
A = [mm] \bruch{\mu_{0}}{4*\pi}*\integral_{\IR^{3}}^{}{\bruch{j(r') }{|r-r'|}d^{3}\tau'}
[/mm]
womit sich B durch B = rot A berechnen lässt.
Und r ist ein Vektor r:= (x,y,z).
Und j(r') := [mm] \vektor{j_{1}(x,y,z) \\ j_{2}(x,y,z) \\ j_{3}(x,y,z)}
[/mm]
Und [mm] (\bruch{j(r') }{|r-r'|})_{x} [/mm] = [mm] \bruch{j_{1}(x,y,z) }{\wurzel{(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}}}
[/mm]
Ich will jetzt gerne die x-Komponente von rot A bzw. B berechnen, um zu sehen ob das richtige rausspringt:
[mm] B_{x}
[/mm]
=(rot [mm] A)_{x}
[/mm]
= rot [mm] \bruch{\mu_{0}}{4*\pi}*\integral_{\IR^{3}}^{}{\bruch{j(r') }{|r-r'|}d^{3}\tau'}_{x}
[/mm]
= [mm] \bruch{\mu_{0}}{4*\pi}*\integral_{\IR^{3}}^{}{rot \bruch{j(r') }{|r-r'|}d^{3}\tau'}_{x}
[/mm]
= [mm] \bruch{\mu_{0}}{4*\pi}*\integral_{\IR^{3}}^{}{\bruch{\bruch{dj_{3}}{dy} - \bruch{dj_{2}}{dz}}{|r-r'|} - \bruch{j_{3}(y-y') - j_{2}(z-z') }{|r-r'|^{3}}d^{3}\tau'}
[/mm]
Und jetzt hab ich zwei unklarheiten:
1. Ich bin nicht sicher ob ich rot in das Integralziehen darf (wahrscheinlich nur weil über den ganzen(!) [mm] \IR^{3} [/mm] integriert wird?). Habe mir einfach gedacht das macht sicher Sinn... wieso darf man das?
2. Wenn es stimmt was ich bisher gemacht habe, muss durch vergleichen [mm] \integral_{\IR^{3}}^{}{\bruch{\bruch{dj_{3}}{dy} - \bruch{dj_{2}}{dz}}{|r-r'|} d^{3}\tau'} [/mm] = 0 sein. Wenn das so ist, dann ist es richtig.
Ist das wirklich Null?
Danke. Gruss
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:17 Di 15.02.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> Die allgemeine Formel für das Magnetfeld in der
> Magnetostatik ist (Biot-Savart):
> B(r) =
> [mm]\bruch{\mu_{0}}{4*\pi}*\integral_{\IR^{3}}^{}{\bruch{j(r')\times(r'-r) }{|r-r'|^{3}}d^{3}\tau'}[/mm]
>
> Jetzt hat man das Vektorpotential A eingeführt,
> A =
> [mm]\bruch{\mu_{0}}{4*\pi}*\integral_{\IR^{3}}^{}{\bruch{j(r') }{|r-r'|}d^{3}\tau'}[/mm]
>
> womit sich B durch B = rot A berechnen lässt.
> Und r ist ein Vektor r:= (x,y,z).
> Und j(r') := [mm]\vektor{j_{1}(x,y,z) \\ j_{2}(x,y,z) \\ j_{3}(x,y,z)}[/mm]
>
> Und [mm](\bruch{j(r') }{|r-r'|})_{x}[/mm] = [mm]\bruch{j_{1}(x,y,z) }{\wurzel{(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}}}[/mm]
>
> Ich will jetzt gerne die x-Komponente von rot A bzw. B
> berechnen, um zu sehen ob das richtige rausspringt:
>
> [mm]B_{x}[/mm]
> =(rot [mm]A)_{x}[/mm]
> = rot
> [mm]\bruch{\mu_{0}}{4*\pi}*\integral_{\IR^{3}}^{}{\bruch{j(r') }{|r-r'|}d^{3}\tau'}_{x}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{\mu_{0}}{4*\pi}*\integral_{\IR^{3}}^{}{rot \bruch{j(r') }{|r-r'|}d^{3}\tau'}_{x}[/mm]
>
> =
> [mm]\bruch{\mu_{0}}{4*\pi}*\integral_{\IR^{3}}^{}{\bruch{\bruch{dj_{3}}{dy} - \bruch{dj_{2}}{dz}}{|r-r'|} - \bruch{j_{3}(y-y') - j_{2}(z-z') }{|r-r'|^{3}}d^{3}\tau'}[/mm]
>
> Und jetzt hab ich zwei unklarheiten:
> 1. Ich bin nicht sicher ob ich rot in das Integralziehen
> darf (wahrscheinlich nur weil über den ganzen(!) [mm]\IR^{3}[/mm]
> integriert wird?). Habe mir einfach gedacht das macht
> sicher Sinn... wieso darf man das?
Springender Punkt ist, dass du sowohl ungestrichene Koordinaten als auch gestrichene Koordinaten betrachtest. Integriert wird über gestrichene Koordinaten, während der Nablaoperator aus der Rotation nur auf die ungestrichenenKoordinaten wirkt, d.h. hier [mm] :$\nabla [/mm] = [mm] \pmat{\partial_x \\ \partial_y \\ \partial_z}$ [/mm] und nicht [mm] $\nabla [/mm] = [mm] \pmat{\partial_{x'} \\ \partial_{y'} \\ \partial_{z'}}$.
[/mm]
Dies ist der Grund warum du Integration und Rotation vertauschen kannst. Sie beziehen sich auf unabhängige Koordinaten.
> 2. Wenn es stimmt was ich bisher gemacht habe, muss durch
> vergleichen
> [mm]\integral_{\IR^{3}}^{}{\bruch{\bruch{dj_{3}}{dy} - \bruch{dj_{2}}{dz}}{|r-r'|} d^{3}\tau'}[/mm]
> = 0 sein. Wenn das so ist, dann ist es richtig.
> Ist das wirklich Null?
Ja, denn j ist hier Funktion der gestrichenen Koordinaten, damit sind die partiellen Ableitungen nach den ungestrichenen Koordinaten 0.
Du musst übrigens noch beachten, dass in den obegen Formeln j, r und r' Vektoren sind, oder hast du die Pfeile extra weggelassen?
LG Lippel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:43 Di 15.02.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Danke. Stimmt ja... A ist eine Funktion von r (und nicht von r'). Darum ist bei mir rot A auch falsch herausgekommen.
rot [mm] \bruch{j(r') }{|r-r'|} [/mm] = [mm] \vektor{- (j_{3}(y-y') - j_{2}(z-z') ) \\ (j_{3}(x-x') - j_{1}(z-z')) \\ - (j_{2}(x-x') - j_{1}(y-y'))}*\bruch{1}{|r-r'|^{3}}
[/mm]
Ja, r',r,j sind Vektoren. In meinem Buch bin ich schon froh wenn überhaupt erwähnt wird, was man überhaupt berechnet geschweige denn wenn angegeben wird, dass es Vektoren sind. Darum hab ich mir angewöhnt es auch nicht mehr anzugeben...
Gruss
|
|
|
|
