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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:01 So 14.12.2008 | | Autor: | husbert |
| Aufgabe | | Man berechne (a-b)x(a+b) und deute das Ergebnis geometrisch! |
Hallo,
verstehe hier nicht was ich hier berechnen soll, aus reiner Vermutung würde ich sagen das es hier um den Flächeninhalt eines Parallelogramms geht?
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Berechnen ist ja erstmal nicht schwierig, dritte binomische Formel: [mm] (a+b)*(a-b)=a^2-b^2
[/mm]
Geometrische Interpretation: nimm ein Quadrat der Seitenlänge a. Jetzt verlängere in der einen Richtung um b und verkürze in der anderen. Du erhältst ein Rechteck der Fläche [mm] \a{}(a+b)(a-b). [/mm] Zeige geometrisch, dass sein Flächeninhalt genauso groß ist wie das ursprüngliche a-Quadrat, dem eine b-Quadratecke herausgeschnitten wurde.
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> Berechnen ist ja erstmal nicht schwierig, dritte binomische
> Formel: [mm](a+b)*(a-b)=a^2-b^2[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Wie Zwerglein schon gemeldet hat, gilt diese
Formel hier (für ein Vektorprodukt) nicht.
Es ist auch nicht erlaubt, das gegebene Produkt
[mm] (a-b)\times(a+b)
[/mm]
durch
[mm] (a+b)\times(a-b)
[/mm]
zu ersetzen.
Stattdessen:
$\ [mm] (a-b)\times(a+b)=a\times a+a\times [/mm] b [mm] -b\times [/mm] a [mm] -b\times [/mm] b$
Wegen $\ [mm] a\times [/mm] a\ =\ 0\ ,\ [mm] b\times [/mm] b\ =\ 0$ und dem "Alternativgesetz"
ergibt sich:
$\ [mm] (a-b)\times(a+b)=2*(a\times [/mm] b)$
Geometrische Interpretation:
Die Vektoren u=a-b und v=a+b spannen dieselbe Ebene
auf wie a und b (sofern diese nicht kollinear sind und
demzufolge wirklich eine Ebene aufspannen).
In diesem Fall hat das von u und v aufgespannte
Parallelogramm den gleichen Umlaufssinn und den
doppelten Flächeninhalt desjenigen, das von a und b
aufgespannt wird.
Gruß al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:48 So 14.12.2008 | | Autor: | reverend |
Danke für den Einwurf, Al-Chwarizmi.
Ich rede allerdings nicht von Vektorprodukten und habe daher nach weduwes Reaktion auch geschrieben, dass mein Beitrag hinfällig sei, falls es sich um Vektoren handeln sollte.
Im Gegensatz zu husbert verwende ich definitiv eine Vektorschreibweise, wenn ich eine Vektorrechnung zeigen will. Meins war die reine Deutung eines Zahlenprodukts und seiner geometrischen Deutung, und ich denke nicht, dass sie arg fehlerbehaftet ist.
Liebe Grüße,
rev
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:50 So 14.12.2008 | | Autor: | weduwe |
> Man berechne (a-b)x(a+b) und deute das Ergebnis
> geometrisch!
> Hallo,
> verstehe hier nicht was ich hier berechnen soll, aus
> reiner Vermutung würde ich sagen das es hier um den
> Flächeninhalt eines Parallelogramms geht?
wenn es sich tatsächlich wie im titel angegeben um ein vektorprodukt handeln sollte, bedeutet es, dass du die fläche des parallelogramms verdoppelst,
die durch [mm] |\vec{a}\times\vec{b}| [/mm] dargestellt wird.
was umgekehrt bedeutet, dass der entsprechende vektor doppelt so lang ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:00 So 14.12.2008 | | Autor: | reverend |
Stimmt, weduwe. Ich habe nicht auf das Forum geachtet, und die Notation ließ nich unmittelbar auf Vektoren schließen.
Geht es also um Vektoren und ist weduwes Deutung richtig, husbert?
Dann ist mein Beitrag komplett hinfällig.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:14 So 14.12.2008 | | Autor: | weduwe |
ja ich habe es auch nur zufällig - sozusagen peripher - mitbekommen, so es denn tatsächlich stimmt.
wäre ja nett von husbert gewesen, es in latex zu schreiben 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 So 14.12.2008 | | Autor: | husbert |
Ja sorry, hier handelt es sich um das Vektorprodukt.
Also der Flächeninhalt des Parallelogramms verdoppelt sich?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:24 So 14.12.2008 | | Autor: | weduwe |
> Ja sorry, hier handelt es sich um das Vektorprodukt.
> Also der Flächeninhalt des Parallelogramms verdoppelt
> sich?
>
>
ja, rechne es doch einfach aus!
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Hi, husbert,
aber Achtung!
Anders als in der Algebra darfst Du hier NICHT mit der 3. binomischen Formel rechnen, denn in der Regel gilt:
[mm] \vec{a} \times \vec{b} \not= \vec{b} \times \vec{a}
[/mm]
Dafür aber ist [mm] \vec{a} \times \vec{a} [/mm] = [mm] \vec{o} [/mm]
und das ist doch auch "was Schönes", oder?!
mfG!
Zwerglein
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