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Forum "Lineare Algebra - Skalarprodukte" - Vektorprodukt
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Vektorprodukt: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:58 Di 16.12.2008
Autor: juel

Aufgabe
a) Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Parallelogramms, welches von den Vektoren [mm] \vec{a} [/mm] = (1,4,5) und [mm] \vec{b} [/mm] = (-2,-1,1) aufgespannt wird.

b) Gegeben sei das Dreieck mit den Eckpunkten A=(2,-1,3), B=(1,3,5) und C=(4,1,-1). Bestimmen Sie seine Seitenlängen, seinen Flächeninhalt und seine Höhen.


hallo
bitte um Korrektur

a)   [mm] \vec{d} [/mm] = [mm] \vektor{9 \\ -11 \\ 7} [/mm]

       [mm] |\vec{d}| [/mm] = 15,84


b)     Vektoren:
    
        [mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \vec{CB} [/mm] = (-3,2,6)
        
         [mm] \vec{b} [/mm] = [mm] \vec{AC} [/mm] = (2,2,-4)

          [mm] \vec{c} [/mm] = [mm] \vec{AB} [/mm] = (-1,4,2)

    Längen:
                        a: =  [mm] |\vec{a}| [/mm] = 7

                        b: =  [mm] |\vec{b}| [/mm] = 4,9

                        c: =  [mm] |\vec{c}| [/mm] = 4,58

Fläche:

     [mm] \vec{c} \times \vec{b} [/mm]

     [mm] \Rightarrow \vec{d} [/mm] = [mm] \vektor{20 \\ 0 \\ 10} [/mm]

    [mm] \Rightarrow \bruch{1}{2} |\vec{d}| [/mm]  =  11,18

Höhe:
             Winckel ausrechnen
      
              cos [mm] (\gamma) [/mm] = [mm] \bruch{\vec{a}*\vec{b}}{|\vec{a}*\vec{b}|} [/mm]
               =  47,66°

                  h = sin [mm] (\gamma) [/mm] * a
                  h = sin (47,66°) * 7 =  5,17



ist das richtig so
könnte mir das bitte jemand korregieren?


        
Bezug
Vektorprodukt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:28 Di 16.12.2008
Autor: MathePower

Hallo juel,

> a) Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Parallelogramms,
> welches von den Vektoren [mm]\vec{a}[/mm] = (1,4,5) und [mm]\vec{b}[/mm] =
> (-2,-1,1) aufgespannt wird.
>  
> b) Gegeben sei das Dreieck mit den Eckpunkten A=(2,-1,3),
> B=(1,3,5) und C=(4,1,-1). Bestimmen Sie seine Seitenlängen,
> seinen Flächeninhalt und seine Höhen.
>  
>
> hallo
>  bitte um Korrektur
>  
> a)   [mm]\vec{d}[/mm] = [mm]\vektor{9 \\ -11 \\ 7}[/mm]
>  
> [mm]|\vec{d}|[/mm] = 15,84
>  
>
> b)     Vektoren:
>      
> [mm]\vec{a}[/mm] = [mm]\vec{CB}[/mm] = (-3,2,6)
>          
> [mm]\vec{b}[/mm] = [mm]\vec{AC}[/mm] = (2,2,-4)
>  
> [mm]\vec{c}[/mm] = [mm]\vec{AB}[/mm] = (-1,4,2)
>  
> Längen:
>                          a: =  [mm]|\vec{a}|[/mm] = 7


[ok]


>  
> b: =  [mm]|\vec{b}|[/mm] = 4,9


[mm]\vmat{\overrightarrow{b}}=2\wurzel{6}[/mm] [ok]


>  
> c: =  [mm]|\vec{c}|[/mm] = 4,58


[mm]\vmat{\overrightarrow{c}}=\wurzel{21}[/mm] [ok]


>  
> Fläche:
>  
> [mm]\vec{c} \times \vec{b}[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow \vec{d}[/mm] = [mm]\vektor{20 \\ 0 \\ 10}[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow \bruch{1}{2} |\vec{d}|[/mm]  =  11,18


[mm]\vmat{\overrightarrow{d}}=5\wurzel{5}[/mm] [ok]


>  
> Höhe:
>               Winckel ausrechnen
>        
> cos [mm](\gamma)[/mm] = [mm]\bruch{\vec{a}*\vec{b}}{|\vec{a}*\vec{b}|}[/mm]
>                 =  47,66°


Das mußt Du nochmal nachrechnen.

Korrekt lautet die Formel für den Winkel:

[mm]\cos\left(\gamma\right)=\bruch{\overrightarrow{a} \* \overrightarrow{b}}{\vmat{\overrightarrow{a}}*\vmat{\overrightarrow{b}}}[/mm]


>  
> h = sin [mm](\gammra)[/mm] * a
>                    h = sin (47,66°) * 7 =  5,17
>  
>
>
> ist das richtig so
>  könnte mir das bitte jemand korregieren?
>  


Solange Du die berechneten Größen für weitere Berechungen benötigst,
ist eine  gute Idee, die Werte exakt anzugeben.


Gruß
MathePower

Bezug
                
Bezug
Vektorprodukt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:01 Di 16.12.2008
Autor: juel

danke für die Antwort

den Winkel habe ich erneut ausgerechnet,  jetzt bekomme ich  139,3° raus, kann das sein?

wollte noch fragen wie du den Betrag der Vektoren in Wurzel rechnest?
zB.  $ [mm] \vmat{\overrightarrow{b}}=2\wurzel{6} [/mm] $   oder   $ [mm] \vmat{\overrightarrow{d}}=5\wurzel{5} [/mm] $

Bezug
                        
Bezug
Vektorprodukt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:16 Di 16.12.2008
Autor: Steffi21

Hallo, so hat es mit dem Winkel geklappt, was hast du gegen [mm] 2\wurzel{6}, [/mm] allemal besser als ein gerundeter Wert, du kannst doch jederzeit [mm] 2\wurzel{6} [/mm] in den Taschenrechner eingeben, wenn du mit einem Zwischenergebnis weiterrechnest, Steffi

Bezug
                                
Bezug
Vektorprodukt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:25 Di 16.12.2008
Autor: juel

hallo Steffi

also der Winkel ist richtig, super, .. danke.

nein, ich hab doch nichts dagegen. :-)
ich wollte eigentlich nur wissen wie man auf die Wurzelzahl kommt

zB.  bei der Berechnung

             [mm] |\vec{d}| [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} \wurzel{20²+10²} [/mm]  = [mm] 5\wurzel{5} [/mm]

Bezug
                                        
Bezug
Vektorprodukt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:31 Di 16.12.2008
Autor: Steffi21

Hallo, dann lag jetzt ein kleines Verständigungsproblem vor

[mm] \bruch{1}{2}\wurzel{400+100} [/mm]

[mm] =\bruch{1}{2}\wurzel{500} [/mm]

[mm] =\bruch{1}{2}\wurzel{100*5} [/mm]

[mm] =\bruch{1}{2}*10*\wurzel{5} [/mm]

[mm] =5*\wurzel{5} [/mm]

Steffi

Bezug
                                                
Bezug
Vektorprodukt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:33 Di 16.12.2008
Autor: juel

vielen dank

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