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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:04 Di 22.11.2005 | | Autor: | Franzie |
Hallöchen!
hab folgende aufgabe und wollte fragen, ob das so okay ist. hier nun die aufgabe:
man betrachte den vektorraum [mm] V:=K^{3} [/mm] für den zweielementigen körper K:=GF(2).
ich soll nun als erstes zeigen, das e1:= [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0}, [/mm] e2:= [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0},e3:= \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] eine basis von V bilden. hab das wie folgt gelöst:
basis ist ein linear unabhängiges erzeugendensystem, also zu zeigen, dass die 3 vektoren linear unabhängig sind:
[mm] \lambda *\vektor{1 \\ 0 \\ 0}+\mu [/mm] * [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0}+ \nu* \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} \Rightarrow \lambda =\mu =\nu=0
[/mm]
(ergibt sich aus LGS, hab ich aber aus platzgründen hier weggelassen), alle anderen vektoren können als linearkombination dieser 3 vektoren gebildet werden,damit bilden sie eine basis
nun sollte ich noch die von den angegebenen mengen erzeugten unterräume von V angeben durch aufzählen ihrer elemente:
M1:= [mm] \{e1,e2 \} M2:=\{ e2,\vektor{1 \\ 1 \\1}\} M3:=\{ e3 \}
[/mm]
hier nun meine lösung:
M1 enthält: [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 0}, \vektor{1 \\ 1 \\ 0}, \vektor{1 \\ 0 \\ 1}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0}, [/mm] diese entstehen jeweils durch alle möglichen linearkombinationen der beiden angegebenen basiselemente
M2 enthält: [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0}, \vektor{1 \\ 1 \\ 1}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
M3 enthält: [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
ist das so korrekt?
danke schon mal fürs durchchecken
liebe grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:17 Mi 23.11.2005 | | Autor: | statler |
Guten Morgen Franziska!
> hab folgende aufgabe und wollte fragen, ob das so okay
> ist. hier nun die aufgabe:
> man betrachte den vektorraum [mm]V:=K^{3}[/mm] für den
> zweielementigen körper K:=GF(2).
> ich soll nun als erstes zeigen, das e1:= [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0},[/mm]
> e2:= [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0},e3:= \vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm] eine
> basis von V bilden. hab das wie folgt gelöst:
> basis ist ein linear unabhängiges erzeugendensystem, also
> zu zeigen, dass die 3 vektoren linear unabhängig sind:
> [mm]\lambda *\vektor{1 \\ 0 \\ 0}+\mu[/mm] * [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0}+ \nu* \vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
> = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0} \Rightarrow \lambda =\mu =\nu=0[/mm]
>
> (ergibt sich aus LGS, hab ich aber aus platzgründen hier
> weggelassen), alle anderen vektoren können als
> linearkombination dieser 3 vektoren gebildet werden,damit
> bilden sie eine basis
>
> nun sollte ich noch die von den angegebenen mengen
> erzeugten unterräume von V angeben durch aufzählen ihrer
> elemente:
>
> M1:= [mm]\{e1,e2 \} M2:=\{ e2,\vektor{1 \\ 1 \\1}\} M3:=\{ e3 \}[/mm]
>
> hier nun meine lösung:
> M1 enthält: [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 0}, \vektor{1 \\ 1 \\ 0}, \vektor{1 \\ 0 \\ 1}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0},[/mm]
[mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1} [/mm] nicht, wie sollte der zustande kommen? Den einen Basisvektor hast du zweimal aufgeführt, das macht bei Mengen im Prinzip nichts, aber M1 hat 4 Elemente (warum?)
> diese entstehen jeweils durch alle möglichen
> linearkombinationen der beiden angegebenen basiselemente
> M2 enthält: [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0}, \vektor{1 \\ 1 \\ 1}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
Hier fehlt ein Element, M2 muß auch 4 Elemente enthalten!
> M3 enthält: [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
Ganz genau: M3 besteht aus oder enthält genau (d. h. die und nur die),
Mathematiker sind echte Korinthenk.....r!
> ist das so korrekt?
Nicht wirklich.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:38 Mi 23.11.2005 | | Autor: | Franzie |
sorry, hab wirklich einige vektoren doppelt aufgezählt, ist mir auch klar, warum der eine nicht zu M1 gehört. dennoch bin ich mir nicht ganz sich, wieso bei M2 noch ein element fehlt: welche kombination kann ich denn aus (1,1,1) und (0,1,0) noch bilden außer (0,0,0)? vielleicht hab ich mich ja total verrechnet, aber alle anderen linearkombinationenm, die ich sonst noch so probiert hab, lassen sich nicht durch diese beiden vektoren darstellen. vielleicht berichtigst du ja meinen fehler.
liebe grüße
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Hallo!
In [mm] $M_2$ [/mm] liegt noch [mm] $\vektor{1\\1\\1}+\vektor{0\\1\\0}$ [/mm] ...
Gruß, banachella
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:05 Mi 23.11.2005 | | Autor: | Franzie |
die idee hatte ich auch bereits, aber mich irritiert, dass
[mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1}+\vektor{0 \\ 1 \\ 0}=\vektor{1 \\ 2 \\ 1}
[/mm]
aber ich betrachte ja den vektorraum über dem körper GF(2) und der hat ja nur die zwei elemente 0 und 1. geht das dann trotzdem mit dem vektor, obwohl er die 2 enthält?
liebe grüße
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Hallo Franzie!
Im Vektorraum über dem Körper GF(2) rechnet man 2 (wegen der 2 in deinem Vektor) modulo 2 (wegen des Körpers GF(2)).
D.h.:
2 (vom Vektor) : 2 (vom Körper) =1 Rest 0
Das bedeutet 2 (vom Vektor) = 0 (der Rest).
Der Vektor [mm] (3\4\2) [/mm] z.B. ist gleich dem Vektor [mm] (1\0\0) [/mm] wegen:
3:2=1 Rest 1
4:2=2 Rest 0
2:2=1 Rest 0
Also ist in deinem Fall [mm] (1\2\1)=(1\0\1).
[/mm]
Ich kann´s auch nicht besser erklären. Hoffe du verstehst, wie ich das meine.
Mach´s gut!
Armin
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