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Hallo
Hab hier folgendes Beispiel
Es sei V= [mm] \{ \vektor{a \\ a-b\\2b} :a,b \in \IR \}
[/mm]
a.)Geben Sie eine Basis für V an und berechnen Sie die Dimension von V
dazu brauche ich 3 linear unabhängige Vektoren
und es gilt weiters [mm] v=v_{1}*b_{1}+v_{2}*b_{2}+v_{3}*b_{3}
[/mm]
[mm] v=a*\vektor{1 \\ 0\\0}+(a-b)*\vektor{0 \\ 1\\0}+2b*\vektor{0 \\ 0\\1}
[/mm]
jetzt ist die Basis 3(weil ich mit 3 linear unabhängige Vektoren jeden v als Linearkombination davon anschreiben kann) und das bedeutet das die Dimension auch gleich 3 ist
b.)Bestimmen Sie einen Vektor [mm] \vec{w}\in \IR^{3} [/mm] der nicht in V liegt
Wenn ich mir das überlege dann gibt es doch keinen Vektor der [mm] \in \IR^{3}
[/mm]
aber nicht im [mm] \IR^{3} [/mm] liegt der Vektorraum hat aber die Dimension 3 also [mm] \IR^{3}
[/mm]
c.)Geben Sie eine 3x3 Matrix A an, für die gilt A* [mm] \vec{x} \in [/mm] V für alle [mm] \vec{x}\in\IR^{3}
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 0&0\\ 0 & 1&0\\0&0&1 }* \vektor{x \\ y\\z}= \vektor{ax+by+cz\\ dx+ey+fz\\gx+hy+iz} [/mm] ist wieder ein Vektor aus [mm] \IR^{3} [/mm] weil sich die Dimension nicht erhöht?
Wie groß ist der Rang höchstens?
Der maximale Rang von A wäre 3
Gehören alle Eigenvektoren von A zu V?
der Eigenwert von A ist 1 der Eigenvektor wäre dann [mm] \vektor{x \\ y\\z} [/mm] und somit ist jeder Eigenvektor von A auch ein Vektor von V
stimmen diese Überlegungen soweit
Kann man sich unter einem Eigenvektor von einer Matrix auch "bildlich" irgendwas vorstellen??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:32 Di 29.11.2005 | | Autor: | moudi |
> Hallo
Hallo stevarino
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> Hab hier folgendes Beispiel
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> Es sei V= [mm]\{ \vektor{a \\ a-b\\2b} :a,b \in \IR \}[/mm]
>
V ist nur als Menge definiert, zuerst müsste man nachweisen, dass V auch
ein linearer Unterraum von [mm] $\IR^3$ [/mm] ist.
> a.)Geben Sie eine Basis für V an und berechnen Sie die
> Dimension von V
>
> dazu brauche ich 3 linear unabhängige Vektoren
V ist leider kein 3 dimensionaler Unterraum, sondern nur zweidimensional!
Zum Beispiel liegt der Vektor
[mm] $\vektor{1 \\ 1 \\ 1}$ [/mm] nicht in V. Was wären die Werte von a und b in diesem Fall?
Hingegen wird der V von den Vektoren
[mm] $v_1=\vektor{1 \\ 1\\ 0}$ [/mm] und [mm] $v_2=\vektor{0 \\ -1\\2}$ [/mm] erzeugt,
denn [mm] $V=\{av_1+b_v_2: a, b\in \IR\}$. [/mm] Ausserdem sind [mm] $v_1$ [/mm] und [mm] $v_2$ [/mm] linear unabhängig.
> und es gilt weiters [mm]v=v_{1}*b_{1}+v_{2}*b_{2}+v_{3}*b_{3}[/mm]
>
> [mm]v=a*\vektor{1 \\ 0\\0}+(a-b)*\vektor{0 \\ 1\\0}+2b*\vektor{0 \\ 0\\1}[/mm]
>
> jetzt ist die Basis 3(weil ich mit 3 linear unabhängige
> Vektoren jeden v als Linearkombination davon anschreiben
> kann) und das bedeutet das die Dimension auch gleich 3
> ist
>
> b.)Bestimmen Sie einen Vektor [mm]\vec{w}\in \IR^{3}[/mm] der nicht
> in V liegt
>
> Wenn ich mir das überlege dann gibt es doch keinen Vektor
> der [mm]\in \IR^{3}[/mm]
> aber nicht im [mm]\IR^{3}[/mm] liegt der
> Vektorraum hat aber die Dimension 3 also [mm]\IR^{3}[/mm]
>
> c.)Geben Sie eine 3x3 Matrix A an, für die gilt A* [mm]\vec{x} \in[/mm]
> V für alle [mm]\vec{x}\in\IR^{3}[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0&0\\ 0 & 1&0\\0&0&1 }* \vektor{x \\ y\\z}= \vektor{ax+by+cz\\ dx+ey+fz\\gx+hy+iz}[/mm]
> ist wieder ein Vektor aus [mm]\IR^{3}[/mm] weil sich die Dimension
> nicht erhöht?
>
>
> Wie groß ist der Rang höchstens?
Der Rang kann höchstens 2 sein, weil der Bildraum als Unterraum von V höchstens die Dimension 2 haben kann.
>
> Der maximale Rang von A wäre 3
>
> Gehören alle Eigenvektoren von A zu V?
Ja, dass muss so sein, weil ein Eigenvektor insbesondere auch im Bildraum liegen muss.
>
> der Eigenwert von A ist 1 der Eigenvektor wäre dann
> [mm]\vektor{x \\ y\\z}[/mm] und somit ist jeder Eigenvektor von A
> auch ein Vektor von V
>
> stimmen diese Überlegungen soweit
> Kann man sich unter einem Eigenvektor von einer Matrix
> auch "bildlich" irgendwas vorstellen??
Ein Eigenvektor einer Abbildung ist ein Vektor, der auf ein Vielfaches von sich selber abgebildet wird. Das heisst, dass die Gerade durch den Eigenvektor invariant unter der Abbildung ist.
z.B. ist die lineare Abbildung eine Drehung im [mm] $\IR^3$, [/mm] dann ist die Drehachse ein "Eigenvektor" der linearen Abbildung.
mfG Moudi
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