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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:47 Mi 01.02.2006 | | Autor: | Edi1982 |
| Aufgabe | Es sei k [mm] \ge [/mm] 1 eine natürliche Zahl. Dann definiert man
[mm] V_k [/mm] := { f [mm] \in [/mm] Abb( [mm] \IZ [/mm] , [mm] \IR [/mm] ) | [mm] \forall [/mm] z [mm] \in \IZ [/mm] : f(z+k) = f(z) }.
i) Geben Sie eine Basis und die Dimension von [mm] V_k [/mm] an.
ii) Die Abbildung a: [mm] V_k \to V_k [/mm] wird definiert durch a(f)(z) := [mm] \bruch{1}{2}(f(z+1) [/mm] - f(z-1)) für alle z [mm] \in \IZ. [/mm] Sie können voraussetzen, dass a wohldefiniert und linear ist. Was ist die geometrische Bedeutung der Abbildung a? Geben Sie den Kern von a durch eine Basis an. |
Also ich habe keine Ahnung was ich in den Aufgaben machen muss.
Ich brauche dringend Hilfe.
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Hallo und guten Morgen,
die Bedingung f(z+k)=9z) fuer alle [mm] z\in\IZ [/mm] heisst ja, dass f schon durch die Bilder
[mm] f(0),\ldots [/mm] f(k-1) vollstaendig festgelegt ist, also essentiell nichts anderes als eine
Abbildung
[mm] f\colon\IZ\slash k\IZ\to \IR.
[/mm]
Nun ist allgemein
[mm] dim_K(Abb(X,K)) [/mm] = |X| (fuer jeden Koerper K, jede Menge X, und
die Funktionen
[mm] \delta_x\colonb X\to [/mm] K, [mm] \:\: \delta_x(y)= [/mm] 1 falls x=y, 0 sonst
(fuer alle [mm] x\in [/mm] X) bilden eine Basis.
Hier ist die Dimension also k.
Zur zweiten Frage: a ist sowas wie eine ''Diskrete Ableitung'',
a(f)(z) ist die Sekantensteigung der Sekante durch die Punkte (z-1,f(z-1)) und (z+1,f(z+1)).
[mm] kern(a)={f\in V_k\: |\: a(f)= f_0\}
[/mm]
wobei ich mal hier mit [mm] f_0 [/mm] die 0-Abbildung [mm] f_0(z)=0 [/mm] fuer alle [mm] z\in\IZ\slash k\IZ
[/mm]
bezeichne (also das neutrale Element der Addition in [mm] V_k).
[/mm]
Die Frage ist nun, fuer welche f gitl:
f(0)=f(2), [mm] f(1)=f(3),\ldots [/mm] f(k-3)=f(k-1), f(k-2)=f(k)=f(0) ?
Falls k ungerade, gilt dies genau fuer alle konstanten Fkt., falls k gerade ist, fuer alle
Funktionen f, die auf den geraden z konstant und auf den ungeraden z konstant sind.
Dies beschreibt komplett den Kern. Eine Basis fuer den Kern:
Fuer k ungerade die Funktion f(z)=1, [mm] z=0,\ldots [/mm] k-1 (Dimension 1),
fuer k gerade die beiden Funktionen
f(z)=1 fuer z ungerade, 0 fuer z gerade und
g(z)=1 fuer z gerade, 0 fuer z ungerade (kern hat Dimension 2).
Viele Gruesse,
Mathias
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