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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:07 So 07.11.2004 | | Autor: | Marietta |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Könnt ihr mir vielleicht bei diesen Aufgaben helfen:
1. Sei V ein [mm] \IR-Vektorraum. [/mm] Definieren Sie auf V die Strukturen eines Q-Vektorraums und erläutern Sie, warum Ihre Konstruktion "natürlich" ist.
2. Fassen Sie [mm] \IR [/mm] als [mm] \IQ-Vektorraum [/mm] auf. Zeigen Sie, dass dann die Vektoren 1, [mm] \wurzel{2} [/mm] und [mm] \wurzel{3} [/mm] linear unabhängig sind.
Ich dachte Vektoren haben immer die Form [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] oder mit drei Elementen. Seit wann sind Vektoren nur Zahlen.
Tschö Marietta
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Gruß Marietta!
Zunächst mal: vergiß alles, was Du in der Schule gelernt hast! Naja, vielleicht nicht unbedingt ALLES... aber mach Dich darauf gefaßt, dass viele Begriffe an der Uni um ein Vielfaches allgemeiner und abstrakter gehalten sind als zu Schulzeiten.
Ein Beispiel dafür ist der Begriff eines "Vektorraumes" und damit verbunden der Begriff eines Vektors.
In der Schule haben wir (und ihr vermutlich auch) unter einem Vektorraum entweder den [mm] $\IR^2$ [/mm] oder den [mm] $\IR^3$ [/mm] verstanden und "Vektoren" waren genau das, was Du hingeschrieben hast - Spaltenvektoren bestehend aus zwei oder drei reellen Zahlen.
An der Uni ist nun ein Vektorraum (über einem Körper K) auf den ersten Blick etwas völlig anderes. Es ist nämlich eine Menge (die Elemente heißen dann "Vektoren", egal ob es Zahlen oder sonstwas sind!), die gewisse Eigenschaften hat. Man möchte, dass man Vektoren addieren und subtrahieren kann und dass es einen Nullvektor gibt (oder kurz: dass $V$ bzgl. + eine abelsche Gruppe bildet).
Außerdem möchte man Vektoren mit Elementen aus $K$ multiplizieren können (Skalarmultiplikation), wobei einige naheliegende Gesetze gelten sollen.
Wann immer eine Struktur wie diese vorliegt, spricht man von einem Vektorraum. Und was einem in der Schule als Vektorraum verkauft wurde, war in Wahrheit nur ein Beispiel - bzw. zwei Beispiele! Denn natürlich sind sowohl der [mm] $\IR^2$ [/mm] als auch der [mm] $\IR^3$ [/mm] Vektorräume über [mm] $\IR$.
[/mm]
Aber es gibt noch viel abstrusere Beispiele. Zum Beispiel die reellen Zahlen selbst als Vektorraum über [mm] $\IQ$ [/mm] aufgefaßt, die in Deiner Aufgabe vorkommen.
Warum ist [mm] $\IR$ [/mm] selbst also plötzlich ein Vektorraum? Naja, man kann reelle Zahlen addieren und subtrahieren, es gibt eine 0 (das ist in diesem Fall der Nullvektor!) und man kann eine reelle Zahl mit einer rationalen Zahl multiplizieren, so dass alle Gesetze eines Vektorraumes erfüllt sind - also ist es einer.
Natürlich kann man auch zwei reelle Zahlen miteinander multiplizieren, aber das interessiert im Moment nicht und daher läßt man das in dem Fall einfach weg und nutzt nur die allgemeinen Gesetze und Definitionen eines Vektorraumes.
Zum Beispiel diese: ist $V$ ein Vektorraum über $K$ und sind [mm] $v_1, \ldots, v_n$ [/mm] Vektoren in $V$, so heißen diese linear unabhängig, falls aus
[mm] $\sum_{i=1}^n \lambda_i v_i [/mm] = 0$ mit [mm] $\lambda_1, \ldots, \lambda_n \in [/mm] K$ bereits folgt: [mm] $\lambda_1 [/mm] = [mm] \ldots [/mm] = [mm] \lambda_n [/mm] = 0$.
Auf die Aufgabe bezogen hast Du also Folgendes zu zeigen:
Seien $a,b,c [mm] \in \IQ$ [/mm] beliebig mit der Eigenschaft, dass $a + [mm] b\sqrt{2} [/mm] + [mm] c\sqrt{3} [/mm] = 0$. Dann mußt Du zeigen: es gilt $a = b = c = 0$.
Am besten mit Fallunterscheidungen und unter Ausnutzung der Tatsache, dass [mm] $\sqrt{2} \notin \IQ$ [/mm] und auch [mm] $\sqrt{3} \notin \IQ$.
[/mm]
Alle (Un)Klarheiten beseitigt? Dann ans Werk! 
Lars
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