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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:15 Do 16.08.2007 | | Autor: | tynia |
| Aufgabe | Welche der folgenden Mengen sind Vektorräume, wenn man die Addition und Skalarmultiplikation komponentenweise definiert:
1. Menge aller reellen Folgen der Länge 1000;
2. Menge aller endlichen reelen Folgen;
3. Menge aller unendlichen reelen Folgen;
4. Menge aller unendlichen reelen Folgen, die nur endlich viele von 0 verschiedene Komponenten haben;
5. Menge aller unendlichen reelen Folgen, die unendlich viele von 0 verschiedene Komponenten haben;
6. Menge aller unendlichen reelen Folgen, die nur endlich viele von 1 verschiedene Komponenten haben; |
Ich habe diese Frage in keinem anderem Forum im Internet gestellt.
Hi 
Ich weiß echt nicht, wo ich hier anfangen soll. Habe keine Ahnung. Wäre nett wenn mir jemand weiter helfen könnte. Brauche diese Aufgabe dringend für meine LA Klausur.
Und es reicht wohl auch nicht zu sagen, welches denn nun Vektorräume sind, man muss auch zeigen, warum.
Liebe Grüße und danke schonmal im voraus.
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> Welche der folgenden Mengen sind Vektorräume, wenn man die
> Addition und Skalarmultiplikation komponentenweise
> definiert:
>
> 1. Menge aller reellen Folgen der Länge 1000;
> 2. Menge aller endlichen reelen Folgen;
> 3. Menge aller unendlichen reelen Folgen;
> 4. Menge aller unendlichen reelen Folgen, die nur endlich
> viele von 0 verschiedene Komponenten haben;
> 5. Menge aller unendlichen reelen Folgen, die unendlich
> viele von 0 verschiedene Komponenten haben;
> 6. Menge aller unendlichen reelen Folgen, die nur endlich
> viele von 1 verschiedene Komponenten haben;
Hallo,
ich nehme einmal an, daß Ihr in der Vorlesung gezeigt hattet, daß die (unendlichen) reellen Folgen zusammen mit den beiden erwähnten Verknüpfungen einen VR bilden. (Das ist Aufg.3)
Vor diesem Hintergrund reduzieren sich 4.,5. und 6. auf die Untervektorraumfrage, d.h. Du mußt prüfen, ob das neutrale Element in diesen Mengen liegt, und ob die Summe zweier Elemente sowie das Produkt aus einer reellen Zahl und einem Elemnt der Menge wieder in der Mengen liegen, also die Abgeschlossenheit bzgl. der beiden Verknüpfungen.
Bei 2. dürfte bereists die komponentenweise Addition Probleme bereiten. Wie willst Du die Folgen (1,1,1,1) und (5,6) komponentenweise addieren?
Für 1. müßtest Du Dich am Nachweis der VR-Axiome versuchen, oder (das dürfte schneller gehen)
Du untersuchst, ob die Folgen, die ab dem 1001.ten Folgenglied =0 sind, ein UVR der reellen Folgen sind und gibst dann einen Isomorphismus an von den Folgen der Länge 1000 auf die oben beschriebene Menge.
Gruß v. Angela
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