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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:22 Mi 05.01.2005 | | Autor: | sophyyy |
hallo,
ich schreibe in nicht mehr einer woche klausur und kann die aufgabe nicht knacken. ich hoffe, dass mir einer von euch helfen kann. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. bitte helft ihr mir!
vielen dank!!!
"Bilden die angegebenen Funktionen einen Unterraum des Vektorraumes? (die Definitionsmenge sei jeweils R):
a) Menge aller Funktionen f mit f(7) = 0.
b) Menge aller Funktionen f mit |f(x)| < 1 für alle x R "
die beiden funktionen müßen doch a + b: x -> a(x) + b(x) und r*a : x -> r* a(x) erfüllen um die vektorraumaxiome zu erfüllen.... und dann? was soll es für diese aufgabe für eine konkrete antwort geben. ich schwimme da total...
nochmal vielen dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:38 Mi 05.01.2005 | | Autor: | Hanno |
Hiho!
> die beiden funktionen müßen doch a + b: x -> a(x) + b(x) und r*a : x -> r* a(x) erfüllen um die vektorraumaxiome zu erfüllen.... und dann? was soll es für diese aufgabe für eine konkrete antwort geben. ich schwimme da total...
Ja, das geht doch schon in die richtige Richtung ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") . Fangen wir mal bei der ersten Menge an:
Wir wählen uns zwei beliebige Vektoren (das sind ja in diesme Falle Funktionen) $g$ und $f$ aus der besagten Mengen, dann gilt nach Definition [mm] $g(7)=0=f(7)\Longrightarrow [/mm] f(7)+g(7)=(f+g)(7)=0$. Damit liegt auch die Summe der beiden Vektoren/Funktionen in der besagten Menge und somit ist die Abgeschlossenheit der Addition bewiesen. Für die Multiplikation ist nun wieder $f$ eine Funktion mit $f(7)=0$ und [mm] $\lambda\in\IR$. [/mm] Dann gilt [mm] $\lambda\cdot f(7)=(\lambda\cdot f)(7)=\lambda\cdot [/mm] 0=0$. Somit ist auch die Multiplikation abgeschlossen und die Menge mit der auf ihr definierten Verknüpfungen ein Vektorraum.
Schaffst du nun die zweite Aufgabe selbst? Einen Tip gebe ich dir: es handelt sich bei (b) nicht um einen Vektorraum.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:47 Do 06.01.2005 | | Autor: | sophyyy |
oh- vielen, vielen dank. zur aufgabe a) noch kurz eine frage: darf ich die vektoren wirklich beliebig wählen, so hinschustern, dass es irgendwie klappt? (zeile g(7) = 0 = f(7))
b) ist also kein vektorraum d.h. die addition und multiplikation kann nicht bzw. darf nicht funktionieren.
wenn |f(x)| < 1 und |g(x)| < 1 kann es nicht sein, dass |f(x) + g(x)| < 1.
aber doch nur bei bestimmten zahlen: falls f und g z.B. 0,4 und 0,5 wären, dann sind sie immer noch < 1..... oder wie???
muss ich das in der klausur mit zahlenbeispiel angeben?
noch eine zusätzliche frage - wenn die frage ist, ob 2 2- dimensionale vektoren eine basis aufspannen, genügt es dann zu sagen, dass sie vielfache bzw. keine vielfachen sind. oder ist das nicht mathematisch und ich muss die determinante ausrechnen???
danke, du hilfst mir damit sehr
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> zur aufgabe a) noch kurz eine
> frage: darf ich die vektoren wirklich beliebig wählen, so
> hinschustern, dass es irgendwie klappt? (zeile g(7) = 0 =
> f(7))
Naja, so ganz beliebig isses ja nicht. Für diese Funktionen (für alle) soll ja nur gelten: f(7)=0. Das ist also die einzige Bedingung. Und aus dieser Menge von Funktionen hat Hanno sich zwei Stück rausgesucht und auch nur die f(7)=0-Bedingung verwendet.
> wenn |f(x)| < 1 und |g(x)| < 1 kann es nicht sein, dass
> |f(x) + g(x)| < 1.
Naja, es kann, wie du später schreibst. Aber es gilt eben nicht für alle. Ist der Unterschied klar geworden?
> aber doch nur bei bestimmten zahlen: falls f und g z.B.
> 0,4 und 0,5 wären, dann sind sie immer noch < 1..... oder
> wie???
Siehe oben: es stimmt, dass es klappen kann, aber zu zeigen ist, dass die Bedingungen für alle Elemente des Vektorraums erfüllt sind.
Und das würde zum Beispiel auch schon mit der konstanten Funktion [mm]f(x) \equiv 0,9[/mm] gehen, denn für ein beliebiges Vielfaches dieser Funktion sind wir schon raus aus dem "<1 - Bereich".
>
> muss ich das in der klausur mit zahlenbeispiel angeben?
>
Ist bei "überprüfen Sie"-Aufgaben immer so: wenn irgendwas nicht gilt, dann reicht ein Gegenbeispiel. Ist die Aussage dagegen wahr, dann braucht man den vollständigen Nachweis (so wie Hanno bei Aufgabe a) das gemacht hat).
> noch eine zusätzliche frage - wenn die frage ist, ob 2 2-
> dimensionale vektoren eine basis aufspannen, genügt es dann
> zu sagen, dass sie vielfache bzw. keine vielfachen sind.
> oder ist das nicht mathematisch und ich muss die
> determinante ausrechnen???
Bei zwei Vektoren aus dem [mm]\IR^2[/mm] reicht die Vielfachen-Bedingung aus (allerdings dauert die Determinante auch nicht wirklich länger).
Bei mehr Vektoren aus "höheren" Vektorräumen brauchst du entweder die LGS-Methode (also Vektoren als Zeilen in Matrix schreiben, und schauen, ob nach Gauß-Umformungen eine oder mehrere Zeilen wegfallen -> dann wären sie lin. abhängig). LGS-Methode geht immer.
Oder, wenn du aus dem [mm]\IR^n[/mm] n Vektoren hast, dann eben mit Determinante.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:14 Do 06.01.2005 | | Autor: | sophyyy |
danke,
irgendwie kann ich mich mit diesen aufgaben nicht anfangen, weil ich nicht durchblicke, was das mit vektoren zu tun hat, aber ok....
mut zur lücke  )
danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:32 Do 06.01.2005 | | Autor: | e.kandrai |
Ist anfangs etwas verwirrend, aber der Begriff "Vektorraum" meint nicht immer nur Vektoren. Es geht einfach nur um die Elemente der zugrundeliegenden Menge. Das können Vektoren sein, aber auch Funktionen. Aber das macht bei den Nachweisen zum Glück meistens keinen großen Unterschied, welche Elemente man betrachtet.
![[]](/images/popup.gif) Hier gibt's das auch zu lesen:
"...Prototyp eines Vektorraums ist der zwei- oder dreidimensionale, geometrisch anschauliche Euklidische Raum. In der Abstraktion zum Vektorraum erlaubt man beliebig, auch unendlich viele Dimensionen. Als Vektoren, also Elemente des Vektorraums, lässt man auch Objekte wie Funktionen oder Matrizen zu, die aus einem außergeometrischen Kontext stammen. Entscheidend ist nur, dass die Elemente eines Vektorraums den aus der Geometrie abstrahierten Regeln für die Addition und Streckung von Vektoren genügen..."
Man darf sich einfach nicht zu sehr am Wort "Vektor" aufhängen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Do 06.01.2005 | | Autor: | sophyyy |
brrrr.... ich kann mich trotzdem nicht damit anfreunden. und wenn so eine ähnliche aufgabe drankommen sollte bau ich das gleiche hin wie in der aufgabe, die ich hier hingeschrieben habe....
ließ mir trotzdem deine formelsammlungsseite an. vielleicht bringt es doch noch die erleuchtung - aber es gibt ja auch noch andere aufgaben....
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