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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:56 Mi 11.03.2009 | | Autor: | stowoda |
| Aufgabe | In einem K-Vektorraum V hat man die folgenden Rechenregeln:
0*v=0
Der Beweis:
0*v=(0+0)*v=0*v+0*v |
Hallo,
wieso wurde diese Beweisführung gewählt?
Man hat einfach aus 0 eine Summe gemacht.. Wo liegt da die Logik?
Geht man so vor, um sicher zu gehen, dass 0 auch wirklich 0 ist?
Denn es scheint mir das einzige Element aus K, was mit sich selbst addiert wird sich selbst ergibt.
Ich finde keine andere Erklärung dazu..
Vielleicht könnt Ihr mir unter die Arme greifen.
Grüße
stowoda
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> In einem K-Vektorraum V hat man die folgenden
> Rechenregeln:
> 0*v=0
>
> Der Beweis:
> 0*v=(0+0)*v=0*v+0*v
> Hallo,
>
> wieso wurde diese Beweisführung gewählt?
Hallo,
zu zeigen ist hier ja, daß für jeden beliebigen Vektor [mm] v\in [/mm] v das Produkt mit der Null (aus K) den Nullvektor, also das neutrale Element der Addition in V, ergibt.
Ich schreib's der Deutlichkeit halber mal mit Pfeilen: zu zeigen ist [mm] 0*\vec{v}=\vec{0}
[/mm]
> Man hat einfach aus 0 eine Summe gemacht.. Wo liegt da die
> Logik?
Großartige Logik liegt nicht darin, sondern folgendes:
1. ist es aufgrund der Def. der [mm] 0\in [/mm] K völlig unbestritten, daß 0+0=0 ist
2. funktioniert's, wenn man diese Tatsache verwendet.
> Geht man so vor, um sicher zu gehen, dass 0 auch wirklich 0
> ist?
Nein, s. o.
Man schreibt also die 0 als 0+0 und erhält hieraus unter Beachtung der Vektorraumaxiome
[mm] \green{0*\vec{v}}=\green{0*\vec{v}} [/mm] + [mm] \blue{0*\vec{v}}. [/mm]
Nach def. des VRes ist (V,+) eine Gruppe, es gibt also genau ein neutrales Element [mm] \vec{0}.
[/mm]
Oben sehen wir nun, daß, wenn wir [mm] \blue{0*\vec{v}} [/mm] zu [mm] \green{0*\vec{v}} [/mm] addieren, wieder [mm] \green{0*\vec{v}} [/mm] heruaskommt.
Also muß [mm] \blue{0*\vec{v}} [/mm] das neutrale Element der Addition in V sein, dh. [mm] \blue{0*\vec{v}}=\vec{0}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:17 Mi 11.03.2009 | | Autor: | stowoda |
Ich verstehe nun. :)
Vielen Dank.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:25 Mi 11.03.2009 | | Autor: | stowoda |
| Aufgabe | [mm] \lambda\cdot\vec{v}=\vec{0} \Rightarrow \lambda [/mm] = 0 oder [mm] \vec{v} [/mm] = [mm] \vec{0}
[/mm]
Beweis:
Ist [mm] \lambda\cdot\vec{v}=\vec{0}, [/mm] aber [mm] \lambda\not=0, [/mm] so folgt
[mm] \vec{v}=1\cdot\vec{v}=(\lambda^{-1}\lambda)\cdot\vec{v}=\lambda^{-1}\cdot(\lambda\cdot\vec{v})=\lambda^{-1}\cdot\vec{0}=\vec{0} [/mm] |
Könntest Du mit hier ähnlich wie oben, erklären wie der Beweis zu verstehen ist?
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> [mm]\lambda\cdot\vec{v}=\vec{0} \Rightarrow \lambda[/mm] = 0 oder
> [mm]\vec{v}[/mm] = [mm]\vec{0}[/mm]
>
> Beweis:
>
> Ist [mm]\lambda\cdot\vec{v}=\vec{0},[/mm] aber [mm]\lambda\not=0,[/mm] so
> folgt
>
> [mm]\vec{v}=1\cdot\vec{v}=(\lambda^{-1}\lambda)\cdot\vec{v}=\lambda^{-1}\cdot(\lambda\cdot\vec{v})=\lambda^{-1}\cdot\vec{0}=\vec{0}[/mm]
> Könntest Du mit hier ähnlich wie oben, erklären wie der
> Beweis zu verstehen ist?
>
Hallo,
es würde mich schon interessieren, was an diesem Beweis Dir unklar ist - bzw. hoffentlich "war" nach der Lektüre.
Ist es die Tatsache, daß hier überhaupt irgendetwas zu zeigen ist, oder siehst Du am Ende nicht, daß etwas gezeigt wurde?
Die Umformungsschritte zwischendurch sind ja wenig geheimnisvoll.
Die Behauptung ist also: $ [mm] \lambda\cdot\vec{v}=\vec{0} \Rightarrow \lambda [/mm] $ = 0 oder $ [mm] \vec{v} [/mm] $ = $ [mm] \vec{0} [/mm] $
Im kleinen Beweis von zuvor wurde bereits gezeigt, daß [mm] 0\cdot\vec{v}= \vec{0} [/mm] ist.
Wenn wir also [mm] \lambda\cdot\vec{v}=\vec{0} [/mm] sehen, können wir wissen, daß eine Möglichkeit, wie das passieren kann, [mm] \lambda=0 [/mm] sein kann.
Damit steht der eine Teil der Folgerung.
Nun interessieren wir uns dafür, was ist, wenn [mm] \lambda [/mm] eben nicht 0 ist. Dann kann man [mm] \lambda [/mm] invertieren, da es einem Körper entstammt.
Unser Ziel ist es nun, vorzurechnen, daß [mm] \vec{v}=\vec{0} [/mm] ist.
Der Kunstgriff, der verwendet wird, ist, daß man [mm] \vec{v} [/mm] schreibt als [mm] 1*\vec{v}.
[/mm]
Man darf dies, weil es in den VRaxiomen steht.
Und nun geht's los, man darf nicht vergessen, daß [mm] \lambda\cdot\vec{v}=\vec{0} [/mm] vorausgesetzt ist.
Man bekommt
[mm] \vec{v}= 1*\vec{v}= ....=\lambda^{-1}\vec{0}.
[/mm]
Ich nehme nun an, daß irgendwann vorher gezeigt wurde, daß das Vielfache des Nullvektors der Nullvektor ist, und das liefert jetzt das letze Mosaiksteinchen [mm] ...=\vec{0}.
[/mm]
Nun kurz innehalten und überlegen, was gezeigt wurde:
Man hatte [mm] \lambda\cdot\vec{v}=\vec{0}.
[/mm]
dann könnte es sein, daß [mm] \lambda=0, [/mm] und wenn dies nicht der Fall ist, dann ist nach der Rechnung von oben [mm] vec{v}=\vec{0}. [/mm]
Eine andere Möglichkeit gibt es nicht.
Gruß v. Angela
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