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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:08 Di 16.11.2004 | | Autor: | cloudlet |
Hallo, alle!
Und auch bei dieser Aufgabe ist mir unklar,wie ich es lösen kann.
Aufgabe: a)Es sei K ein Körper und es seien K= [mm] \IZ_{5} [/mm] der Körper mit 5 Elementen und U= <a,b> für
a= [mm] \pmat{ 1 & 4 \\ 0 & 2 }, [/mm] b= [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 4 } \in \IZ_{5}^{2 \times2}.
[/mm]
Zeigen Sie, dass [mm] \{a,b \} [/mm] eine Basis von U ist. Finden Sie c,d [mm] \in\IZ_{5}^{2 \times2}, [/mm] so dass [mm] \{a,b,c,d \} [/mm] eine Basis von [mm] \IZ_{5}^{2 \times2} [/mm] ist.
b) Liegen die Matrizen v= [mm] \pmat{ 2 & 1 \\ 0 & 2 } [/mm] und w= [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0} [/mm] aus [mm] \IZ_{5}^{2 \times2} [/mm] in U?
Es würde mir sehr helfen, wenn man zeigt, wie ich zu den Lösungen komme, damit ich dann selber verstehe und weiß, wie ich damit umgehen kann. Vielen Dank im Voraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:37 Di 16.11.2004 | | Autor: | PiMeson |
Hallo,
zu Teilaufgabe a): a und b spannen den Teilraum U auf. Zur Basis fehlt noch die lineare Unabhaengigkeit - zeige also noch dass: [mm] \alpha [/mm] a + [mm] \beta [/mm] b = 0 nur wenn [mm] \alpha [/mm] = 0 und [mm] \beta [/mm] = 0.
Um eine Basis von [mm] \IZ^{2x2}_{5} [/mm] zu erhalten fehlen noch zwei linear unabhaengige Matrizen c und d, mit denen man den Rest des Koerpers aufspannt. Um dadrauf zu kommen, ueberleg Dir erstmal mal Matrizen, die nicht in U liegen, zum Beispiel [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 } [/mm] und [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }, [/mm] und wie man sie darstellen koennte. Dann solltest Du auf eine sinnvolle Basisergaenzung kommen. Dann muss noch bewiesen werden, dass es sich wirklich um eine Basis handelt - dass {a, b, c, d} linear unabhaengig sind und den gesamten Raum aufspannen.
zu Teilaufgabe b):
Liegen v und w in U - also, kann man v bzw. w mit Hilfe der Basis {a,b} darstellen? Da musst Du auch einfach geschickt probieren - findest du Koeffizienten [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] so dass [mm] \alpha [/mm] a + [mm] \beta [/mm] b = v? Du kannst diese Gleichung koeffizientenweise ausmultiplizieren, das ergibt fuer die Matriz v dann zum Beispiel:
[mm] \alpha \pmat{ 1 & 4 \\ 0 & 2 } [/mm] + [mm] \beta \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 4 } [/mm] = [mm] \pmat{ 2 & 1 \\ 0 & 2 }
[/mm]
also: [mm] \alpha [/mm] + [mm] \beta [/mm] = 2 und 4 [mm] \alpha [/mm] + [mm] \beta [/mm] = 1 und 0 [mm] \alpha [/mm] + 0 [mm] \beta [/mm] = 0 und 2 [mm] \alpha [/mm] + 4 [mm] \beta [/mm] = 2 - nach [mm] \alpha [/mm] oder [mm] \beta [/mm] aufloesen und schauen, ob eine Loesung ueberhaupt moeglich ist. Fuer w dann natuerlich genauso verfahren.
Ich hoffe das konnte Dir ein wenig weiterhelfen.
PiMeson
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