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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:09 Mi 28.12.2005 | | Autor: | oeli1985 |
| Aufgabe | Es sei V der [mm] \IR [/mm] - Vektorraum der reellen Polynome vom Grad [mm] \le [/mm] 4, außerdem betrachten wir die lineare Abbildung F: V [mm] \to [/mm] V, f [mm] \mapsto x^{2} [/mm] f''(x)
Zeigen sie, dass B:= {1, x+1, [mm] x^{2}+x, x^{2}+ x^{3}, x^{3}+ x^{4} [/mm] } eine Basis von V ist und bestimmen sie die Darstellungsmatrix von F bezüglich dieser Basis. |
Hallo zusammen,
ich könnte etwas Hilfe bei eben beschriebener Aufgabe brauchen. Also ich habe mir bereits folgende Gedanken gemacht:
[u] Zur Basis [u]
[i] [mm] span_{ \IR}(B) [/mm] = V [i]
" [mm] \supset"
[/mm]
[mm] span_{ \IR}(B) [/mm] ist Teilmenge von V, da jede Linearkombination von Elementen aus B die Form eines reellen Polynoms vom Grad [mm] \le [/mm] 4 annimmt, denn durch Addition und entsprechend der Elemente aus B kann kein x mit einer Potenz [mm] \ge [/mm] 5 erzeugt werden.
" [mm] \supset"
[/mm]
V ist Teilmenge von [mm] span_{ \IR}(B), [/mm] da durch die Elemente aus B jedes mögliche Polynom vom Grad [mm] \le [/mm] 4 erzeugt werden und somit Element aus [mm] span_{ \IR}(B) [/mm] ist.
[i] B ist linear Unabhängig [i]
Bei diesem Teil der Aufgabe liegt mein Problem.
Also ich ich bin soweit gekommen:
sei a,b,c,d,e [mm] \in \IR
[/mm]
a+b(x+1)+c(x+ [mm] x^{2})+d( x^{2}+ x^{3})+e( x^{3}+ x^{4})=0
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] (a+b)+x((b+c)+x(c+d)+x(x(d+e)+ex²))=0
So ich habe aber keine Ahnung wie ich hier weiter machen soll, oder ob ich überhaupt in die "richtige Richtung" umgeformt habe.
[u] zur darstellenden Matrix bzgl. B [u]
Also normalerweise müsste sich diese Matrix doch durch:
F( [mm] b_{j})= \summe_{i=1}^{5} a_{ij} b_{i}
[/mm]
erstellen lassen.
Das heisst wir würden z.B. bekommen:
F(1)= [mm] a_{11}+ a_{21} [/mm] (x+1)+ [mm] a_{31} [/mm] (x+ [mm] x^{2})+ a_{41} [/mm] ( [mm] x^{2}+ x^{3})+ a_{51} [/mm] ( [mm] x^{3}+ x^{4})
[/mm]
da f''(x) = 12a [mm] x_{2}+6bx+2c [/mm] also F(1)= 12a [mm] x_{4}+6b x_{3}+2c x_{2}
[/mm]
somit:
12a [mm] x_{4}+6b x_{3}+2c x_{2}= a_{11}+ a_{21} [/mm] (x+1)+ [mm] a_{31} [/mm] (x+ [mm] x^{2})+ a_{41} [/mm] ( [mm] x^{2}+ x^{3})+ a_{51} [/mm] ( [mm] x^{3}+ x^{4})
[/mm]
Jetzt weiss ich aber leider wieder nicht mehr weiter.
Wäre nett wenn ihr mir bei beiden Aufgabenteilen weiterhelfen könntet. DANKE schon mal
Gruß, Patrick
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:04 Mi 28.12.2005 | | Autor: | piet.t |
Hallo Patrick,
zu [mm]\text{span}_{\IR}(B) \subseteq V [/mm]:
Mir würde da schon reichen, dass alle Elemente von B in V liegen. weil V ja ein Vektorraum ist gilt das dann folglich auch für alle Linearkombinationen.
zu [mm]\text{span}_{\IR}(B) \supseteq V [/mm]:
Die Behauptung ist mir etwas zu gewagt! Am besten setzt Du ein allgemeines Polynom vom Grad 4 an und versucht die Darstellung als Linearkombination der B-Vektoren zu bestimmen (Koeffizientenvergleich der Koeffizienten vor den einzelnen x-Potenzen auf beiden Seiten der Gleichung: vor der gleichen Potenz muss auf jeder Seite der gleiche Faktor stehen, sonst sind die Polynome nicht gleich!).
Zur linearen Unabhängigkeit:
Der Ansatz ist schon richtig, jetzt musst Du nur noch etwas weitermachen:
die linke Seite komplett ausmultiplizieren und dann müsste wieder über Koeffizientenvergleich a=b=c=d=e=0 folgen. (Preisfrage: welche Koeffizienten stehen auf der rechten Seite bei [mm] x^4, x^3, x^2, x^1 [/mm] und [mm] x^0 [/mm] ??)
zur Matrixdarstellung:
Ich komme da auf ein anderes F(1):
[mm]F(1) = x^2 \cdot (1)'' = x^2 \cdot 0 = 0[/mm]
und da die Koordinaten bezüglich B zu bestimmen ist ja nicht schwer....
Weil Dir das aber wohl noch nicht gar so viel hilft hier noch das Bild des letzten Basisvektors:
[mm]F(x^3 + x^4) = x^2 \cdot (x^3 + x^4)'' = x^2 \cdot (6x + 12 x^2) =
6 x^3 + 12x^4 [/mm]
Die allgemeine Darstellung mit den Matrixelementen hast Du ja bereits bestimmt (einfach bei Deinen [mm] a_{n1} [/mm] aus F(1) ein [mm] a_{n5} [/mm] machen), dann wieder ausmultiplizieren und Koeffizientenvergleich der allgemeinen Form mit dem Ergebnis oben die Matrixeinträge der 5. Spalte bestimmen.
So, damit bleiben dann noch 3 Spalten übrig, aber die laufen genauso!
Ich hoffe das hilft etwas!
Gruß
piet
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