Vektorräume mit einem Isomorph < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:54 So 01.05.2011 | | Autor: | mathetuV |
aufgabenstellung: finde alle vektorräume V über K, so dass dort genau ein Isomorpjismus von V in sich selbst exietiert.
Kann mir da bitte einer dringend helfen, wie ich das lösen kann?
MfG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:06 So 01.05.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> aufgabenstellung: finde alle vektorräume V über K, so
> dass dort genau ein Isomorpjismus von V in sich selbst
> exietiert.
Zuerst: die Identitaet ist immer ein Isomorphismus $V [mm] \to [/mm] V$.
>
>
> Kann mir da bitte einer dringend helfen, wie ich das lösen
> kann?
Sagen wir mal du hast eine $K$-Basis [mm] $(v_i)_{i\in I}$ [/mm] von $V$.
Wenn jetzt $|I| > 1$ gilt, dann hat die Basis mindestens zwei Elemente. Kannst du damit einen Isomorphismus $V [mm] \to [/mm] V$ basteln, der nicht die Identitaet ist?
Jetzt schau dir den Fall $|I| = 1$ an. Hier kannst du alle Isomorphismen einfach beschreiben, und bekommst damit auch heraus wieviele es gibt. Wann gibt es nur genau einen?
Und schliesslich der Fall $|I| = 0$. Wieviele Isomorphismen gibt es hier?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:18 So 01.05.2011 | | Autor: | mathetuV |
aufgabenstellung: finde alle vektorräume V über K, so dass dort genau ein Isomorpjismus von V in sich selbst exietiert.
Kann mir da bitte einer dringend helfen, wie ich das lösen kann?
MfG
sorry wenn ich jetz falsch antworte:vielen dank für deinen denkanstoß.
|I|=0 gibts es dich eeinen isomorphismus, der die null wieder auf die null abbildet,
|I|>1 gibt es doch so viele automorphismen wie vektoren, oder vereth ich das nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:08 Mo 02.05.2011 | | Autor: | fred97 |
Sei B eine Basis von V mit mindestens 2 Elementen [mm] b_1,b_2: [/mm] Setze
[mm] g(b_1)=b_2 [/mm] , [mm] g(b_2)=b_1 [/mm] und g(b)=b für b [mm] \in [/mm] $B [mm] \setminus \{b_1,b_2 \}$
[/mm]
Dann ist die lineare Fortsetzung f von g auf V ein Isomorphismus von V und f [mm] \ne id_V
[/mm]
FRED
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