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| Aufgabe | Es sei (V,+, *) ein reeller Vektroraum. Beweisen Sie, dass die folgenden Rechenregeln für beliebige x,y [mm] \in [/mm] V und [mm] \lambda \in \IR [/mm] richtig sind; dabei achte man sorgfältig darauf, nur die Axiome und die in der Vorlesung bewiesenen Aussagen zu verwenden.
(iii) [mm] \lambda [/mm] 0 = 0 |
Hallo Leute, ich soll anhand der axiome, die euch sicherlich bekannt sind, es handelt sich um Vektorraum-Axiome, (iii) Beweisen, nur hab ich Probleme bei der Schreibweise.
[mm] \lambda [/mm] 0 = [mm] \lambda [/mm] (0+0)
laut Nullvektor Axiom
= [mm] \lambda [/mm] 0 + [mm] \lambda [/mm] 0
laut Distributivgesetz
= 0 [mm] (\lambda [/mm] + [mm] \lambda)
[/mm]
laut Distributivgesetz
= 0 ( 2 * [mm] \lambda)
[/mm]
So und wie geht es jetzt weiter? Das iss echt mal ganz schön blöd mit diesen Schreibweisen. Naja hat ja seinen Sinn und Zweck!
Das ist bestimmt en klax für euch!!
mfg
adrenaline
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:44 Sa 04.03.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Es sei (V,+, *) ein reeller Vektroraum. Beweisen Sie, dass
> die folgenden Rechenregeln für beliebige x,y [mm]\in[/mm] V und
> [mm]\lambda \in \IR[/mm] richtig sind; dabei achte man sorgfältig
> darauf, nur die Axiome und die in der Vorlesung bewiesenen
> Aussagen zu verwenden.
>
> (iii) [mm]\lambda[/mm] 0 = 0
> Hallo Leute, ich soll anhand der axiome, die euch
> sicherlich bekannt sind, es handelt sich um
> Vektorraum-Axiome, (iii) Beweisen, nur hab ich Probleme bei
> der Schreibweise.
Da du nicht dabeigeschrieben hast, was ihr als Vektorraumaxiome hattet, muss ich ein wenig raten 
> [mm]\lambda[/mm] 0 = [mm]\lambda[/mm] (0+0)
>
> laut Nullvektor Axiom
>
> = [mm]\lambda[/mm] 0 + [mm]\lambda[/mm] 0
Hattet ihr ein Axiom, dass jeder Vektor $v$ ein additiv neutrales Element $-v$ mit $v + (-v) = 0$ besitzt?
Dann schau dir doch mal die Gleichung [mm] $\lambda [/mm] 0 = [mm] \lambda [/mm] 0 + [mm] \lambda [/mm] 0$ und die Gleichung [mm] $\lambda [/mm] 0 = [mm] \lambda [/mm] 0 + 0$ an, kombiniere sie, und waehle $v = [mm] \lambda [/mm] 0$. Hilft dir das? :)
LG Felix
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Hallo felixf, danke für deine Antwort!!
Ja wir hatten auch das additive inverse Axiom.
Hier sind die Axiome, du hast Recht:
1. (x + y) + z = x + (y + z)
2. x + y = y + x
3. [mm] \exists [/mm] 0 [mm] \in [/mm] V: x + 0 = x [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] V
4. [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] V [mm] \exists [/mm] -x [mm] \in [/mm] V : x + (-x) = 0
5. [mm] \lambda [/mm] ( [mm] \mu [/mm] * x ) = ( [mm] \lambda [/mm] * [mm] \mu [/mm] ) x [mm] \forall \lambda [/mm] , [mm] \mu \in \IR
[/mm]
6. [mm] \lambda [/mm] (x + y) = [mm] \lambda [/mm] x + [mm] \lambda [/mm] y [mm] \forall \lambda \in \IR [/mm] , x,y [mm] \in [/mm] V
7. ( [mm] \lambda [/mm] + [mm] \mu [/mm] ) x = [mm] \lambda [/mm] x + [mm] \mu [/mm] x [mm] \forall \lambda [/mm] , [mm] \mu \in \IR, [/mm] x [mm] \in [/mm] V
Also wie folgt:
[mm] \lambda [/mm] 0 = [mm] \lambda [/mm] 0 + 0 laut Nullvektor, setze [mm] \lambda [/mm] 0 = v
= v + (- v ) = 0
= v - v = 0
= v = 0 = [mm] \lambda [/mm] 0
wobei ich nicht weiss ob ich das v einfach auf die andere Seite holen darf, weil sowas hatten wir nicht in den Axiomen stehen.
Dafür muss man doch aber nicht unbedingt [mm] \lambda [/mm] 0 = v setzen oder?
Ausserdem wie hätte ich [mm] \lambda [/mm] 0 = [mm] \lambda [/mm] 0 + [mm] \lambda [/mm] 0 kombinieren sollen mit [mm] \lambda [/mm] 0 = [mm] \lambda [/mm] 0 + 0? Vorallem, weil [mm] \lambda [/mm] 0 = [mm] \lambda [/mm] 0 + [mm] \lambda [/mm] 0 schon gar nicht mehr richtig ist glaub e ich, da man diese Gleichung nicht von [mm] \lambda [/mm] 0 herleiten kann.
Also Ausserdem habe ich hier als nächste Aufgabe 0x = 0, wobei 0 kein Vektor sein soll. Wie mach ich jetzt hier weiter?
Sorry, das sind echt mal bedepperte Fragen, aber Der Übungsleiter will das korrekt geschrieben haben sonst gibts keine Punkte.
mfG
adrenaline
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Hallo,
ich würde es so machen:
[mm] \lambda*0=\lambda*(0+0)=\lambda*0+\lambda*0
[/mm]
Jetzt addierst du einfach auf beiden Seiten mit dem multiplikativ-Inversen von [mm] \lambda*0 [/mm] und es steht da:
[mm] \lambda*0=\lambda*0+\lambda*0
[/mm]
[mm] \Rightarrow\lambda*0=0
[/mm]
Viele Grüße
Daniel
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