Vektorraum-Isomorphismus < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:59 Do 27.11.2014 | | Autor: | mac257 |
| Aufgabe | Für eine Menge $M$ und einen Körper $K$ bilden die Abbildungen [mm] $f:M\rightarrow [/mm] K$ bei punktweiser Addition und Skalarmultiplikation einen $K$-Vektorraum [mm] $K^{M}$. [/mm] Mit [mm] $K=\IF_{2}$ [/mm] soll hier gezeigt werden:
[mm] $E:\IF^{M}_{2}\rightarrow [/mm] P(M)$, [mm] $f\mapsto \{x\in M | f(x)=1\}$
[/mm]
ist ein Vektorraum-Isomorphismus, wenn $P(M)$ als [mm] $\IF_{2}$-Vektorraum [/mm] betrachtet wird. |
Da glaubt man, man hat's kapiert und dann kommt sowas. Nun, mir ist bewusst wie ein Isomorphismus definiert ist, nämlich genau dann, wenn die Abbildung bijektiv ist (also sowohl die Injektivität als auch die Surjektivität erfüllt).
Injektiv ist das Ganze, wenn zu jedem [mm] $y\in [/mm] P(M)$ mindestens ein [mm] $x\in \IF^{M}_{2}$ [/mm] existiert, sodass gerade $f(x)=y$ erfüllt ist.
Surjektiv ist es, wenn zu jedem [mm] $y\in [/mm] P(M)$ maximal ein [mm] $x\in \IF^{M}_{2}$ [/mm] existiert, sodass gerade $f(x)=y$ erfüllt ist.
Ich glaube es hapert viel mehr am Verständnis, was man mir mit der Funktion
[mm] $E:\IF^{M}_{2}\rightarrow [/mm] P(M)$, [mm] $f\mapsto \{x\in M | f(x)=1\}$
[/mm]
sagen will.
Was bedeutet denn z.B. das $M$ im Exponent von [mm] $\IF^{M}_{2}$?
[/mm]
Die Form war bislang immer anders, sodass ich jetzt etwas verwirrt bin. Hatten sonst immer etwas wie [mm] $F:M\rightarrow [/mm] N$, [mm] $x\mapsto x^{2}$ [/mm] (nur als Beispiel). Vermute ich muss irgendwie die Vektorraumaxiome ausnutzen... Brauche wohl etwas Hilfe um das richtig zu durchdringen!
Wie immer:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:04 Fr 28.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Für eine Menge [mm]M[/mm] und einen Körper [mm]K[/mm] bilden die
> Abbildungen [mm]f:M\rightarrow K[/mm] bei punktweiser Addition und
> Skalarmultiplikation einen [mm]K[/mm]-Vektorraum [mm]K^{M}[/mm]. Mit
> [mm]K=\IF_{2}[/mm] soll hier gezeigt werden:
> [mm]E:\IF^{M}_{2}\rightarrow P(M)[/mm], [mm]f\mapsto \{x\in M | f(x)=1\}[/mm]
>
> ist ein Vektorraum-Isomorphismus, wenn [mm]P(M)[/mm] als
> [mm]\IF_{2}[/mm]-Vektorraum betrachtet wird.
> Da glaubt man, man hat's kapiert und dann kommt sowas.
> Nun, mir ist bewusst wie ein Isomorphismus definiert ist,
> nämlich genau dann, wenn die Abbildung bijektiv ist (also
> sowohl die Injektivität als auch die Surjektivität
> erfüllt).
> Injektiv ist das Ganze, wenn zu jedem [mm]y\in P(M)[/mm] mindestens
> ein [mm]x\in \IF^{M}_{2}[/mm] existiert, sodass gerade [mm]f(x)=y[/mm]
> erfüllt ist.
Erstens: die Abbildung heisst $E$ und nich $f$.
Zweitens: oben gibst Du nicht die Definition der Injektivität an, sondern die der Surjektivität.
> Surjektiv ist es, wenn zu jedem [mm]y\in P(M)[/mm] maximal ein [mm]x\in \IF^{M}_{2}[/mm]
> existiert, sodass gerade [mm]f(x)=y[/mm] erfüllt ist.
> Ich glaube es hapert viel mehr am Verständnis, was man
> mir mit der Funktion
> [mm]E:\IF^{M}_{2}\rightarrow P(M)[/mm], [mm]f\mapsto \{x\in M | f(x)=1\}[/mm]
>
> sagen will.
> Was bedeutet denn z.B. das [mm]M[/mm] im Exponent von [mm]\IF^{M}_{2}[/mm]?
Allgemein: Sind A und B nichtleere Mengen, so ist
[mm] A^B:= [/mm] Menge aller Abbildungen f:B [mm] \to [/mm] A
Damit ist [mm] \IF^{M}_{2}= [/mm] Menge aller Abbildungen f:M [mm] \to \IF_2.
[/mm]
FRED
> Die Form war bislang immer anders, sodass ich jetzt etwas
> verwirrt bin. Hatten sonst immer etwas wie [mm]F:M\rightarrow N[/mm],
> [mm]x\mapsto x^{2}[/mm] (nur als Beispiel). Vermute ich muss
> irgendwie die Vektorraumaxiome ausnutzen... Brauche wohl
> etwas Hilfe um das richtig zu durchdringen!
>
> Wie immer:
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:29 Fr 28.11.2014 | | Autor: | mac257 |
> Zweitens: oben gibst Du nicht die Definition der
> Injektivität an, sondern die der Surjektivität.
Da habe ich mindestens und maximal vertauscht. Begriffe tauschen und dann müsste es passen.
> Damit ist [mm]\IF^{M}_{2}=[/mm] Menge aller Abbildungen f:M [mm]\to \IF_2.[/mm]
Hm... Also muss ich das wohl zunächst betrachten. Interpretiere ich die Angabe [mm] $f\mapsto \{x\in M|f(x)=1\}$ [/mm] so richtig?:
[mm] $f:M\to \IF_2$, $x\mapsto [/mm] 1$
(Äh, also dass jedes Element von $M$ auf 1 abgebildet wird??)
Und wenn ich nun zeige, dass diese Abbildungen bijektiv sind, ist das der richtige Ansatz?
Danke schon mal für eure Zeit/Geduld.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:37 Mo 01.12.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo mac257!
> > Zweitens: oben gibst Du nicht die Definition der
> > Injektivität an, sondern die der Surjektivität.
> Da habe ich mindestens und maximal vertauscht. Begriffe
> tauschen und dann müsste es passen.
Bis auf Freds andere Anmerkung:
Es geht um Injektivität und Surjektivität von E, nicht von einer Abbildung f.
Für den Nachweis der Injektivität ist folgende Definition geeigneter:
Für alle [mm] $f,g\in\IF_2^M$ [/mm] mit $E(f)=E(g)$ gilt bereits $f=g$.
> Interpretiere ich die Angabe [mm]f\mapsto \{x\in M|f(x)=1\}[/mm] so
> richtig?:
> [mm]f:M\to \IF_2[/mm], [mm]x\mapsto 1[/mm]
> (Äh, also dass jedes Element
> von [mm]M[/mm] auf 1 abgebildet wird??)
Nein.
Jeder Abbildung [mm] $f\in\IF_2^M$ [/mm] ordnet die Abbildung E die Menge [mm] $\{x\in M\;|\;f(x)=1\}\in [/mm] P(M)$ zu.
> Und wenn ich nun zeige, dass diese Abbildungen bijektiv
> sind, ist das der richtige Ansatz?
Zeigen musst du unter anderem, dass die Abbildung E (nicht irgendwelche Abbildungen f) bijektiv ist.
Außerdem ist zu zeigen, dass $E$ [mm] $\IF_2$-linear [/mm] ist.
Ist dir klar, mit welchen Verknüpfungen $P(M)$ ein [mm] $\IF_2$-Vektorraum [/mm] ist?
Viele Grüße
Tobias
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