Vektorraum < Lerngruppe LinAlg < Universität < Vorkurse < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:29 Mo 04.12.2006 | | Autor: | diego |
| Aufgabe | Sei V ein Vektorraum über einem Körper K. Sei W ein Unterraum von V, und sei U ein Unterraum von W. Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussagen:
1. U ist ein Unterraum von V
2. W/U ist ein Unterraum von V/U
3. V/W ist ein Unterraum von V/U |
Hallo,
also ich habe zwar zu allen drei Fragen eine Idee, weiß aber nicht wie das mathematisch aussehen soll...
Ich gehe jetzt bei den Unterräumen immer von den drei Möglichkeiten Unterraum = Vektorraum, Unterraum = {0} und Unterraum [mm] \subseteq [/mm] Vektorraum.
1.
Ich habe mir überlegt U [mm] \subseteq [/mm] W [mm] \subseteq [/mm] V. Aber das ist doch noch nicht alles, oder?
Bei 2. und 3. habe ich leider gar keine ahnung, da ich mir nicht sicher bin, ob das Nullelement erhalten bleibt da es ja in V, W und U enthalten sein müsste.
Würde mich über einen Tip sehr freuen.
Danke schonmal,
Yvonne
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:39 Mo 04.12.2006 | | Autor: | Sashman |
Moin Vonne!
Alles klar bei dir??
Unterräume von Vektorräumen sind wieder Vektorräume.
Um zu zeigen das eine Teilmenge U eines Vektorraumes V über einem Körper K ist mußt du zeigen:
(i) das Nullelement aus V liegt in U
(ii) für alle [mm] u_1,u_2\in [/mm] U gilt [mm] $u_1+u_2\in [/mm] U$
(iii) für alle [mm] $a\in [/mm] K$ und alle [mm] $u\in [/mm] U$ gilt [mm] $au\in [/mm] U$
zu 1:
zu zeigen ist egentlich nur (i) da U Unterraum (UR) von W sind ja (ii) und (iii) ja schon erfüllt.
(i) da U UR von W [mm] $0_W\in [/mm] U$ und [mm] $0_W=0_U$
[/mm]
da W UR von V [mm] $0_V\in [/mm] W$ und [mm] $0_V=0_W$
[/mm]
also insgesamt [mm] $0_U=0_V\in [/mm] U$
das sollte es zu 1) schon gewesen sein.
Bei den anderen Teilen ist so denke ich das gleiche nachzuweisen [(i)-(iii)]
muß mich allerdings noch ein wenig mit den Faktorräumen beschäftigen
belasse den Status deshalb erstmal bei unbeantwortet
gruß aus B.
Sashman
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:42 Mi 06.12.2006 | | Autor: | diego |
Hallo,
erstmal einen schönen Nikolaus...
Leider ist gar nichts klar, habe mich bei den letzten beiden kurseinheiten so gefreut, dass ich ein bißchen was verstanden habe und diesmal so gar nichts...
Habe aber trotzdem mal ein bißchen rumprobiert, vielleicht fällt dir ja noch was dazu ein.
2.
W/U = {w+U | w [mm] \in [/mm] W}
V/U = {v+U | v [mm] \in [/mm] V}
(mit Seite 282)
w+U := w+u u [mm] \in [/mm] U
v+U := v+u u [mm] \in [/mm] U
(mit Seite 280)
(i)
0=w+u
0=v+u
[mm] \to [/mm] w = -u = v
Und bei 3. habe ich genau das gleiche gemacht und komme auf -w = -u
Habe leider keine Ahnung ob und wenn ja was ich damit erreicht habe...
gruß Yvonne
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:28 Do 07.12.2006 | | Autor: | diego |
Halli Hallo,
jetzt habe ich doch wieder hoffnung auf einen Abschluss...
Also, habe in der LVU ein ähnilchen Fall beim Üben gefunden und den als vorlage verwendet.
Hier meine Lösung:
Ja,
W/U ist ein Unterraum von V/U. Zum Beweis benutzen wir das Unterraumkriterium.
Es sind W/U={w+U | w [mm] \in [/mm] W} und V/U={v+U | v [mm] \in [/mm] V}. Somit ist W/U eine Teilmenge von V/U.
Es gilt
0+U [mm] \in [/mm] W/U, denn 0 [mm] \in [/mm] W, da W ein Unterraum von V ist. (vgl. Aufg. 1)
Für alle w+U, w'+U [mm] \in [/mm] W/U gilt
(w+U)+(w'+U)=(w+w')+U [mm] \in [/mm] W/U, denn w+w' [mm] \in [/mm] W.
Für alle
w+U [mm] \in [/mm] W/U und alle Skalare a gilt
a(w+U)=(aw)+U [mm] \in [/mm] W/U, denn aw [mm] \in [/mm] W.
Mit dem Unterraumkriterium folgt, dass W/U ein Unterraum von V/U ist.
Und, sieht das richtig aus?
Gruß Yvonne
(Jetzt versuch ich auch nochmal die dritte...)
|
|
|
|
