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Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume" - Vektorraum
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Vektorraum: Aufgabe 1
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:35 Do 08.11.2007
Autor: lisa_mausi87

Aufgabe
Zeigen Sie, dass V := [mm] \IR [/mm] mit den Verknüpfungen

[mm] \oplus [/mm] : V [mm] \times [/mm] V [mm] \to [/mm] V, x [mm] \oplus [/mm] y : = x [mm] \* [/mm] y

[mm] \odot [/mm] : [mm] \IR \times [/mm] V [mm] \to [/mm] V, k [mm] \odot [/mm] x : = [mm] x^{k} [/mm]

ein Vektorraum ist.

An sich ist diese Aufgabe ja nicht so schwierig, ich habe nur Schwierigkeiten mit der zweiten Verknüpfung bzgl.  des Kommutativgesetzes.
Vielleicht kann mir ja dabei jemand helfen. Danke

        
Bezug
Vektorraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:02 Do 08.11.2007
Autor: schachuzipus

Hallo Lisa,

Zunächst muss [mm] $(V,\oplus)=(\IR,\oplus)$ [/mm] eine abelsche Gruppe sein

Dann:

Was genau meinst du mit "Kommutativität bzgl. [mm] $\odot$" [/mm] ?

Es muss doch nur eine gewisse "Verträglichkeit" mit der Multiplikation mit Skalaren sichergestellt sein, in dem Sinne, dass gilt:

(1) [mm] $\forall k,l\in\IR \, \forall x\in V=\IR [/mm] : [mm] (k\odot l)\odot x=k\odot (l\odot [/mm] x)$

(2) [mm] $\forall k,l\in\IR \, \forall x\in V=\IR [/mm] : [mm] (k\oplus l)\odot x=(k\odot x)\oplus(l\odot [/mm] x)$

(3) [mm] $\forall k\in\IR \, \forall x,y\in V=\IR [/mm] : [mm] k\odot (x\oplus y)=(k\odot x)\oplus (k\odot [/mm] y)$

(4) [mm] $\exists 1\in\IR \, \forall x\in V=\IR [/mm] : [mm] 1\odot [/mm] x=x$


Das musst du nachweisen


LG

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Vektorraum: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:14 Do 08.11.2007
Autor: lisa_mausi87

hey ja danke, dann stimmt das schon wie ich des gemacht habe, wollt mich bloß noch vergewissern.
Vielen Dank lg

Bezug
                
Bezug
Vektorraum: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:15 Do 08.11.2007
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal, Lisa,

bist du sicher, dass die Aufgabe so, wie sie da steht, richtig abgeschrieben ist?


Muss es nicht eher [mm] $V=\IR\setminus\{0\}$ [/mm] heißen?

[mm] $(\IR,\oplus)$ [/mm] ist nämlich keine Gruppe, denn 0 hat kein Inverses....

Schau bitte nochmal nach


Gruß

schachuzipus

Bezug
                        
Bezug
Vektorraum: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:23 Do 08.11.2007
Autor: lisa_mausi87

Nein da steht schon V : = [mm] \IR [/mm]

wenn dann die null nicht dabei ist, muss ich dann etwa auf irgendwas aufpassen?

Bezug
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