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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Vektorraum
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Vektorraum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:01 Mo 15.12.2008
Autor: xXxJonasxXx

Aufgabe
Sei V ein K-Vektorraum. Beweisen Sie, dass

[mm] \forall [/mm] v [mm] \in [/mm] V : [mm] (-\lambda) [/mm] * v = [mm] \lambda [/mm] * (-v) = [mm] -\lambda [/mm] * v

Hi,
habe in Lineare Algebra soweit eigentlich alles kapiert, bis wir mit dem Thema Vektorraum angefangen haben...vllt. könnt ihr mir ja n bissl dazu erzählen xD!

Diese Aufgabe oben ist doch eigentlich das Gleiche wie (-1) * v = -v oder? Weil dies hab ich gelöst...
v+(-1)*v=1*v+(-1)*v=(1-1)*v=0*v=0
oder?
mfg jonas

        
Bezug
Vektorraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:16 Mo 15.12.2008
Autor: pelzig


> Sei V ein K-Vektorraum. Beweisen Sie, dass
> [mm]\forall[/mm] v [mm]\in[/mm] V : [mm](-\lambda)[/mm] * v = [mm]\lambda[/mm] * (-v) = [mm]-\lambda[/mm] * v

> Diese Aufgabe oben ist doch eigentlich das Gleiche wie (-1)
> * v = -v oder? Weil dies hab ich gelöst...
>  v+(-1)*v=1*v+(-1)*v=(1-1)*v=0*v=0

Hier benutzt du aber bereits, dass [mm] $0\cdot [/mm] v=0$ für alle [mm] $v\in [/mm] V$ ist, was man auch erst beweisen muss.
Dennoch, du hast das Problem schon richtig erkannt. Es ist dann [mm] $(-\lambda)\cdot v=((-1)\cdot\lambda)\cdot v=(\lambda\cdot(-1))\cdot v=\lambda\cdot((-1)\cdot v)=\lambda\cdot [/mm] (-v)$, damit hast du die erste Identität - überlege dir wie man die einzelnen Gleichheiten mit den Vektorraum- und Körperaxiomen begründen muss, und zeige noch die zweite Gleichheit.

Gruß, Robert

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