Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hi
ich habe meine Probleme mit dem Beweis, dass Mengen, wie alle auf R differenzierbaren Funktionen, oder alle auf R stetigen Funktionen, oder alle auf [0,1] monotonen funktionen Vektorräume oder keine sind. Könnte mir da vielleicht jemand Tipps zu geben wie ich das mache??? vielleicht zunächst etwas allgemeine und dann anhand des konkreten Beispiels der auf R stetigen Funktionen? Ich würde mich sehr darüber freuen...;)
Also ich habe ein Problem und zwar möcht ich prüfen ob alle auf R stetigen Funktionen einen Vektorraum bilden. Ich nehme das sehr stark an, aber irgendwie habe ich große Probleme das zu überpfrüfen. Das wo ich glaube die größten Probleme bei diesem Beispiel zu haben ist fett geschrieben:
M={f / f stetig auf R}
Also ich beginne mit den Axiomen für eine kommutative Gruppe:
1. Abgeschlossenheit bezüglich der inneren Addition
Seien f, g [mm] \varepsilon [/mm] M dann ist zu prüfen ob:
(f+g) in M enthalten ist:
Tja also mein Ansatz wäre hier:
f(x)+g(x)=(f+g)(x) => (f+g) [mm] \varepsilon [/mm] M
aber ich denke das reicht so doch nicht aus oder?
2. Assoziativität, bezüglich der Addition
f,g,h [mm] \varepsilon [/mm] M
Dann ist:
((f+g)+h)(x)=((f+g)(x)+h(x)=(f(x)+g(x)+h(x)=f(x)+(g+h)(x)=(f+(g+h))(x)
Ist das so in Ordnung?
3. Nullvektor
(n+f)(x)=n(x)+f(x)=f(x), wobei n natürlich die Nullfunktion ist
4. Inverser Vektor, bezüglich der Addition
f+ [mm] f^{-1}=f [/mm] + (-f)=n
5. Kommuntativität
f+g=g+f aber wie zeige ich das?
Dann die anderen Vektorraumaxiome:
1. Abgeschlossenheit bezüglich der Skalarmultiplikation:
f [mm] \varepsilon [/mm] M und r [mm] \varepsilon \IR
[/mm]
r*f [mm] \varepsilon [/mm] M ?
2. Assoziativität bezüglich der skalaren Multiplikation:
f [mm] \varepsilon [/mm] M. r,s [mm] \varepsilon \IR
[/mm]
r*(s*f)= ???
3.
Neutrales Element bezüglich der skalaren Multiplikation:
f [mm] \varepsilon [/mm] M, n [mm] \varepsilon \IR [/mm]
f* n=f *1=f
Dann das 1. Distributivgesetz:
(r+s)f=r*f+s*f aber wie zeige ich das?
Das zweite Ditributivgesetz:
r(f+g)=r*f+r*g und wie zeige ich das?
Viielen Dank erstmal
und frohe Ostern!
Greetz
Johannes
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:16 Sa 26.03.2005 | | Autor: | Astrid |
Hallo Johannes,
prinzipiell sind deine Lösungsvorschläge schon richtig. Dein Problem liegt hier, glaube ich, vielmehr darin, die Beweise formal aufzuschreiben. Denn letztendlich mußt du nichts weiter machen, als die Operationen Im Vektorraum der Funktionen auf Operationen auf [mm] $\IR$ [/mm] zurückzuführen und dort die bekannten Gesetze auszunutzen.
Als ersten Schritt definierst du dir den Raum und die Operationen auf diesem Raum. Ich mache das mal ausführlich:
Sei [mm]M:=\{f:\IR \to \IR | f \, stetig \, auf \, \IR \}[/mm] die Menge aller auf [mm] $\IR$ [/mm] stetigen Funktionen.
Weiterhin musst du zwei Verknüpfungen festlegen, die entsprechend auf der Menge M definiert sind, hier die innere Verknüpfung:
Sei [mm]\oplus[/mm] die auf der Menge M wie folgt definierte innere Verknüpfung mit
[mm]\oplus: M \times M \to M, \, (f, g) \mapsto f \oplus g[/mm]
wobei [mm]f \oplus g (x) := f(x) + g(x)[/mm]
und mit + die einfache Addition auf [mm] $\IR$ [/mm] gemeint ist, die ja bekanntermaßen assoziativ, kommutativ, etc. ist.
Weiterhin weißt du ja, das zB Summen von stetigen Funktionen auch wieder stetig sind, so dass diese Operationen abgeschlossen in M sind. (Bzw. du kannst mit der Definition der Stetigkeit beweisen, dass die oben definierte Addition von Funktionen auf stetige Funktionen abbildet, wenn du ganz genau sein willst.)
Also: Für $f, g [mm] \in [/mm] M$ gilt:
[mm]f \oplus g (x) = f(x) + g(x) \in \IR[/mm]
wobei das Gleichheitszeichen aus der Definition der Verknüpfung folgt. Da also [mm]f \oplus g[/mm] jedes Element auf ein Element aus [mm] $\IR$ [/mm] abbildet und die Summe von stetigen Funktionen wieder stetig ist, folgt, dass die Verknüpfung abgeschlossen ist.
Die anderen Verknüpfungen und Axiome sind ähnlich zu beweisen.
Ich hoffe, das hilft dir hier schon ein wenig.
Viele Grüße
Astrid
|
|
|
| |
|
Hi erstmal danke für die Antwort
aber wieso ist das
$ f [mm] \oplus [/mm] g (x) = f(x) + g(x) [mm] \in \IR [/mm] $
und nicht:
$( f [mm] \oplus [/mm] g) (x) = f(x) + g(x) [mm] \in \IR [/mm] $
und wieso ist die Bedingung dafür, dass die Verknüpfung abgeschlossen ist, dass $ f [mm] \oplus [/mm] g $ jedes Element auf ein Element aus $ [mm] \IR [/mm] $ abbildet und die Summe von stetigen Funktionen wieder stetig ist? Reicht nicht der 2. Punkt aus?
Aber letztlich is das doch alles dann nur eine Frage der Definition der Verknüpfungen, oder nicht? Und soweit ich das jetzt richtig erfasst habe, ist der Grund für die Assoziativität und die Kommuntativität der, dass die normale Addition diese beiden Eigenschaften hat.
MfG
Johannes
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:45 So 27.03.2005 | | Autor: | Astrid |
Hallo Johannes,
> aber wieso ist das
> [mm]f \oplus g (x) = f(x) + g(x) \in \IR[/mm]
> und nicht:
> [mm]( f \oplus g) (x) = f(x) + g(x) \in \IR[/mm]
das ist so gemeint, ich habe nur die Klammern nicht hingeschrieben.
> und wieso ist die Bedingung dafür, dass die Verknüpfung
> abgeschlossen ist, dass [mm]f \oplus g[/mm] jedes Element auf ein
> Element aus [mm]\IR[/mm] abbildet und die Summe von stetigen
> Funktionen wieder stetig ist? Reicht nicht der 2. Punkt
> aus?
Naja, ganz exakt musst du ja zeigen, dass [mm]f \oplus g[/mm] wieder eine Funktion von [mm] $\IR$ [/mm] nach [mm] $\IR$ [/mm] ist und außerdem stetig, denn so ist ja der Raum definiert. Aber natürlich ist die Summe stetiger Funktionen auf [mm] $\IR$ [/mm] wieder eine stetige Funktion in demselben Raum.
> Aber letztlich is das doch alles dann nur eine Frage der
> Definition der Verknüpfungen, oder nicht?
Ja, ganz genau. Darum geht es. Man definiert sich Verknüpfungen auf einem neuen Raum mithilfe bekannter Verknüpfungen und kann dann mit bekannten Eigenschaften die geforderten Eigenschaften nachweisen.
> Und soweit ich
> das jetzt richtig erfasst habe, ist der Grund für die
> Assoziativität und die Kommuntativität der, dass die
> normale Addition diese beiden Eigenschaften hat.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Etwas klarer? ![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]")
Viele Grüße
Astrid
|
|
|
| |
|
Jooaa danke :D hat auf jeden Fall schon etwas geholfen ich denkma wenn ich da noch ordentlich lern wird das schon....
Vielen Dank
Grüße Johannes
|
|
|
|
