Vektorraum + l.a. oder l.u. < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:43 Mo 17.01.2005 | | Autor: | Becks |
In einem Vektorraum V über K = [mm] \IR [/mm] seien die Vektoren a,b,c gegeben. Ferner seien:
r := b + c, s := c + a, t := a + b
Zu zeigen:
a) [{a,b,c}] = [{r,s,t}]
b) a,b,c sind genau linear unabhängig, wenn r,s,t linear unabhängig sind.
Da weiß ich nichts mit anzufangen, weil ich mich nicht soo mit Vektoren auskenne. Gibt es da irgendeinen Satz, den man anwenden kann?
Ich glaub die Mathevorlesung muss ich nochmal hören :-/
Ìch hoffe ihr könnt mir etwas helfen.
danke mfg becks
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:50 Mo 17.01.2005 | | Autor: | Micha |
Hallo Becks!
> In einem Vektorraum V über K = [mm]\IR[/mm] seien die Vektoren a,b,c
> gegeben. Ferner seien:
>
> r := b + c, s := c + a, t := a + b
>
> Zu zeigen:
> a) [{a,b,c}] = [{r,s,t}]
> b) a,b,c sind genau linear unabhängig, wenn r,s,t linear
> unabhängig sind.
>
> Da weiß ich nichts mit anzufangen, weil ich mich nicht soo
> mit Vektoren auskenne. Gibt es da irgendeinen Satz, den man
> anwenden kann?
Ich gehe mal davon aus, dass du bei a) jeweils den von den Vektoren aufgespannten Raum meinst...
Was muss man bei a) zeigen? nun für jedes v aus [{a,b,c}] gibt es eine Linearkombination aus diesen Basisvektoren:
[mm] $\exists \alpha [/mm] , [mm] \beta [/mm] , [mm] \gamma \in [/mm] K : v = [mm] \alpha [/mm] a + [mm] \beta [/mm] b + [mm] \gamma [/mm] c$
Nun musst du zeigen, dass man dieses v auch in [{r,s,t}] mit jeweis anderen Koeffizienten darstellen kann.
Dann hast du gezeigt, dass [mm] $[\{a,b,c\}] \subseteq [\{r,s,t\}]$ [/mm] Wenn du nun noch die Gegenrichtung zeigst, dann folgt die Gleichheit. Gegenrichtung heißt: Jedes w aus [{r,s,t}] ist in [{a,b,c}] darstellbar...
Für Teil b) musst du noch einmal die Definition von linearer Unabhängigkeit heranziehen: [{a,b,c}] ist linear unabhängig, wenn die 0 nur trivial darstellbar ist, also:
$(0 = [mm] \alpha [/mm] a + [mm] \beta [/mm] b + [mm] \gamma [/mm] c) [mm] \Rightarrow (\alpha [/mm] = [mm] \beta [/mm] = [mm] \gamma [/mm] = 0)$ , also dass alle Koeffizienten Null sind.
Dann schaust, du was mit der Darstellung in der zweiten Menge passiert und du erhälst ein lineares Gleichungssystem, was nicht schwer zu lösen ist und aus dem folgt, dass die Koeffizienten in der zweiten Menge auch immer 0 sein müssen für die Darstellung der 0 als Vektor...
Frag nochmal nach, wenn etwas unklar geblieben ist!
Gruß, Micha 
|
|
|
|
