Vektorraum: Abbildungen nach K < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei Abb(M,K) die Menge der Abbildung von einer beliebigen Menge M in einen Körper K. Zeigen Sie, dass Abb(M,K) zusammen mit der punktweisen Addition $(f+g):(x) [mm] \mapsto [/mm] f(x) + g(x)$ und der punktweisen skalaren Multiplikation ein K-Vektorraum ist. |
Hallo!
Ich wollte erstmal nur den Teil mit der punktweisen Addition bearbeiten und von euch korrigieren lassen. Also, ich muss zeigen, dass $(Abb(M,K),+)$ eine abelsche Gruppe ist. Ich bitte um einen kritischen Blick bei meinen folgenden Ausführungen  :
1.) Die Addition ist wohldefiniert -> Das ist meiner Meinung nach klar, denn nach Definition ist für [mm] $f,g\in [/mm] Abb(M,K)$ definiert für jedes [mm] $x\in [/mm] M$: $(f+g)(x) = f(x)+g(x)$, nun ist nach Vor. [mm] $f(x),g(x)\in [/mm] K$, und die Addition in K ist abgeschlossen, also ist auch $(f+g)(x) = f(x)+g(x) [mm] \in [/mm] K$.
2.) Assoziativität: Seien [mm] $f,g,h\in [/mm] Abb(M,K)$. Dann ist für bel. [mm] $x\in [/mm] M$:
$((f+g)+h)(x) := (f+g)(x) + h(x) := (f(x)+g(x)) + h(x) [mm] \overset{\mbox{Ass. in K}}{=} [/mm] f(x) + (g(x) + h(x)) =: f(x) + (g+h)(x) := (f + (g+h))(x)$.
3.) Neutrales Element: Ist die Nullabbildung [mm] $f\in [/mm] Abb(M,K)$ mit [mm] $f:M\to [/mm] K:x [mm] \mapsto 0_{K}$, [/mm] wobei [mm] $0_{K}$ [/mm] neutrales Element bzgl. Addition in K. Dann ist nämlich für bel. [mm] $g\in [/mm] Abb(M,K)$, [mm] $x\in [/mm] M$:
$(f+g)(x) = f(x) + g(x) = [mm] 0_{K} [/mm] + g(x) = g(x) = g(x) + [mm] 0_{K} [/mm] = g(x) + f(x) = (g+f)(x)$
4.) Inverses Element zu [mm] $f\in [/mm] Abb(M,K)$: Ist die Abbildung [mm] $g\in [/mm] Abb(M,K)$ mit [mm] $g:M\to [/mm] K: x [mm] \mapsto [/mm] -f(x)$, wobei $-f(x)$ das additiv inverse Element zu [mm] $f(x)\in [/mm] K$ zu $K$ ist. Dann ist nämlich für bel. [mm] $x\in [/mm] M$:
$(f+g)(x) = f(x) + g(x) = f(x) + (-f(x)) = [mm] 0_{K}$,
[/mm]
$(g+f)(x) = g(x) + f(x) = -f(x) + f(x) = [mm] 0_{K}$,
[/mm]
d.h. es ist $(f+g)(x) = h(x) = (g+f)(x)$, wobei [mm] $h\in [/mm] Abb(M,K)$ das neutrale Element in $Abb(M,K)$ ist (siehe 3.) ).
5.) Kommutativität: Seien [mm] $f,g\in [/mm] Abb(M,K)$, dann gilt für bel. [mm] $x\in [/mm] M$:
$(f+g)(x) := f(x) + g(x) [mm] \overset{\mbox{Komm. in K}}{=} [/mm] = g(x) + f(x) = (g+f)(x)$.
Ist das so okay?
Vielen, vielen Dank für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:56 So 29.11.2009 | | Autor: | Merle23 |
Jup, sieht alles richtig aus.
LG, Alex
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Hallo Merle23,
dann danke ich dir erstmal für die Korrektur 
Nun werde ich versuchen, die restlichen Notwendigkeiten für den Vektorraum zu zeigen:
1.) Zunächst ist klar, dass auch die punktweise skalare Multiplikation für [mm] $f\in [/mm] Abb(M,K)$, [mm] $\lambda\in [/mm] K$ mit [mm] $(\lambda*f)(x) [/mm] := [mm] \lambda*f(x)$ [/mm] wohldefiniert ist, da [mm] $\lambda, f(x)\in [/mm] K$ nach Voraussetzung und die Multiplikation in K abgeschlossen ist.
Weiter ist zu zeigen: Für [mm] $\lambda,\mu \in [/mm] K$, [mm] $f,g\in [/mm] Abb(M,K)$ gilt:
a): [mm] $(\lambda [/mm] + [mm] \mu)*f [/mm] = [mm] \lambda*f [/mm] + [mm] \mu*f$
[/mm]
Da das hier ja alles punktweise definiert ist, muss ich ja eigentlich [mm] $\left[(\lambda + \mu)*f\right](x) [/mm] = [mm] \left(\lambda*f\right)(x) [/mm] + [mm] \left(\mu*f\right)(x)$ [/mm] zeigen, oder?
Dann würde ich das folgendermaßen machen: Da [mm] $(\lambda [/mm] + [mm] \mu)\in [/mm] K$, ist
[mm] $\left[(\lambda + \mu)*f\right](x) [/mm] := [mm] (\lambda [/mm] + [mm] \mu)*f(x) [/mm] = [mm] \lambda*f(x) [/mm] + [mm] \mu*f(x) [/mm] = [mm] (\lambda*f)(x) [/mm] + [mm] (\mu*f)(x)$.
[/mm]
Ist das richtig?
Danke für eure Hilfe,
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:31 So 29.11.2009 | | Autor: | Merle23 |
Ja, alles richtig.
LG, Alex
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Hallo Merle,
danke für die Korrektur
Dann schreib' ich mal noch meine letzten drei Nachweise hier rein. Es geht also immer noch um den Vektorraum (Abb(M,K),+,*) über dem Körper K mit punktweiser Addition und Multiplikation.
Seien [mm] $\lambda,\mu\in [/mm] K$, [mm] $f,g\in [/mm] Abb(M,K)$.
b) Zu zeigen: [mm] $\lambda*(f+g) [/mm] = [mm] \lambda*f [/mm] + [mm] \lambda*g$, [/mm] d.h. [mm] $[\lambda*(f+g)](x) [/mm] = [mm] [\lambda*f [/mm] + [mm] \lambda*g](x)$ [/mm] (?).
Es ist
[mm] $[\lambda*(f+g)](x) [/mm] := [mm] \lambda*(f+g)(x) [/mm] = [mm] \lambda*(f(x) [/mm] + g(x)) = [mm] \lambda*f(x) [/mm] + [mm] \lambda*g(x) [/mm] = [mm] (\lambda*f)(x) [/mm] + [mm] (\lambda*g)(x) [/mm] = [mm] [\lambda*f [/mm] + [mm] \lambda*g](x)$
[/mm]
c) Zu zeigen: [mm] $\lambda*(\mu*f) [/mm] = [mm] (\lambda*\mu)*f$, [/mm] d.h. [mm] $[\lambda*(\mu*f)](x) [/mm] = [mm] \left[(\lambda*\mu)*f\right](x)$ [/mm] (?).
Es ist
[mm] $[\lambda*(\mu*f)](x) [/mm] := [mm] \lambda*(\mu*f)(x) [/mm] := [mm] \lambda*(\mu*f(x)) [/mm] = [mm] (\lambda*\mu)*f(x) [/mm] = [mm] \left[(\lambda*\mu)*f\right](x)$
[/mm]
d) Zu zeigen: [mm] $1_{K}*f [/mm] = f$, d.h. [mm] $\left[1_{K}*f\right](x) [/mm] = f(x)$, wobei [mm] $1_{K}$ [/mm] das neutrale Element bezgl. der Multiplikation in K ist.
Es ist
[mm] $\left[1_{K}*f\right](x) [/mm] := [mm] 1_{K}*f(x) [/mm] = f(x)$.
Stimmt das alles so?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:24 So 29.11.2009 | | Autor: | Merle23 |
Jaja, haut schon hin.
Wieso gibst du es nicht einfach ab und schaust einfach, ob der Korrektor volle Punktzahl gibt?
Ist wesentlich einfacher, als es hier abzutippen.
LG, Alex
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Hallo Merle23,
erstmal danke für die Korrektur.
Ich lese eine leichte, aber berechtigte Kritik aus deiner Aussage
Ich denke schon, dass der Beweis der Axiome stimmt, wenn ich die Behauptung richtig hinschreibe, aber genau darauf kam es mir bei der Aufgabe ja am meisten an, also ob die Behauptungen mit der Übertragung auf die punktweisen Definitionen der Addition und Multiplikation hingehauen haben.
Grüße,
Stefan
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