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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:16 Do 17.03.2011 | | Autor: | knuck1es |
| Aufgabe | Man zeige, dass der Vektorraum aller (stetigen und beschränkten) Funktionen von der Form
V := [mm] \left\{ f(t) = \alpha * cos (t-u) + \beta *sin(t-u), \alpha , \beta \in \IC , u \in \IR \right\}
[/mm]
zweidimensional ist über ( [mm] \IC [/mm] ). Man spricht daher davon, dass dieser Raum verschiebungsinvariant ist, da mit f(t) auch die verschobene Version f(t-v) , v [mm] \in \IR [/mm] in V liegt. Dasselbe gilt natürlich auch entsprechend wenn man cos(kt) bzw. sin(kt) für festes k [mm] \in \IN [/mm] verwendet. Diese Verschiebungsinvarianz macht die Fourier-Transformation so wichtig für die Anwendung. |
Also zuerst soll ich zeigen das die Menge V zweidimensional über C ist. Dh. ich sollte einen Vektorraumisomorphismus auf R²(C) finden oder?
Die Linearität ist nicht schwer zu zeigen, aber ist die Abbildung:
[mm]
f(t) \to \begin{pmatrix}
\alpha * cos(t-u) \\
\beta * sin(t-u)
\end{pmatrix} [/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Man zeige, dass der Vektorraum aller (stetigen und
> beschränkten) Funktionen von der Form
> V := [mm] \left\{ f(t) = \alpha * cos (t-u) + \beta *sin(t-u), \alpha , \beta \in \IC , u \in \IR \right\}[/mm]
>
> zweidimensional ist über ( [mm]\IC[/mm] ).
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Um zu zeigen, daß dieser Vektorraum zweidimensional ist, würde ich kurzerhand eine Basis angeben.
Behauptung: [mm] f_1(t):=sin(t) [/mm] und [mm] f_2(t):=cos(t) [/mm] bilden zusammen eine Basis von V.
Zu zeigen ist hierfür, daß die beiden Funktionen linear unabhängig sind, vermutlich wurde dies sogar schonmal in der Vorlesung oder einer Übungsaufgabe getan.
Dann mußt Du Dir noch überlegen, daß man mit diesen beiden Funktionen jedes Element aus V erzeugen kann. Die Additionstheoreme helfen.
Gruß v. Angela
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