Vektorraum/Erzeugendensystem < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei V ein beliebiger Vektorraum über K Zeigen Sie:
(i) Für a [mm] \in V\backslash\{0\} [/mm] ist |<a>| =|K|
(ii) Für a,b [mm] \in V\backslash\{0\} [/mm] gilt entweder <a> [mm] \cap [/mm] <b> =0 oder <a> = <b>
(iii) Ist K endlich und V=K³, so besitzt V genau |K|²+|K|+1 viele Unterräume der Form <a> mit a [mm] \not= [/mm] 0 |
Ich habe mir jetzt erstmal Gedanken zu i gemacht und wollte fragen wie ich das Formal zeige weil eigentlich ist das ja kalr weil für ein erzeugnis ja die formel [mm] \summe_{i=1}^{n} \alpha [/mm] i*ai gilt.
DAher wird ja jedem a ein [mm] \alpha [/mm] zu geordnet und somit liegt eine bijektion vor und daher ist die mächtigkeit der beiden gleich weil, die [mm] \alpha [/mm] ja aus dem K kommen und jedem K ein a zugeordnet wird..aber wie kann man das formal richtig formulieren?
Würde mich sehr über Hilfe freuen...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Liebe Grüße
|
|
| |
|
kann mir bitte jemand nen Tipp geben?
LG
|
|
|
| |
|
Ich habe bei i jetzt einfach eine Bijektion von K nach <a> definiert...
bei ii wollte ich das über die basis amchen aber geht das überhaupt wenn in der Aufgabe nicht ausführlich steht, dass es eine Basis ist?
bei iii wollte ich das mit Partitionen amchen, weiß nur nicht genau wie ich das geschickt anstelle...
meine hauptfrage ist ob das bei ii so möglich ist...
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:01 Di 22.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe bei i jetzt einfach eine Bijektion von K nach <a> definiert...
Gute Idee ! Welche denn ?
>
> bei ii wollte ich das über die basis amchen aber geht das
> überhaupt wenn in der Aufgabe nicht ausführlich steht,
> dass es eine Basis ist?
Tipp: unterscheide 2 Fälle:
1: a und b sind linear unabhängig
2: a und b sind linear abhängig
FRED
>
> bei iii wollte ich das mit Partitionen amchen, weiß nur
> nicht genau wie ich das geschickt anstelle...
>
> meine hauptfrage ist ob das bei ii so möglich ist...
>
> LG
|
|
|
| |
|
also bei i habe ich die bijektion f [mm] \alpha{i} \mapsto \alpha{i} [/mm] a definiert und dann gezeigt das diese abbildung injektiv und surjektiv ist...
bei ii ist es ja klar, dass wenn sie linear unabhähgig sind das sie denn gleich sind (dann sind es ja gleichzeitig auch die basis oder?)
wenn sie nun aber linear abhängig sind versteh ich nicht warum der schnitt denn nur die 0 enthält, weil linear abhängig heißt ja nur das die vektoren durch kombinationen unter einander darstellbar sind oder habe ich da etwas falsch verstanden?...
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:24 Di 22.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> also bei i habe ich die bijektion f [mm]\alpha{i} \mapsto \alpha{i}[/mm]
Was soll denn das sein ??????
> a definiert und dann gezeigt das diese abbildung injektiv
> und surjektiv ist...
>
> bei ii ist es ja klar, dass wenn sie linear unabhähgig
> sind das sie denn gleich sind
Hä ? Das verstehe wer will.
Zeige: sind a und b linear unabhängig, so ist $<a> [mm] \cap [/mm] <b> [mm] =\{0 \}$
[/mm]
> (dann sind es ja gleichzeitig
> auch die basis oder?)
Deine Sätze versteht man nicht !
>
> wenn sie nun aber linear abhängig sind versteh ich nicht
> warum der schnitt denn nur die 0 enthält,
Das hat auch niemand gesagt !
> weil linear
> abhängig heißt ja nur das die vektoren durch
> kombinationen unter einander darstellbar sind oder habe ich
> da etwas falsch verstanden?...
Vielleicht ....
Zeige: sind a und b linear abhängig und beide [mm] \not= [/mm] 0, so ist <a> = <b>
Beachte: ist a = 0 oder b=0, so gilt: $<a> [mm] \cap [/mm] <b> [mm] =\{0 \}$
[/mm]
FRED
>
> LG
|
|
|
| |
|
> > also bei i habe ich die bijektion f [mm]\alpha{i} \mapsto \alpha{i}[/mm]
>
> Was soll denn das sein ??????
>
das a gehörte mit zur Funktion es entsteht also eine Bijekton von [mm] \alpha_{i} [/mm] nach [mm] \alpha_{i}*a [/mm] (meiner Meinung nach)
>
> > a definiert und dann gezeigt das diese abbildung injektiv
> > und surjektiv ist...
> >
> > bei ii ist es ja klar, dass wenn sie linear unabhähgig
> > sind das sie denn gleich sind
>
> Hä ? Das verstehe wer will.
entschuldigung ich dachte du sprichst von den vektoren in den erzeugendensystemen wenn die nämlich linear unabhängig sind dann spricht man doch von einer basis und daher dachte ich wenn die vektoren in im erzeugendensystem a und b unabhängig sind dann sind sie somit gleich aber das war falsch....
> Zeige: sind a und b linear unabhängig, so ist [mm] \cap =\{0 \}[/mm]
>
wie kann ich denn zeigen, dass zwei erzeugendensystem linear unabhängig sind wie drücke ich das formal aus? sage ich dann einfach dass <a> sich nicht durch <b>*irgendeinen Koeffizienten darstellen lässt?
>
> > (dann sind es ja gleichzeitig
> > auch die basis oder?)
>
>
> Deine Sätze versteht man nicht !
>
>
Entschuldigung habe meine Gedanken einfach nur formuliert und das ist für jemanden der nicht in meinem kopf steckt schwer begreiflich ich versuch meine fragen und anliegen genauer zu formulieren...
> >
> > wenn sie nun aber linear abhängig sind versteh ich nicht
> > warum der schnitt denn nur die 0 enthält,
>
> Das hat auch niemand gesagt !
>
>
> > weil linear
> > abhängig heißt ja nur das die vektoren durch
> > kombinationen unter einander darstellbar sind oder habe ich
> > da etwas falsch verstanden?...
>
>
> Vielleicht ....
>
> Zeige: sind a und b linear abhängig und beide [mm]\not=[/mm] 0, so
> ist <a> = <b>
>
>
>
> Beachte: ist a = 0 oder b=0, so gilt: [mm] \cap =\{0 \}[/mm]
>
Das ist logisch aber kann ich dann einfach schreiben, dass sich das Erzeugendensystem <a> durch das Erzeugendensystem <b>*einen beliebigen koeffizienten darstellen lässt?
>
> FRED
> >
> > LG
LG und danke für die Geduld und Hilfe
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:56 Di 22.12.2009 | | Autor: | fred97 |
>
>
> > > also bei i habe ich die bijektion f [mm]\alpha{i} \mapsto \alpha{i}[/mm]
> >
> > Was soll denn das sein ??????
> >
> das a gehörte mit zur Funktion es entsteht also eine
> Bijekton von [mm]\alpha_{i}[/mm] nach [mm]\alpha_{i}*a[/mm] (meiner Meinung
> nach)
> >
> > > a definiert und dann gezeigt das diese abbildung injektiv
> > > und surjektiv ist...
> > >
> > > bei ii ist es ja klar, dass wenn sie linear unabhähgig
> > > sind das sie denn gleich sind
> >
> > Hä ? Das verstehe wer will.
>
> entschuldigung ich dachte du sprichst von den vektoren in
> den erzeugendensystemen wenn die nämlich linear
> unabhängig sind dann spricht man doch von einer basis und
> daher dachte ich wenn die vektoren in im erzeugendensystem
> a und b unabhängig sind dann sind sie somit gleich aber
> das war falsch....
>
> > Zeige: sind a und b linear unabhängig, so ist [mm] \cap =\{0 \}[/mm]
>
> >
> wie kann ich denn zeigen, dass zwei erzeugendensystem
> linear unabhängig sind wie drücke ich das formal aus?
> sage ich dann einfach dass <a> sich nicht durch
> <b>*irgendeinen Koeffizienten darstellen lässt?
Sei $c [mm] \in [/mm] <a> [mm] \cap [/mm] <b>$. Dann gibt es [mm] \alpha, \beta \in [/mm] K mit
[mm] $\alpha*a [/mm] = c = [mm] \beta [/mm] b$
Also ist [mm] $\alpha*a-\beta [/mm] b= 0$. Da a und b linear unabh. sind , folgt: [mm] \alpha= \beta [/mm] = 0 und somit c= 0
> >
> > > (dann sind es ja gleichzeitig
> > > auch die basis oder?)
> >
> >
> > Deine Sätze versteht man nicht !
> >
> >
> Entschuldigung habe meine Gedanken einfach nur formuliert
> und das ist für jemanden der nicht in meinem kopf steckt
> schwer begreiflich ich versuch meine fragen und anliegen
> genauer zu formulieren...
>
> > >
> > > wenn sie nun aber linear abhängig sind versteh ich nicht
> > > warum der schnitt denn nur die 0 enthält,
> >
> > Das hat auch niemand gesagt !
> >
> >
> > > weil linear
> > > abhängig heißt ja nur das die vektoren durch
> > > kombinationen unter einander darstellbar sind oder habe ich
> > > da etwas falsch verstanden?...
> >
> >
> > Vielleicht ....
> >
> > Zeige: sind a und b linear abhängig und beide [mm]\not=[/mm] 0, so
> > ist <a> = <b>
> >
> >
> >
> > Beachte: ist a = 0 oder b=0, so gilt: [mm] \cap =\{0 \}[/mm]
> >
>
> Das ist logisch aber kann ich dann einfach schreiben, dass
> sich das Erzeugendensystem <a> durch das Erzeugendensystem
> <b>*einen beliebigen koeffizienten darstellen lässt?
Seien a und b linear abhängig und beide [mm]\not=[/mm] 0
Dann gilt mit einem t [mm] \in [/mm] K: $a=t*b$
Ist c [mm] \in [/mm] <a>, so ist $c =s*a$ mit einem s [mm] \in [/mm] K. Somit ist $c = (st)*b$, also c [mm] \in [/mm] <b>.
Wir haben also: <a> [mm] \subseteq [/mm] <b>
Analog zeigt man: <b> [mm] \subseteq [/mm] <a>
FRED
> >
> > FRED
> > >
> > > LG
> LG und danke für die Geduld und Hilfe
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:23 Di 22.12.2009 | | Autor: | Schmetterfee |
Danke, dass habe ich jetzt soweit verstanden und das fertig gemacht...
Jetzt habe ich noch ne kurze Frage zu (iii) Da sollen wir ja nun beweisen, dass der Vektorraum=K³ wenn K endlich ist, |K|²+|K|+1 Vektorraum besitzt der Form <a> mit a [mm] \not= [/mm] 0
der Proffesor hat uns jetzt den Tipp gegeben das mit Partitionen zu machen aber wir partioniere ich denn einen Vektorraum?...darüber hatten wir noch nie geredet...
LG
|
|
|
| |
|
ich habe bereits raus gefunden, dass die Unterräume von K³ der Nullraum, der Gesamtraum K² und die ein- bzw. zweidimensionale Grade durch den Nullpunkt aber wie bringe ich diese Kenntnis mit der Formel |K|²+|K|+1
in Verbindung?
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:01 Mi 23.12.2009 | | Autor: | SEcki |
> ich habe bereits raus gefunden, dass die Unterräume von
> K³ der Nullraum, der Gesamtraum K² und die ein- bzw.
> zweidimensionale Grade durch den Nullpunkt aber wie bringe
> ich diese Kenntnis mit der Formel |K|²+|K|+1
> in Verbindung?
Gar nicht. Du musst hier die Anzahl der 1-dim. Unterräume berechnen, also die Anzahl der "Geraden". Dieser Raum wird ja immer von einem [m]a\neq 0[/m] erzeugt. Somit gibt es [m]|K|^3-1[/m] Erzeuger von Unterräumen, da die 0 ja keins ist. Auf einer Gerade gibt es abgesehen von der 0 [m]|K|-1[/m] Erzeuger. Insgesamt [m]\frac{|K|^3-1}{|K|-1}[/m]. Das meint es mit Partition: du zerlegst die Vektoren es Raums in gleiche Teile - und zwar jeder Teil besteht aus den Erezeugern des gleichen Unterraums.
SEcki
|
|
|
| |
|
Danke für die Erklärung jetzt hat das alles auch einen Sinn:)
LG
|
|
|
| |
|
Wie kann ich mir das denn vorstellen was ich hier genau tuen soll?
|
|
|
| |
|
Kann man sich das auch irgendwie bildlich vorstellne?..weil ich möchte gern verstehen wie diese Aufgabe funktioniert...
LG und frohe Feiertage
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Fr 25.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:36 Di 22.12.2009 | | Autor: | fred97 |
Definiere $f: <a> [mm] \to [/mm] K$ durch
[mm] $f(\alpha*a)= \alpha$
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
so habe ich es gemacht nur andersrum also eine Bijektion von K nach <a>
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 01:15 Mi 30.12.2009 | | Autor: | MATH-MATH |
Hallo Schmetterfee,
wie hast du es nun lösen können, kannst du es erklären ?
|
|
|
| |
|
> Hallo Schmetterfee,
>
> wie hast du es nun lösen können, kannst du es erklären ?
Hallo,
wie weit die Bemühungen der Schmetterfee nun gediehen sind, weiß ich nicht.
Falls Du auch an Hilfe von anderen interessiert sind, so poste das, was Du mithilfe der Diskussion entwickelt hast.
Dann kann jemand drüberschauen.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Hallo,
die Diskussion hat mir bereits - wenn auch ganz wenig- einen kleinen Einstieg in die Aufgabe verschafft.
Ich möchte gerne alles verstehen von Anfang an, wirklich alle Schritte alle Behauptungen.
- V über K : kann mann sich das bildlich vorstellen ?
- Für a el. V ... : welche Menge ist hier gemeint
- |<a>| : wie ist der hier zu erklären.
Und wie "Zeige ich es" ?
|
|
|
| |
|
> - V über K : kann mann sich das bildlich vorstellen ?
Hallo,
oh weh, das klingt nach einer riesengroßen Baustelle...
V über K ist einfach irgendein Vektorraum über irgendeinem Körper K.
Vorstellen? Wenn Du Lust hast, kannst Du Dir den [mm] \IR^3 [/mm] über [mm] \IR [/mm] vorstellen als Beispiel für einen VR über einem unendlichen Körper und den [mm] (\IZ [/mm] / [mm] 3\IZ)^3 [/mm] als Beispiel für einen VR über einem endlichen Körper.
> - Für a el. V ... : welche Menge ist hier gemeint
???
[mm] a\in [/mm] V bedeutet, daß Du ein Element aus V hernehmen sollst, also einen Vektor Deines Vektorraumes.
> - |<a>| : wie ist der hier zu erklären.
<a> ist der von a erzeugte Raum, die Menge der Vektoren, die man als Linearkombination von a schreiben kann, und |<a>| ist die Mächtigkeit dieser Menge.
Zeigen sollst Du nun, daß der von a erzeugte Unterraum genausoviele Elemente enthält wie der Körper K.
>
> Und wie "Zeige ich es" ?
Indem Du eine Bijektion b:<a> [mm] \to [/mm] K angibst.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
