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| Aufgabe | | Sei [mm] \IF_3 [/mm] der Körper mit drei Elementen und V= [mm] \IF_3^3 [/mm] ein [mm] \IF_3 [/mm] -VR. Wieviele Basen hat V? |
Hi,
so ich habe mir mal überlegt, dass span { [mm] \vektor{1 \\ 0\\0} [/mm] ; [mm] \vektor{0 \\ 1\\0} [/mm] ; [mm] \vektor{0 \\ 0\\1} [/mm] } eine Basis bildet. Dann könnte man zunächst ja mal bei [mm] \vektor{0 \\ 0\\1} [/mm] die "1" durch eine "2" ersetzen [mm] \vektor{0 \\ 0\\2}. [/mm] Andere Möglichkeiten bleieben ja nicht diese Stelle zu besetzen, bei der "0" hat man dann ja den Nullvektor. Also habe ich das mal für die weiteren durchgespielt und bin auf die Lösung: Anzahl der Basen=6=3!.
1.)Richtig?
2.)Wenn ja, reicht es das so aufzuschreiben?
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moin,
> Sei [mm]\IF_3[/mm] der Körper mit drei Elementen und V= [mm]\IF_3^3[/mm] ein
> [mm]\IF_3[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
-VR. Wieviele Basen hat V?
> Hi,
>
> so ich habe mir mal überlegt, dass span { [mm]\vektor{1 \\ 0\\0}[/mm]
> ; [mm]\vektor{0 \\ 1\\0}[/mm] ; [mm]\vektor{0 \\ 0\\1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} eine Basis
> bildet. Dann könnte man zunächst ja mal bei [mm]\vektor{0 \\ 0\\1}[/mm]
> die "1" durch eine "2" ersetzen [mm]\vektor{0 \\ 0\\2}.[/mm] Andere
> Möglichkeiten bleieben ja nicht diese Stelle zu besetzen,
> bei der "0" hat man dann ja den Nullvektor. Also habe ich
> das mal für die weiteren durchgespielt und bin auf die
> Lösung: Anzahl der Basen=6=3!.
>
> 1.)Richtig?
> 2.)Wenn ja, reicht es das so aufzuschreiben?
Das ist schonmal ein richtiger Ansatz, allerdings gibt es noch ein paar mehr Basen, etwa
[mm] $\vektor{1 \\ 1 \\ 1}, \vektor{1 \\ 1 \\ 0}, \vektor{1 \\ 0 \\ 0}$.
[/mm]
Möchtest du alle haben so würde ich dir folgendes Vorgehen empfehlen:
1. Wähle einen Vektor, der nicht der Nullvektor ist, $a$ Möglichkeiten.
2. Wähle einen zweiten Vektor, der nicht linear abhängig vom ersten ist, $b$ Möglichkeiten.
3. Wähle einen dritten, sodass alle drei zusammen immernoch linear unabhängig sind, $c$ Möglichkeiten.
Dann bilden alle drei Vektoren zusammen eine Basis und du hast insgesamt $a*b*c$ solcher Basen.
Soll allerdings die Reihenfolge der Elemente in der Basis beliebig sein (also keine geordnete Basis), so hast du dann jede Basis mehrfach gezählt, deshalb:
4. Sortiere die drei Vektoren beliebig, $d$ Möglichkeiten.
Dann ist die Anzahl der (nicht geordneten) Basen gerade [mm] $\frac{abc}{d}$.
[/mm]
lg
Schadow
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Ok, dann mal an die Arbeit:
1.) Um drei Elemente anzuordnen gibt es [mm] 3^3 [/mm] =27 Möglichkeiten, der nullvektor gehört ja nicht dazu, also a=27-1=26 Möglichkeiten, oder?
2.) auch für den zweiten Vektor gibt es [mm] 3^3=27 [/mm] Möglichkeiten, aber diesmal ohne den nullvektor und dann gibt es noch zwei lin. Abh. Zum ersten, also b=27-3=24 Möglichkeiten, oder?
3.) da hängt es gerade...wieder 27 mögliche Anordnungen, aber welche von denen sind nicht möglich? Mir istbgerade nicht klar, wie ich die bestimmen kann.
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> Ok, dann mal an die Arbeit:
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> 1.) Um drei Elemente anzuordnen gibt es [mm]3^3[/mm] =27
> Möglichkeiten, der nullvektor gehört ja nicht dazu, also
> a=27-1=26 Möglichkeiten, oder?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 2.) auch für den zweiten Vektor gibt es [mm]3^3=27[/mm]
> Möglichkeiten, aber diesmal ohne den nullvektor und dann
> gibt es noch zwei lin. Abh. Zum ersten, also b=27-3=24
> Möglichkeiten, oder?
> 3.) da hängt es gerade...wieder 27 mögliche Anordnungen,
> aber welche von denen sind nicht möglich? Mir istbgerade
> nicht klar, wie ich die bestimmen kann.
Sind $v,w$ deine ersten beiden Vektoren, so darf der dritte nicht die Form $av + bw$ für irgendwelche $a,b [mm] \in \IF_3$ [/mm] haben.
lg
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gut, dann hätte ich jetzt:
a=1 und b=1 oder b=2 [mm] \Rightarrow [/mm] 2 mögliche Linearkombinationen
a=2 und b=1 oder b=2 [mm] \Rightarrow [/mm] 2 mögliche Linearkombinationen
und dann noch der Nullvektor also c=27-2-2-1= 22 Möglichkeiten, oder?
Oder muss ich hier den Fall a=0 auch betrachten? Ich hätte vom Gefühl gesagt, dass der ncht nötig ist, weil ich ja dann wieder quasi im 2.) Fall lande, oder?
Um die drei Vektoren anzuordenen gibt es d=3!=6 Möglichkeiten, oder?
Also habe ich jetzt [mm] n=\bruch{abc}{d}=\bruch{26*24*22}{6}=2288
[/mm]
Richtig?
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> gut, dann hätte ich jetzt:
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> a=1 und b=1 oder b=2 [mm]\Rightarrow[/mm] 2 mögliche
> Linearkombinationen
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> a=2 und b=1 oder b=2 [mm]\Rightarrow[/mm] 2 mögliche
> Linearkombinationen
>
> und dann noch der Nullvektor also c=27-2-2-1= 22
> Möglichkeiten, oder?
>
> Oder muss ich hier den Fall a=0 auch betrachten? Ich hätte
> vom Gefühl gesagt, dass der ncht nötig ist, weil ich ja
> dann wieder quasi im 2.) Fall lande, oder?
Ne, du musst den schon noch betrachten.
Die Reihenfolge der Elemente haust du ja erst danach raus.
> Um die drei Vektoren anzuordenen gibt es d=3!=6
> Möglichkeiten, oder?
>
> Also habe ich jetzt
> [mm]n=\bruch{abc}{d}=\bruch{26*24*22}{6}=2288[/mm]
>
> Richtig?
Jetzt noch $a=0$ oder $b=0$ abarbeiten, dann passt das alles.
lg
Schadow
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So verbessert:
a=1 und b=0 oder b=1 oder b=2 [mm] \Rightarrow [/mm] 3 mögliche Linearkombinationen
a=2 und b=0 oder b=1 oder b=2 [mm] \Rightarrow [/mm] 3 mögliche Linearkombinationen
a=0 und b=0 oder b=1 oder b=2 [mm] \Rightarrow [/mm] 3 mögliche Linearkombinationen (Der Nullvektor ist hier ja jetzt auch schon mit drin)
also c=27-3-3-3=27-9=18
d=3!=6
also
[mm] n=\bruch{26*24*18}{6}=1872 [/mm] möglihe Basen.
Jetzt richtig?
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> So verbessert:
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> a=1 und b=0 oder b=1 oder b=2 [mm]\Rightarrow[/mm] 3 mögliche
> Linearkombinationen
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> a=2 und b=0 oder b=1 oder b=2 [mm]\Rightarrow[/mm] 3 mögliche
> Linearkombinationen
>
>
> a=0 und b=0 oder b=1 oder b=2 [mm]\Rightarrow[/mm] 3 mögliche
> Linearkombinationen (Der Nullvektor ist hier ja jetzt auch
> schon mit drin)
>
> also c=27-3-3-3=27-9=18
>
> d=3!=6
>
> also
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> [mm]n=\bruch{26*24*18}{6}=1872[/mm] möglihe Basen.
>
> Jetzt richtig?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:13 Sa 30.06.2012 | | Autor: | Big_Head78 |
Danke!
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