Vektorraum, Lineare Abbildunge < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:47 Sa 02.01.2010 | | Autor: | Jansen88 |
| Aufgabe | Seien V und W K-Vektorräume, U ein Unterraum von V und A [mm] \in Hom_{K}(V;W). [/mm] Definiere eine Abbildung [mm] A_{U} [/mm] von U nach W durch [mm] A_{U}u:=Au [/mm] für alle u [mm] \in [/mm] U. Zeige:
1) [mm] A_{U} \in Hom_{K}(U,W)
[/mm]
2) [mm] Kern(A_{U})=Kern(A) \cap [/mm] U
3) Genau dann ist [mm] A_{U} [/mm] ein Epimorphismus von U auf Bild(A), wenn U+Kern(A)=V gilt. |
Hallo alle zusammen,
ich habe absolut keine Idee wie ich diese Aufgabe lösen kann.
Kann mir jemand helfen?
LG
|
|
| |
|
Hallo,
> Seien V und W K-Vektorräume, U ein Unterraum von V und A
> [mm]\in Hom_{K}(V;W).[/mm] Definiere eine Abbildung [mm]A_{U}[/mm] von U nach
> W durch [mm]A_{U}u:=Au[/mm] für alle u [mm]\in[/mm] U. Zeige:
> 1) [mm]A_{U} \in Hom_{K}(U,W)[/mm]
> 2) [mm]Kern(A_{U})=Kern(A) \cap[/mm] U
> 3) Genau dann ist [mm]A_{U}[/mm] ein Epimorphismus von U auf
> Bild(A), wenn U+Kern(A)=V gilt.
> Hallo alle zusammen,
> ich habe absolut keine Idee wie ich diese Aufgabe lösen
> kann.
> Kann mir jemand helfen?
Absolut keine Idee? Das glaube ich dir nicht 
1) Was bedeutet es, wenn A ein Homomorphismus von V nach W ist?
Dann gilt A(v1+v2) = A(v1)+A(v2) für alle [mm] v1,v2\in [/mm] V (wobei das rechte "+" die Operation in W darstellt!).
Du sollst nun zeigen, dass A(u1+u2) = A(u1)+A(u2) für alle [mm] u1,u2\in [/mm] U ist.
2) Schreibe dir die Definition vom Kern auf: Es ist
[mm] Kern(A_{U}) [/mm] := [mm] \{u\in U|A_{U}(u) = 0\}
[/mm]
Nun verwende [mm] A_{U}(u) [/mm] = A(u).
3) Hier ist eine Äquivalenz zu zeigen. Schreibe dir dazu auf, was ein Epimorphismus ist!
Es kann sein, dass dir diese Antwort nicht besonders weitergeholfen hat. Das hängt dann aber daran, dass du nicht die nötige Vorarbeit geleistet hast und die Definitionen etc. hingeschrieben hast und nicht deutlich genug herausgestellt hast, wo dein Problem liegt.
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:46 Sa 02.01.2010 | | Autor: | Jansen88 |
zu 1.)
Zu zeigen: A(u1+u2)=A(u1)+A(u2) für alle u1,u2 [mm] \in [/mm] U
[mm] A_{U}(u1)=Au1
[/mm]
[mm] A_{U}(u2)=Au2
[/mm]
[mm] A_{U}(u1+u2)= [/mm] A(u1+u2) = Au1+Au2 = [mm] A_{u1}+A_{u2}
[/mm]
Also ist [mm] A_{u} \in Hom_{K}(U,W)
[/mm]
Stimmt das?
Zu 3.)
Genau dann ist [mm] A_{U} [/mm] ein Epimorphismus von U auf
Bild(A), wenn U+Kern(A)=V gilt
Ein Epimorphismus ist ein Homomorphismus, der surjektiv ist.
Also muss ich zuerst prüfen ob [mm] A_{U} [/mm] von U auf Bild(A) überhaupt ein Homomorphismus ist oder?
Also [mm] A_{U}(u1+u2)=A_{U}(u1)+A_{U}(u2) [/mm] für alle u1, u2 [mm] \in [/mm] U
(+ ist die Operation in Bild(A)).
Dann muss ich zeigen ob dieser Homomorphismus surjektiv ist.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:10 Sa 02.01.2010 | | Autor: | valoo |
Bei 1) muss du auch die Multiplikativität zeigen, da es ja ein Vektorraumhomomorphismus ist. Das ist aber genau so trivial wie die Additivität. Zu zeigen ist noch: [mm] A_{U}(a*u)=a*A_{U}(u) \forall a\in [/mm] K; [mm] \forall u\in [/mm] U
Zu 3): Du weißt, dass das Teil ein Homomorphismus ist (1), das Bild ist ja nur eine Untermenge von W. Du brauchst nur die Surjektivität. Das ist auch relativ trivial, da ja alles im Kern auf Null abgebildet wird und [mm] A_{U} [/mm] nichts zusätzliches braucht, was dadrauf abgebildet wird, da es ja schon die Null auf die Null abbildet. Die Gegenrichtung ist da schon etwas schwieriger. Du musst zeigen, dass wenn [mm] A_{U} [/mm] auf Bild(A) surjektiv ist, dann können alle Elemente von V, die nicht in U sind, nur auf die Null abgebildet werden.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:34 So 03.01.2010 | | Autor: | Jansen88 |
Die
> Gegenrichtung ist da schon etwas schwieriger. Du musst
> zeigen, dass wenn [mm]A_{U}[/mm] auf Bild(A) surjektiv ist, dann
> können alle Elemente von V, die nicht in U sind, nur auf
> die Null abgebildet werden.
Wie zeigt man denn so etwas? Wir haben sowas leider noch nie gemacht.
Zu 2.)
[mm] Kern(A_{U})=Kern(A)\cap [/mm] U
[mm] Kern(A_{U}):={u \in U |A_{u}(u)=0}
[/mm]
Da [mm] A_{u}(u)=A(u) [/mm] , Kern(0)= Kern(A) [mm] \cap [/mm] U
Aber was bedeutet das nun?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:45 Mo 04.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Jansen88,
> Die
> > Gegenrichtung ist da schon etwas schwieriger. Du musst
> > zeigen, dass wenn [mm]A_{U}[/mm] auf Bild(A) surjektiv ist, dann
> > können alle Elemente von V, die nicht in U sind, nur auf
> > die Null abgebildet werden.
>
> Wie zeigt man denn so etwas? Wir haben sowas leider noch
> nie gemacht.
Wie in meiner Korrekturmitteilung beschrieben, stimmte der Hinweis nicht ganz.
Wie zeigt man nun, dass, wenn [mm]A_U[/mm] ein Epimorphismus auf [mm]\operatorname{Bild}(A)[/mm] ist, [mm]U+\operatorname{Kern}(A)=V[/mm] folgt?
Die Inklusion [mm]\subseteq[/mm] ist klar, da ist nichts zu zeigen. Um die Inklusion [mm]\supseteq[/mm] zu zeigen, nimmst du dir ein Element [mm]v\in V[/mm]. Zu zeigen ist [mm]v\in U+\operatorname{Kern}(A)[/mm], d.h. es ex. [mm]u\in U, v'\in\operatorname{Kern}(A)[/mm] mit [mm]v=u+v'[/mm].
Wir wollen irgendwie die Surjektivität von [mm]A_U[/mm] auf [mm]\operatorname{Bild}(A)[/mm] ins Spiel bringen, brauchen also ein Element von [mm]\operatorname{Bild}(A)[/mm], von dem wir ausnützen können, dass es ein Urbild hat. Bisher haben wir mit v nur ein Element von V. Aber mithilfe von A erhalten wir (wie?) ein Element [mm]w\in\operatorname{Bild}(A)[/mm]. Da [mm]A_U[/mm] auf [mm]\operatorname{Bild}(A)[/mm] surjektiv ist, existiert also ein [mm]u\in U[/mm] mit ...?
Wenn dieses u das Gewünschte leisten soll ([mm]v=u+v'[/mm] mit einem [mm]v'\in \operatorname{Kern}(A)[/mm]), muss [mm]v'=?[/mm] sein. Zeige, dass für dieses [mm]v'[/mm] tatsächlich [mm]v'\in\operatorname{Kern}(A)[/mm] gilt.
> Zu 2.)
> [mm]Kern(A_{U})=Kern(A)\cap[/mm] U
>
> [mm]Kern(A_{U}):={u \in U |A_{u}(u)=0}[/mm]
>
> Da [mm]A_{u}(u)=A(u)[/mm] , Kern(0)= Kern(A) [mm]\cap[/mm] U
>
> Aber was bedeutet das nun?
Leider verstehe ich nicht, was du mit der Frage meinst (was meinst du mit "das"?). Kannst du sie nochmal mit anderen Worten formulieren?
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 00:12 Mo 04.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
> Du brauchst nur die Surjektivität. Das ist auch relativ trivial, da
> ja alles im Kern auf Null abgebildet wird und nichts zusätzliches
> braucht, was dadrauf abgebildet wird, da es ja schon die Null auf
> die Null abbildet.
Nein, ganz so einfach ist das nicht. Die Elemente von V sind i.A. NICHT alle in U oder im Kern von A. Sie lassen sich lediglich als Summe eines Elementes von U und eines Elementes des Kerns von A schreiben.
> Die Gegenrichtung ist da schon etwas schwieriger. Du musst
> zeigen, dass wenn [mm]A_{U}[/mm] auf Bild(A) surjektiv ist, dann
> können alle Elemente von V, die nicht in U sind, nur auf
> die Null abgebildet werden.
Gleicher Fehler wie oben: Das muss man nicht zeigen. Es genügt zu zeigen, dass alle Elemente von V sich als Summe eines Elementes von U und eines Elementes des Kerns von A schreiben lassen. Sie müssen nicht schon selbst in U oder im Kern sein.
|
|
|
|
