Vektorraum aufspannen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Spannen die beiden Vektoren einen Untervektorraum des [mm] \IR^3 [/mm] auf?
[mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] und [mm] \vektor{2 \\ 2 \\ 2} [/mm] |
Hallo,
ich bin immer wenn es um Vektorräume geht etwas ratlos weil mir irgendwie nie richtig klar ist wie ich das sehen kann.
kann mir bitte jemand ne kurze Anleitung geben wie ich das mit einem Blick schnell sehen kann und vllt. auch ein Gegenbeispiel zeigen wann Vektoren keinen Vektorraum aufspannen.
Ich weiß dass diese Vektoren keine Basis eines Vektorraums bilden aber warum? hier hab ich im Prinzip die gleiche Frage wie oben.
Gruß
|
|
| |
|
Hallo Aldiimwald,
> Spannen die beiden Vektoren einen Untervektorraum des [mm]\IR^3[/mm]
> auf?
>
> [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm] und [mm]\vektor{2 \\ 2 \\ 2}[/mm]
> Hallo,
>
> ich bin immer wenn es um Vektorräume geht etwas ratlos weil
> mir irgendwie nie richtig klar ist wie ich das sehen kann.
>
> kann mir bitte jemand ne kurze Anleitung geben wie ich das
> mit einem Blick schnell sehen kann
Das geht nicht immer. Hier schon, es sind ja nur zwei Vektoren. Wenn keiner davon der Nullvektor ist, dann "sieht" man recht schnell, ob die beiden einen Vektorraum aufspannen oder nicht. Welche Bedingung müssen sie denn dafür erfüllen?
> und vllt. auch ein
> Gegenbeispiel zeigen wann Vektoren keinen Vektorraum
> aufspannen.
Du hast hier ein Gegenbeispiel!
> Ich weiß dass diese Vektoren keine Basis eines Vektorraums
> bilden aber warum? hier hab ich im Prinzip die gleiche
> Frage wie oben.
Woher weißt Du das denn, wenn Du direkt danach fragst: warum?
Was fällt Dir an diesen beiden Vektoren auf?
> Gruß
Grüße,
reverend
|
|
|
| |
|
ich weiß das aus der multiple choice -Klausurlösung
Da heißt es:
Lösung: Ja! Sie bilden zwar keine Basis eines Vektorraums, dennoch spannen sie einen Vektorraum auf.
das heißt es werden falls diese Frage nochmal kommt auch nicht mehr als 2 Vektoren in der Fragestellung vorkommen.
tja natürlich fällt auf, dass 2*v1 = v2 ist aber was sagt mir das?
|
|
|
| |
|
Hallo Aldiimwald,
aha. Klausurlösung...
Also erstmal: richtig, sie bilden keine Basis, und zwar weil sie linear abhängig sind. Das ist bei zwei Vektoren ja noch leicht zu überprüfen, ab drei musst Du vielleicht ein bisschen mehr rechnen und "siehst" nicht sofort, ob es stimmt oder nicht.
Jeder Vektor [mm] \not=vec{0} [/mm] kann einen Vektorraum aufspannen, aber eben nur einen eindimensionalen. So auch hier. Diesen wahren, aber trivialen Fall habe ich gerade ausgeblendet.
Was ist denn ein Vektorraum, wie ist er definiert, was muss er erfüllen?
Wenn Du die Definitionen verstehst, weißt Du auch, was Du bei einer Aufgabe machen musst.
Grüße,
reverend
|
|
|
| |
|
lösung von alten klausuren.......das gück die aktuelle zu bekommen ist mir leider nicht vergönnt
also ein vektor ist ja quasi ein Pfeil der eine Raumdiagonal darstellt und somit einen raum aufspannt.
ahhh ok, das heißt wenn irgendwo eine 0 vorkommen würde, dann bilden sie nur ne Ebene und spannen somit keinen Vektorraum auf!? richtig verstanden?
was bedeutet dann Untervektorraum? einfach nur einen Kleineren raum? wenn ja, kleiner als welcher vergleichsraum denn?
|
|
|
| |
|
Hallo Aldi,
> lösung von alten klausuren.......das gück die aktuelle zu
> bekommen ist mir leider nicht vergönnt
>
>
> also ein vektor ist ja quasi ein Pfeil der eine
> Raumdiagonal darstellt und somit einen raum aufspannt.
Hmm sehr grob ja 
>
> ahhh ok, das heißt wenn irgendwo eine 0 vorkommen würde,
> dann bilden sie nur ne Ebene und spannen somit keinen
> Vektorraum auf!? richtig verstanden?
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Dieses Kauderwelsch kann ich nicht verstehen, bitte klarer formulieren ...
>
> was bedeutet dann Untervektorraum? einfach nur einen
> Kleineren raum? wenn ja, kleiner als welcher vergleichsraum
> denn?
Ein Untervektorraum U eines Vektorraumes V (über einem Körper K) ist eine Teilmenge von V, die selber wieder ein Vektorraum (über K) ist, also diese ganzen Vektorraumaxiome erfüllt --> nachschlagen!
Es gibt 3 Kriterien, um nachzuweisen, ob eine solche Teilmenge [mm] $U\subset [/mm] V$ ein UVR von V ist
(1) [mm] $U\neq\emptyset$ [/mm] bzw. äquivalent dazu: [mm] $\vec{0}_V\in [/mm] U$ (der Nullvektor von V ist auch in U)
(2) [mm] $\vec{a},\vec{b}\in U\Rightarrow \vec{a}+\vec{b}\in [/mm] U$ (Abgeschlossenheit bzgl. Vektoraddition)
(3) [mm] $\lambda\in [/mm] K, [mm] \vec{a}\in U\Rightarrow \lambda\cdot{}\vec{a}\in [/mm] U$ (Abgeschlossenheit bzgl. Multiplikation mit Skalaren aus dem Körper)
Soweit die abstrakte Definition. Im [mm] $\IR^3$ [/mm] lassen sich die Unterräume gut anschaulich charakterisieren.
Jeder Unterraum muss nach (1) die 0 enthalten, also sind die eindimensionalen Unterräume des [mm] $\IR^3$ [/mm] genau die Ursprungsgeraden.
Mit je 2 Punkten auf einer Geraden ist die Summe der Punkte wieder auf der Geraden, ebenso ein reelles Vielfaches eines Punktes ...
Wie sehen die 2-dimensionalen Unterräume des [mm] $\IR^3$ [/mm] aus?
Und ein 0-dimensionaler Unterraum des [mm] $\IR^3$?
[/mm]
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
von mathematischen Definitionen verstehe ich nichts! ich habe keine Ahnung was mir das sagen soll.
Ich dachte eben: [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] spannt ja keinen raum auf sondern ne ebene ist also nu 2dim...
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> von mathematischen Definitionen verstehe ich nichts! ich
> habe keine Ahnung was mir das sagen soll.
Das ist nicht gut ...
>
> Ich dachte eben: [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 0}[/mm] spannt ja keinen raum
> auf sondern ne ebene ist also nu 2dim...
Unsinn, ein einzelner Vektor [mm] \neq\vec{0} [/mm] spannt doch nur einen eindimensionalen Raum auf, also hier (bezogen auf den [mm] $\IR^n$) [/mm] eine Gerade.
Die Dimension eines Vektorraumes ist die Anzahl der Basisvektoren.
Der Vektor [mm] $\vektor{1\\1\\0}$ [/mm] spannt also eine Ursprungsgerade im [mm] $\IR^3$ [/mm] auf, deren sämtliche Punkt als z-Koordinate 0 haben.
Diesen Vektorraum kannst du darstellen als [mm] $\left\{\lambda\cdot{}\vektor{1\\1\\0}\mid\lambda\in\IR\right\}$
[/mm]
Also genau als Menge der Punkte der Geraden [mm] $g:\lambda\cdot{}\vektor{1\\1\\0}$ [/mm] bzw. [mm] $g:\vektor{0\\0\\0}+\lambda\cdot{}\vektor{1\\1\\0}$, [/mm] um das mit dem Aufpunkt/Ortsvektor zu schreiben
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:56 Do 19.02.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo Aldiimwald,
wenn Du von mathematischen Definitionen keine Ahnung hast, solltest Du die Finger von Vektorräumen lassen. Sie sind ein rein mathematisches Konstrukt und ohne die Definitionen nicht zu verstehen.
Vor allem musst Du dabei den Gedanken aufgeben, "Raum" habe irgend etwas mit dem normal-alltäglichen, anschaulichen Begriff "Raum" zu tun. Ein eindimensionaler Vektorraum ist nur eine Gerade, egal wo und wie sie liegt, und spätestens bei einem vierdimensionalen Vektorraum würdest Du Probleme mit der Anschauung bekommen. Ebenso ist ein Vektor kein Pfeil, sondern erst einmal nichts als ein n-Tupel, also eine geordnete Menge von n Zahlen.
Es bleibt Dir nichts übrig, als die Definitionen zu lernen und zu verstehen - sonst kannst Du nicht mit Vektorräumen arbeiten. Auch ein multiple-choice-Test ist faktisch ohne dieses Verständnis nicht zu lösen.
Grüße,
reverend
|
|
|
|
