Vektorraum der Polynome < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:17 Di 24.03.2015 | | Autor: | kolja21 |
| Aufgabe | Zeigen Sie: Die Menge V := [mm] \{ p \in \IR[x]_{3} : p(5) = 0 \} [/mm] der Polynome mit einer Nullstelle bei [mm] x_{0} [/mm] := 5 ist
ein Untervektorraum von [mm] R[x]_{3}. [/mm] |
Ich nehme an, da schon von Untervektorram gesprochen wird, dass es sich bei V um eine Einschränkung des [mm] R[x]_{3} [/mm] handelt. Ich verstehe nur nicht um welche. Bei "normalen" Vektoren ist ein Untervektorraum (unter anderem) einer, der um eine oder mehrere Dimmension(en) ärmer ist. Wie ist es bei Polynomen mit einer Nullstelle?
Danke schon mal im Vorraus 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:29 Di 24.03.2015 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie: Die Menge V := [mm]\{ p \in \IR[x]_{3} : p(5) = 0 \}[/mm]
> der Polynome mit einer Nullstelle bei [mm]x_{0}[/mm] := 5 ist
> ein Untervektorraum von [mm]R[x]_{3}.[/mm]
> Ich nehme an, da schon von Untervektorram gesprochen wird,
> dass es sich bei V um eine Einschränkung des [mm]R[x]_{3}[/mm]
> handelt. Ich verstehe nur nicht um welche.
Das steht doch oben: V besteht aus solchen Polynomen $p [mm] \in \IR[x]_{3}$ [/mm] mit der Eigenschaft p(5)=0.
> Bei "normalen"
> Vektoren ist ein Untervektorraum (unter anderem) einer, der
> um eine oder mehrere Dimmension(en) ärmer ist.
Nicht nur. Jeder Vektorraum ist Untervektorraum von sich selbst.
> Wie ist es
> bei Polynomen mit einer Nullstelle?
> Danke schon mal im Vorraus
[mm] dim(\IR[x]_{3})=4, [/mm] dim(V)=3.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:53 Di 24.03.2015 | | Autor: | kolja21 |
hi Fred,
kannst du mir auch erklären woran das liegt, dass durch eine Nullstelle eine Dimension verloren geht?
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:40 Di 24.03.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> hi Fred,
> kannst du mir auch erklären woran das liegt, dass durch
> eine Nullstelle eine Dimension verloren geht?
> Danke
warum soll "eine Dimension verloren gehen"?
(Edit:Ach, okay, ich hatte die letzte Zeile von Fred überlesen. Aber dann einfach
mal *rein suggestiv*: Man kann Funktionen, die an einer Stelle [mm] $x_0$ [/mm] KEINE Nullstelle
haben, doch wohl schlecht mit Funktionen, die an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] eine Nullstelle
haben, linearkombinieren. Daher wird [mm] $V\,$ [/mm] wohl *kleiner* als [mm] $R[x]_3$ [/mm] sein!)
Erstens denkst Du gerade nur in endlichdimensionalen Vektorräumen, und zweitens nennt man Unterräume, die Du meinst, wohl "echte Unterräume".
Ein Unterraum kann auch die gleiche Dimension wie der Vektorraum
selbst haben: Jeder Vektorraum erfüllt doch die Unterraumaxiome bzgl.
sich selbst; das hat Fred Dir aber auch schon gesagt. Mit anderen Worten:
Ist [mm] $(V,+,\cdot)$ [/mm] ein $K$-Vektorraum, so ist auch [mm] $(V,+,\cdot)$ [/mm] ein Unterraum von
[mm] $(V,+,\cdot)$.
[/mm]
Zu Deiner Aufgabe: [mm] $R[x]_3$ [/mm] (ausgestattet mit der Addition ... und der skalaren
Multiplikation ... [die ... kannst Du ergänzen?]) ist ein Vektorraum. Offenbar ist
$V [mm] \subseteq R[x]_3$ [/mm] per Definitionem von [mm] $V\,.$ [/mm] (Siehst Du das?)
Der "Nullvektor" (welches Polynom ist das?) liegt wegen ... auch in [mm] $V\,.$ [/mm] Damit ist
$V [mm] \neq \varnothing$. [/mm] (Ich mag dieses Symbol lieber für die leere Menge!)
Es bleibt also noch zu zeigen, dass "die von [mm] $R[x]_3$ [/mm] geerbte Additon ... und skalare Multiplikation ..."
*nicht aus [mm] $V\,$ [/mm] herausführt, wenn man sie auf Elemente von [mm] $V\,$ [/mm] anwendet*.
(Was meine ich damit?)
Falls Dir das unklar ist, was ich so in Worten *beschreibe*: Schlag die Unterraumaxiome
nach!
Nebenbei schreib' ich mal etwas, womit Du schon fast den Großteil der
eigentlichen Aufgabe erledigt hast:
Sei $f [mm] \colon [/mm] D [mm] \to [/mm] Z$ eine Funktion, ebenso $g [mm] \colon [/mm] D [mm] \to [/mm] Z$ mit hier einfach mal $Z [mm] \subseteq \IR$.
[/mm]
Ist [mm] $x_0 \in [/mm] D$ mit [mm] $f(x_0)=g(x_0)=0\,,$ [/mm] so gilt für $f+g=:h [mm] \colon [/mm] D [mm] \to [/mm] Z$ auch
[mm] $h(x_0)=(f+g)(x_0)\stackrel{\text{Def. von }(f+g)}{=}f(x_0)+g(x_0)=0+0=0\,.$
[/mm]
P.S. Zur Dimensionsfrage: Finde ein minimales Erzeugendensystem von [mm] $V\,,$ [/mm] dann
kannst Du Dir den Rest selbst erklären. (Eine andere Möglichkeit bei sowas
ist es, mit Koordinatenabbildungen zu arbeiten bzw. mit Isomorphismen
zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen.)
Gruß,
Marcel
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