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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Vektorraum der Polynome
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Vektorraum der Polynome: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:23 Do 13.12.2007
Autor: SusanneK

Aufgabe
Sei V der Vektorraum der Polynome über [mm] \IR [/mm] vom Grad [mm] \le [/mm] 2. Sei [mm] f:V \to \IR^2 [/mm] definiert durch [mm] f( \summe_{i=0}^{2} a_iT^{i}) = \pmat{a_2\\a_0}[/mm].

Bestimmen Sie eine Basis von Kern(f) und von Bild(f).

Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.

Ich weiss, dass der Kern diejenigen Vektoren sind, deren Bild der Nullvektor ist. Wie sieht das hier aus ?
[mm]a_0+a_1T+a_2T^2[/mm] wird abgebildet auf [mm]\pmat{0\\0}[/mm].

Stimmt das und wie mache ich weiter ?

Danke, Susanne.


        
Bezug
Vektorraum der Polynome: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:19 Do 13.12.2007
Autor: Zneques

Hallo,

soweit ist das schon ganz gut.
Die Abbildung f ordnet [mm] p=a_2T^2+a_1T+a_0 \mapsto \pmat{a_2\\a_0} [/mm] zu. Damit p im Kern von f liegt muss dann [mm] f(p)=\pmat{0\\0} [/mm] gelten. Es sollte einen ganzen Lösungsraum geben. Nun müsstest du ein/mehere Polynome finden, die durch Linearkombination alle deine Lösungen erzeugen und lin. unabh. sind.
Das Bild muss in der Menge liegen, in die abgebildet wird [mm] (\IR^2). [/mm] Es enthält alle möglichen Lösungen der Gleichung. Danach brauchst du nur noch eine Basis dieser Menge finden.

Ciao.

Bezug
                
Bezug
Vektorraum der Polynome: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:53 Fr 14.12.2007
Autor: SusanneK


> Hallo,
>  
> soweit ist das schon ganz gut.
>  Die Abbildung f ordnet [mm]p=a_2T^2+a_1T+a_0 \mapsto \pmat{a_2\\a_0}[/mm]
> zu. Damit p im Kern von f liegt muss dann [mm] f(p)=\pmat{0\\0} [/mm]
> gelten. Es sollte einen ganzen Lösungsraum geben. Nun
> müsstest du ein/mehere Polynome finden, die durch
> Linearkombination alle deine Lösungen erzeugen und lin.
> unabh. sind.
>  Das Bild muss in der Menge liegen, in die abgebildet wird
> [mm](\IR^2).[/mm] Es enthält alle möglichen Lösungen der Gleichung.
> Danach brauchst du nur noch eine Basis dieser Menge
> finden.
>  
> Ciao.

Erstmal vielen Dank für Deine Hilfe !

Jetzt habe ich viel nachgelesen, aber so richtig komme ich immer noch nicht weiter:
Wenn [mm]p=a_2T^2+a_1T+a_0 \mapsto \pmat{0\\0}[/mm] ergeben soll, dann muss [mm] a_2,a_0=0 [/mm] sein. Bedeutet das:
Alle [mm] p=a_1T [/mm] sind Kern(f) und eine Basis daraus könnte sein
[mm] p_1=T [/mm].

Aber was ist, wenn der Grad < 2 ist, dann habe ich doch gar kein [mm] a_2 [/mm] ?

Oder bin ich völlig auf dem Holzweg ?

Danke, Susanne.

Bezug
                        
Bezug
Vektorraum der Polynome: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:04 Fr 14.12.2007
Autor: statler

Mahlzeit Susanne!

>  Alle [mm]p=a_1T[/mm] sind Kern(f) und eine Basis daraus könnte
> sein
>  [mm]p_1=T [/mm].

Genau so ist es!

> Aber was ist, wenn der Grad < 2 ist, dann habe ich doch gar
> kein [mm]a_2[/mm] ?

Doch, wo nichts steht, steht 0, also [mm] 0*T^{2} [/mm]

> Oder bin ich völlig auf dem Holzweg ?

Naja, ein bißchen.

Gruß aus HH-Harburg
Dieter


Bezug
                                
Bezug
Vektorraum der Polynome: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:34 Fr 14.12.2007
Autor: SusanneK

Hallo Dieter,
vielen Dank für Deine schnelle Hilfe !
  
Dann bin ich ja schon mal ein bisschen weiter, danke !

Aber leider reicht mein Wissen immer noch nicht für die Basis von Bild(f).
Wie komme ich denn von
[mm] a_2T^2+a_1T+a_0 [/mm] auf [mm] \pmat{a_2\\a_0} [/mm] ?
Kann ich das [mm] T^2 [/mm] als [mm] x^2 [/mm] ansehen ?

LG und danke, Susanne.



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Bezug
Vektorraum der Polynome: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:55 Fr 14.12.2007
Autor: koepper

Hallo Susanne,

> Aber leider reicht mein Wissen immer noch nicht für die
> Basis von Bild(f).
>  Wie komme ich denn von
> [mm]a_2T^2+a_1T+a_0[/mm] auf [mm]\pmat{a_2\\a_0}[/mm] ?
>  Kann ich das [mm]T^2[/mm] als [mm]x^2[/mm] ansehen ?

ja, kannst du. Das macht die Polynome einfach vertrauter, nicht?

Überlege für Bild(f) einfach, ob es irgendeinen Vektor aus dem [mm] $\IR^2$ [/mm] gibt, der nicht "erreicht" werden kann, zu dem es also kein Polynom als Urbild gibt.
Kennst du eine Basis des [mm] $\IR^2$? [/mm]

Gruß
Will

Bezug
                                                
Bezug
Vektorraum der Polynome: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:19 Fr 14.12.2007
Autor: SusanneK


> Hallo Susanne,
>  
> > Aber leider reicht mein Wissen immer noch nicht für die
> > Basis von Bild(f).
>  >  Wie komme ich denn von
> > [mm]a_2T^2+a_1T+a_0[/mm] auf [mm]\pmat{a_2\\a_0}[/mm] ?
>  >  Kann ich das [mm]T^2[/mm] als [mm]x^2[/mm] ansehen ?
>  
> ja, kannst du. Das macht die Polynome einfach vertrauter,
> nicht?
>  
> Überlege für Bild(f) einfach, ob es irgendeinen Vektor aus
> dem [mm]\IR^2[/mm] gibt, der nicht "erreicht" werden kann, zu dem es
> also kein Polynom als Urbild gibt.
>  Kennst du eine Basis des [mm]\IR^2[/mm]?
>  
> Gruß
>  Will

Hallo Will,
vielen Dank für Deine schnelle Hilfe !
Können alle die nicht erreicht werden, deren Polynom ein [mm] a_1 \not= 0 [/mm] haben, also sozusagen die Komplementärmenge zum Kern ?
Und wie stelle ich das als Vektor dar ?

Danke, Susanne.

Bezug
                                                        
Bezug
Vektorraum der Polynome: Noch mal ...
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:32 Fr 14.12.2007
Autor: statler

Hallo Susanne!

>  Können alle die nicht erreicht werden, deren Polynom ein
> [mm]a_1 \not= 0[/mm] haben, also sozusagen die Komplementärmenge zum
> Kern ?

Dieser Satz entspricht in keiner Weise den grammatischen Grundregeln der deutschen Sprache. Daher verstehe ich ihn auch nicht!

Ich wiederhole also koeppers Frage in meinen Worten: Gibt es einen Vektor im [mm] \IR^{2}, [/mm] der nicht Bild eines Polynoms vom Grad [mm] \le [/mm] 2 unter dieser Abbildung ist? Dies ist zunächst eine Entscheidungsfrage, die nur mit ja/nein beantwortet werden kann. Die Antwort solltest du dann aber begründen. Mach mal ...

Gruß
Dieter


Bezug
                                                                
Bezug
Vektorraum der Polynome: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:09 Fr 14.12.2007
Autor: SusanneK


> Hallo Susanne!
>  
> >  Können alle die nicht erreicht werden, deren Polynom ein

> > [mm]a_1 \not= 0[/mm] haben, also sozusagen die Komplementärmenge zum
> > Kern ?
>
> Dieser Satz entspricht in keiner Weise den grammatischen
> Grundregeln der deutschen Sprache. Daher verstehe ich ihn
> auch nicht!
>  
> Ich wiederhole also koeppers Frage in meinen Worten: Gibt
> es einen Vektor im [mm]\IR^{2},[/mm] der nicht Bild eines Polynoms
> vom Grad [mm]\le[/mm] 2 unter dieser Abbildung ist? Dies ist
> zunächst eine Entscheidungsfrage, die nur mit ja/nein
> beantwortet werden kann. Die Antwort solltest du dann aber
> begründen. Mach mal ...
>  
> Gruß
>  Dieter
>  

Oh, mein Gott !
Du hast Recht Dieter, das ist ein fürchterlicher Satz ;-)

Also, neuer Versuch:
Da mein mathematisches Vektor-Halbwissen noch nicht für ein klares "Ja" oder "Nein" ausreicht, formuliere ich mal ein vorsichtiges "ja" mit der Begründung:
Wenn [mm] a_1 \not= 0 [/mm] ist habe ich 3 Koeffizienten und das kann nicht nach [mm] \IR^2 [/mm] abgebildet werden.
(Dies mag jetzt ein grammatikalisch richtiger Satz sein, aber mathematischer Blödsinn - leider habe ich Abbildungen und Vektorraum noch nicht so ganz verstanden).

Vielleicht bekomme ich hier ja noch Klarheit.
Danke, Susanne.


Bezug
                                                                        
Bezug
Vektorraum der Polynome: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:18 Fr 14.12.2007
Autor: Zneques

Also nochmal zusammengefasst :
Du hast ein Polynom [mm] p=a_2T^2+a_1T+a_0. [/mm]
Dieses wird, egal welche Werte [mm] a_{2},a_{1},a_{0} [/mm] haben, auf [mm] \pmat{a_2\\a_0} [/mm] abgebildet.

Wenn nun [mm] a_{2}=a_{0}=0, [/mm] dann ist f(p)=0 und somit [mm] p\in [/mm] Kern(f).
D.h.  [mm] Kern(f)=\{a_1T ; a_1\in\IR\}=L(T) [/mm]   (das Polynom p=T ist also eine Basis des Kerns)

Nun zum Bild:
Das Bild ist eine Teilmenge der Menge in die abgebildet wird : [mm] Bild(f)\subseteq\IR^2 [/mm]
Und zwar besteht es aus allen möglichen Funtionswerten : [mm] Bild(f)=\{\pmat{a_2\\a_0}\in\IR^2 ; \exists p : f(p)=\pmat{a_2\\a_0}\} [/mm]
Du musst dir dazu also überlegen welche Ergebnisse möglich sind. Dabei ist es egal welche Polynome man dafür braucht.

Es ist klar, dass man keine drei Koeffizienten "vollständig" nach [mm] \IR^2 [/mm] abbilden kann. Daher hat der Kern der Abbildung auch die Dimension 1. D.h. es geht quasi eine Dimension "verloren".
Was meinst du, welche Dimension das Bild haben wird ?

Ciao.

Bezug
                                                                                
Bezug
Vektorraum der Polynome: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:07 Fr 14.12.2007
Autor: SusanneK

Hallo Zneques, (Se'qu'enz ?)
vielen Dank für Deine ausführliche Erklärung !
Also, neuer Versuch:

>  
> Du musst dir dazu also überlegen welche Ergebnisse möglich
> sind. Dabei ist es egal welche Polynome man dafür braucht.

Ich denke, ich kann [mm] \IR^2 [/mm] komplett abbilden, da [mm] a_2 [/mm] und [mm] a_0 [/mm] beide [mm] \in \IR [/mm] sind.

>  
> Es ist klar, dass man keine drei Koeffizienten
> "vollständig" nach [mm]\IR^2[/mm] abbilden kann. Daher hat der Kern
> der Abbildung auch die Dimension 1. D.h. es geht quasi eine
> Dimension "verloren".
>  Was meinst du, welche Dimension das Bild haben wird ?
>

Was ist denn die Dimension von V ? Ist das 3, weil es [mm] T^0, T^1, T^2 [/mm] gibt ?
Und wenn das so ist, dann würde gelten:
[mm] dim(V) = dim(Kern(f))+dim(Bild(f)) [/mm], das bedeutet, die Dimension des Bildes ist 2 und eine Basis könnte [mm] \pmat{0\\1}, \pmat{1\\0} [/mm] sein.

Stimmt das  ?

Danke, Susanne.

Bezug
                                                                                        
Bezug
Vektorraum der Polynome: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:38 Sa 15.12.2007
Autor: leduart

Hallo
Ja ist richtig!
weil [mm] T^0, T^1, T^2 [/mm] eine Basis bilden!
Gruss leduart

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