Vektorraum erzeugende Systeme < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:44 Di 20.05.2014 | | Autor: | Mathe93 |
| Aufgabe | Es sei V ein k-Vektorraum und [mm] (v_{1},v_{2},v_{3},v_{4},v_{5}) [/mm] eine Basis von V. Entscheiden sie (mit Begründung) welche der folgenden Systeme linear unabhängig sind und welche den gesamten Vektorraum V erzeugen.
a)
[mm] (v_{1},v_{1}+v_{2},v_{1}+v_{3},v_{1}+v_{4},v_{1}+v_{5},v_{1})
[/mm]
b)
[mm] (v_{1},v_{2},v_{3}+v_{4}+v_{5})
[/mm]
c)
[mm] (v_{1},v_{2},v_{1}+v_{2},v_{3},v_{4}) [/mm] |
Ich weiß das für Lineare Unabhängigkeit gilt:
[mm] \summe \alpha_{i}*v_{1}=0 [/mm] => [mm] \alpha_{i}=0\forall [/mm] i wobei [mm] \alpha_{i} [/mm] skalare aus dem Körper K sind.
Aber wie gehe ich jetzt vor und wie zeige ich das es den gesamten Vektorraum V erzeugt?
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> Es sei V ein k-Vektorraum und
> [mm](v_{1},v_{2},v_{3},v_{4},v_{5})[/mm] eine Basis von V.
Hallo,
Basis=minimales Erzeugendensystem.
Man weiß jetzt schon, daß kein System, welches aus wenige als 4 Vektoren besteht, den Raum erzeugen kann.
Basis=maximales linear unabhängiges System
Man weiß, daß kein System, welches aus mehr als 5 Vektoren besteht, linear unabhängig sein.
Man weiß weiter: jedes linear unabhängige System, welches aus 5 Vektoren besteht, ist eine Basis, also ein Erzeugendensystem.
> Entscheiden sie (mit Begründung) welche der folgenden
> Systeme linear unabhängig sind und welche den gesamten
> Vektorraum V erzeugen.
> a)
>
> [mm](v_{1},v_{1}+v_{2},v_{1}+v_{3},v_{1}+v_{4},v_{1}+v_{5},v_{1})[/mm]
6 Vektoren. Kann das linear unabhängig sein?
(Offenbar ist ja auch der 6.Vektor = 1*1. Vektor.)
Aber Du könntest jetzt auch prüfen, ob aus
[mm] 0=\lambda_1v_{1}+\lambda_2(v_{1}+v_{2})+\lambda_3(v_{1}+v_{3})+\lambda_4(v_{1}+v_{4})+\lambda_5(v_{1}+v_{5})+\lambda_6v_{1}=(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3+\lambda_4+\lambda_5+\lambda_6)v_1+\lambda_2v_2+\lambda_3v_3+\lambda_4v_4+\lambda_5v_5
[/mm]
zwingend folgt, daß alle [mm] \lambda_i=0 [/mm] sind.
Bedenke: da [mm] (v_{1},v_{2},v_{3},v_{4},v_{5}) [/mm] eine Basis ist, folgt
[mm] \lambda_1+\lambda_2+\lambda_3+\lambda_4+\lambda_5+\lambda_6=0
[/mm]
[mm] \lambda_2=0
[/mm]
[mm] \lambda_3=0
[/mm]
[mm] \lambda_4=0
[/mm]
[mm] \lambda_5=0
[/mm]
Hat dieses System nur die Lösung [mm] \lambda_i=0 [/mm] für alle i=1,2,3,4,5,6?
Erzeugendensystem?
Kannst Du jeden Vektor v aus V, also jeden Vektor [mm] v=a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3+a_4v_4+a_5v_5
[/mm]
als Linearkombination der 6 Vektoren schreiben?
Gucken wir nach:
[mm] a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3+a_4v_4+a_5v_5=\lambda_1v_1+\lambda_2(v_1+v_2)+\lambda_3(v_1+v_3)+\lambda_4(v_1+v_4)+\lambda_5(v_1+v_5)+\lambda_6v_1
[/mm]
<==>
[mm] a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3+a_4v_4+a_5v_5=(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3+\lambda_4+\lambda_5+\lambda_6)v_1+\lambda_2v_2+\lambda_3v_3+\lambda_4v_4+\lambda_5v_5
[/mm]
Es löst z.B.
[mm] \lambda_1=a_1-4711-a_2-a_3-a_4-a_5
[/mm]
[mm] \lambda_2=a_2
[/mm]
[mm] \lambda_3=a_3
[/mm]
[mm] \lambda_4=a_4
[/mm]
[mm] \lambda_5=a_5
[/mm]
[mm] \lambda_6=4711
[/mm]
die Gleichung, denn man kann jeden Vektor [mm] v\in [/mm] V als Linearkombination der Vektoren von [mm] (v_{1},v_{1}+v_{2},v_{1}+v_{3},v_{1}+v_{4},v_{1}+v_{5},v_{1}) [/mm] schreiben.
Man kann das auch ganz schnell sehen: offenbar kann man jeden Basisvektor von [mm] (v_{1},v_{2},v_{3},v_{4},v_{5}) [/mm] als Linearkombination von Vektoren aus [mm] (v_{1},v_{1}+v_{2},v_{1}+v_{3},v_{1}+v_{4},v_{1}+v_{5},v_{1}) [/mm] schreiben, und daher kan man natürlich den V erzeugen.
Versuch die anderen jetzt mal selbst.
LG Angela
> b)
> [mm](v_{1},v_{2},v_{3}+v_{4}+v_{5})[/mm]
> c)
> [mm](v_{1},v_{2},v_{1}+v_{2},v_{3},v_{4})[/mm]
> Ich weiß das für Lineare Unabhängigkeit gilt:
> [mm]\summe \alpha_{i}*v_{1}=0[/mm] => [mm]\alpha_{i}=0\forall[/mm] i wobei
> [mm]\alpha_{i}[/mm] skalare aus dem Körper K sind.
> Aber wie gehe ich jetzt vor und wie zeige ich das es den
> gesamten Vektorraum V erzeugt?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:35 Mi 21.05.2014 | | Autor: | Mathe93 |
Kurze Frage du schreibst;
> 6 Vektoren. Kann das linear unabhängig sein?
> (Offenbar ist ja auch der 6.Vektor = 1*1. Vektor.)
Aber ich Zähle nur 5:
[mm] 1.)v_{1},v_{1}
[/mm]
[mm] 2.)v_{2},v_{1}
[/mm]
[mm] 3.)v_{3},v_{1}
[/mm]
[mm] 4.)v_{4},v_{1}
[/mm]
[mm] 5.)v_{5},v_{1}
[/mm]
Oder übersehe ich etwas?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:51 Mi 21.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Kurze Frage du schreibst;
>
> > 6 Vektoren. Kann das linear unabhängig sein?
> > (Offenbar ist ja auch der 6.Vektor = 1*1. Vektor.)
>
> Aber ich Zähle nur 5:
> [mm]1.)v_{1},v_{1}[/mm]
> [mm]2.)v_{2},v_{1}[/mm]
> [mm]3.)v_{3},v_{1}[/mm]
> [mm]4.)v_{4},v_{1}[/mm]
> [mm]5.)v_{5},v_{1}[/mm]
> Oder übersehe ich etwas?
In $ [mm] (v_{1},v_{1}+v_{2},v_{1}+v_{3},v_{1}+v_{4},v_{1}+v_{5},v_{1}) [/mm] $
stehen 6 Vektoren :
[mm] v_1, v_{1}+v_{2}, v_{1}+v_{3}, v_{1}+v_{4}, v_{1}+v_{5}, v_1.
[/mm]
Wahrscheinlich ist Dir aufgefallen, dass [mm] v_1 [/mm] doppelt vorkommt. Wenn Du jetzt meinst Du könntest bei der Frage nach der linearen unabhängig keit von
[mm] (v_{1},v_{1}+v_{2},v_{1}+v_{3},v_{1}+v_{4},v_{1}+v_{5},v_{1})
[/mm]
einfach [mm] v_1 [/mm] einmal streichen, so irrst Du.
Ist z.B. v [mm] \in [/mm] V und v [mm] \ne [/mm] 0 so ist das System (v) linear unabhängig (denn aus [mm] \alpha*v=0 [/mm] mit [mm] \alpha \in [/mm] K folgt [mm] \alpha=0)
[/mm]
Das System (v,v) ist aber linear abhängig, denn v-v=0.
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:00 Mi 21.05.2014 | | Autor: | Mathe93 |
>
> stehen 6 Vektoren :
>
> [mm]v_1, v_{1}+v_{2}, v_{1}+v_{3}, v_{1}+v_{4}, v_{1}+v_{5}, v_1.[/mm]
>
Tut mir leid aber wieso 6? Es werden doch 5 Vektoren miteinander addiert oder sehe ich das falsch?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:05 Mi 21.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> >
> > stehen 6 Vektoren :
> >
> > [mm]v_1, v_{1}+v_{2}, v_{1}+v_{3}, v_{1}+v_{4}, v_{1}+v_{5}, v_1.[/mm]
>
> >
> Tut mir leid aber wieso 6? Es werden doch 5 Vektoren
> miteinander addiert oder sehe ich das falsch?
Vektor Nr. 1: [mm] v_1
[/mm]
Vektor Nr. 2: [mm] v_1+v_2
[/mm]
Vektor Nr. 3: [mm] v_1+v_3
[/mm]
Vektor Nr. 4: [mm] v_1+v_4
[/mm]
Vektor Nr. 5: [mm] v_1+v_5
[/mm]
Vektor Nr. 6: [mm] v_1
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:13 Mi 21.05.2014 | | Autor: | Mathe93 |
Ich verstehe noch nicht so wirklich wie ich vorgehen soll.
Ich habe jetzt mal bei b) damit angefangen:
Bei b) haben wir ja 3 Vektoren das heißt es kann schon mal nicht den ganzen Raum erzeugen, da es kein minimales Erzeugendensystem ist.
Für die Lineare Unabhängigkeit gilt ja:
[mm] 0=\lambda_{1}*v_{1}+\lambda_{2}*v_{2}+\lambda_{3}*(v_{3}+v_{4}+v_{5})
[/mm]
und jetzt soll ich herausfinden ob jedes [mm] \lambda [/mm] = 0 ist oder eben nicht. Aber wie stell ich das in diesem Fall an?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:19 Mi 21.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ich verstehe noch nicht so wirklich wie ich vorgehen soll.
> Ich habe jetzt mal bei b) damit angefangen:
> Bei b) haben wir ja 3 Vektoren das heißt es kann schon
> mal nicht den ganzen Raum erzeugen, da es kein minimales
> Erzeugendensystem ist.
> Für die Lineare Unabhängigkeit gilt ja:
>
> [mm]0=\lambda_{1}*v_{1}+\lambda_{2}*v_{2}+\lambda_{3}*(v_{3}+v_{4}+v_{5})[/mm]
> und jetzt soll ich herausfinden ob jedes [mm]\lambda[/mm] = 0 ist
> oder eben nicht. Aber wie stell ich das in diesem Fall an?
Ausklammern ist das Zauberwort !
[mm] 0=\lambda_{1}*v_{1}+\lambda_{2}*v_{2}+\lambda_{3}*(v_{3}+v_{4}+v_{5})
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] 0=\lambda_{1}*v_{1}+\lambda_{2}*v_{2}+\lambda_{3}*v_3+\lambda_{3}*v_4+\lambda_{3}*v_5
[/mm]
Was liefert jetzt die lineare Unabhängigkeit des Systems $ [mm] (v_{1},v_{2},v_{3},v_{4},v_{5}) [/mm] $ ?
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:28 Mi 21.05.2014 | | Autor: | Mathe93 |
Ah okay.
Da [mm] (v_{1},v_{2},v_{3},v_{4},v_{5}) [/mm] eine Basis ist gilt ja:
[mm] \lambda_{1}*v_{1}+\lambda_{2}*v_{2}+\lambda_{3}*v_{3}+\lambda_{4}*v_{4}+\lambda_{5}*v_{5}=0
[/mm]
D.h. [mm] \lambda_{1}-\lambda_{5}=0
[/mm]
Deshalb ist auch
[mm] 0=\lambda_{1}*v_{1}+\lambda_{2}*v_{2}+\lambda_{3}*v_3+\lambda_{3}*v_4+\lambda_{3}*v_5 [/mm] linear Unabh. da ja [mm] \lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3}=0 [/mm] ist.
Stimmt das?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:36 Mi 21.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ah okay.
> Da [mm](v_{1},v_{2},v_{3},v_{4},v_{5})[/mm] eine Basis ist gilt
> ja:
>
> [mm]\lambda_{1}*v_{1}+\lambda_{2}*v_{2}+\lambda_{3}*v_{3}+\lambda_{4}*v_{4}+\lambda_{5}*v_{5}=0[/mm]
> D.h. [mm]\lambda_{1}-\lambda_{5}=0[/mm]
Schlecht formuliert ! Aus [mm]\lambda_{1}*v_{1}+\lambda_{2}*v_{2}+\lambda_{3}*v_{3}+\lambda_{4}*v_{4}+\lambda_{5}*v_{5}=0[/mm]
folgt [mm] \lambda_1=...=\lambda_5=0.
[/mm]
> Deshalb ist auch
>
> [mm]0=\lambda_{1}*v_{1}+\lambda_{2}*v_{2}+\lambda_{3}*v_3+\lambda_{3}*v_4+\lambda_{3}*v_5[/mm]
> linear Unabh. da ja [mm]\lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3}=0[/mm]
> ist.
> Stimmt das?
Ja, aus [mm]0=\lambda_{1}*v_{1}+\lambda_{2}*v_{2}+\lambda_{3}*v_3+\lambda_{3}*v_4+\lambda_{3}*v_5[/mm] folgt: [mm] \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0.
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:50 Mi 21.05.2014 | | Autor: | Skippy05 |
Was ist denn wenn z.B in der Linearkombination [mm] $\lambda_{1}=a1=a2=a3$ [/mm] ist?
Oder wenn [mm] $\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3}$=a2 [/mm] ?
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
ich hätte ein besseres Gefühl beim Antworten, wenn Du die genaue Aufgabenstellung mitgepostet hättest - schließlich will ich ja keine falschen Antworten geben.
Esgeht darum, ob eine gegebenes System von Vektoren ein Erzeugendensystem des in Deiner Aufgabe besprochenen Vektorraumes ist?
> Was ist denn wenn z.B in der Linearkombination
> [mm]\lambda_{1}=a1=a2=a3[/mm] ist?
Dann ist das Dir vorliegende System kein Erzeugendensystem, denn [mm] a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3 [/mm] kann man damit nur erzeugen für Vektoren [mm] v=a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3, [/mm] bei denen die [mm] a_i [/mm] gleich sind. Man kann etwa den Vektor [mm] 5v_1+5v_2+5v_3 [/mm] erzeugen, aber nicht den Vektor [mm] v_1.
[/mm]
>
> Oder wenn [mm]\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3}[/mm]=a2 ?
Ohne meinen Anwalt die Aufgabe sag' ich lieber nichts...
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:30 Mi 21.05.2014 | | Autor: | Skippy05 |
Hi Angela,
Vielen Dank für den herzlichen Empfang!!!
Ich hätte tatsächlich die Frage etwas anders stellen müssen.
Ich habe die anderen Aufgaben nach dem selben Prinzip ausgerechnet und bei b) nach der Auflösung der Linearkombination(LK) kommt [mm] $\lambda_{1}=a_1, \lambda_{2}=a_2 [/mm] $ und $ [mm] \lambda_3=a_3=a_4=a_5$
[/mm]
Da sich jeder Vektor v aus V als LK der 5 Vektoren schreiben lässt, erzeugt das folgende System den gesamten Vektoraum.
Bei c) sieht es nähmlich so aus:
[mm] $\lambda_1+\lambda_2=0$
[/mm]
[mm] $\lambda_2+\lambda_3=0$
[/mm]
[mm] $\lambda_4=0$
[/mm]
[mm] $\lambda_5=0$
[/mm]
Ist das System linear unabhängig? Kann ich die Werte für [mm] $\lambda_1,\lambda_2, \lambda_3$ [/mm] So lassen?
Und wenn man weiter prüft ob es ein Erzeugendensystem ist, dann komme ich auf dieses Ergebnis:
[mm] $\lambda_1+\lambda_3=a_1$
[/mm]
[mm] $\lambda_2+\lambda_3=a_2$
[/mm]
[mm] $\lambda_4=a_3$
[/mm]
[mm] $\lambda_5=a_4$
[/mm]
Und [mm] $a_5v_5$ [/mm] nicht in der LK .
Also hier ist kein Erzeugendensystem, da sich nicht alle Vektoren v aus V als LK darstellen lassen.
Ich habe aber noch Frage bzgl. [mm] $\lambda_1+\lambda_3=a_1$. [/mm]
Was ist wenn ich so ein Ergebnis bekomme?
Muss ich da was machen?
Danke!
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> Hi Angela,
>
> Vielen Dank für den herzlichen Empfang!!!
>
> Ich hätte tatsächlich die Frage etwas anders stellen
> müssen.
> Ich habe die anderen Aufgaben nach dem selben Prinzip
> ausgerechnet und bei b) nach der Auflösung der
> Linearkombination(LK) kommt [mm]\lambda_{1}=a_1, \lambda_{2}=a_2[/mm]
> und [mm]\lambda_3=a_3=a_4=a_5[/mm]
> Da sich jeder Vektor v aus V als LK der 5 Vektoren
> schreiben lässt, erzeugt das folgende System den gesamten
> Vektoraum.
Hallo,
achso, es geht um Aufgabe b).
Dort betrachtet man das System b)
$ [mm] (v_{1},v_{2},v_{3}+v_{4}+v_{5}) [/mm] $
Dieses System kann kein Erzeugendensystem von V sein: der Vektorraum V hat die Dimension 5, weshalb man schonmal ohne jede Rechnung weiß, daß ein Erzeugendensystem von V aus mindestens 5 Vektoren bestehen muß.
Daß es kein Erzeugendensystem ist, hast Du auch ausgerechnet:
wäre es ein Erzeugendensystem, dann könnte man jeden beliebigen Vektor [mm] v=a_1v_1+...+a_5v_5 [/mm] aus V schreiben als Linearkombination der drei Vektoren des Systems, also als [mm] v=\lambda_1v_1+\lambda_2v_2+\lambda_3(v_{3}+v_{4}+v_{5}).
[/mm]
Du hast ausgerechnet, daß dies funktioniert, wenn man die Lambdas so nimmt, daß
[mm] \lambda_1=a_1,
[/mm]
[mm] \lambda_2=a_2
[/mm]
[mm] \lambda_3=a_3,
[/mm]
[mm] \lambda_3=a_4
[/mm]
[mm] \lambda_3=a_5.
[/mm]
Man kann also z.B. den Vektor [mm] v=v_1+2v_2+3v_3+4v_4+5v_5 [/mm] nicht als Linearkombination schreiben, denn [mm] \lambda_3 [/mm] kann ja nicht gleichzeitig =3, =4,=5 sein.
Die drei Vektoren sind aber linear unabhängig.
>
> Bei c)
$ [mm] (v_{1},v_{2},v_{1}+v_{2},v_{3},v_{4}) [/mm] $
> sieht es nähmlich so aus:
> [mm]\lambda_1+\lambda_2=0[/mm]
Das muß [mm] \lambda_1+\lambda_{\red{3}}=0 [/mm] heißen
> [mm]\lambda_2+\lambda_3=0[/mm]
> [mm]\lambda_4=0[/mm]
> [mm]\lambda_5=0[/mm]
> Ist das System linear unabhängig?
Linear unabhängig ist das System, wenn alle [mm] \lambdas [/mm] zwingend =0 sein müssen.
Das ist hier nicht der Fall, denn es ist z.B.
[mm] \lambda_1=13
[/mm]
[mm] \lambda_2=13
[/mm]
[mm] \lambda_3=-13
[/mm]
[mm] \lambda_4=0
[/mm]
[mm] \lambda_5=0
[/mm]
eine Lösung, also ist das System nichtlinear unabhängig.
Man sieht ja auch sofort ohne Rechnung, daß der dreitte Vektor eine Linearkombination der ersten beiden ist - könnte sich eine Rechnung also sparen.
> Kann ich die Werte für
> [mm]\lambda_1,\lambda_2, \lambda_3[/mm] So lassen?
> Und wenn man weiter prüft ob es ein Erzeugendensystem
> ist, dann komme ich auf dieses Ergebnis:
> [mm]\lambda_1+\lambda_3=a_1[/mm]
> [mm]\lambda_2+\lambda_3=a_2[/mm]
> [mm]\lambda_4=a_3[/mm]
> [mm]\lambda_5=a_4[/mm]
> Und [mm]a_5v_5[/mm] nicht in der LK .
Moment!
Die Gleichung, die Du für beliebige [mm] a_i [/mm] untersuchst, lautet
[mm] a_1v_1+...+a_5v_5=\lambda_1v_1+\lambda_2v_2+\lambda_3(v_1+v_2)+\lambda_4v_3+\lambda_5v_4
[/mm]
<==>
[mm] a_1v_1+...+a_5v_5=(\lambda_1+\lambda_3)v_1+(\lambda_2+\lambda_3)v_2+\lambda_4v_3+\lambda_5v_4 [/mm] + [mm] \red{0*v_5},
[/mm]
und daraus folgt
> [mm]\lambda_1+\lambda_3=a_1[/mm]
> [mm]\lambda_2+\lambda_3=a_2[/mm]
> [mm]\lambda_4=a_3[/mm]
> [mm]\lambda_5=a_4[/mm]
[mm] \red{0=a_5},
[/mm]
und man erkennt, daß das System kein Erzeugendensystem ist, denn die letzte Gleichung ist ja nicht für jedes [mm] a_5 [/mm] wahr.
Man kann offenbar den Vektor [mm] v_5 [/mm] nicht mit dem System erzeugen, also ist es kein Erzeugendensystem.
> Also hier ist kein Erzeugendensystem, da sich nicht alle
> Vektoren v aus V als LK darstellen lassen.
Ja.
> Ich habe aber noch Frage bzgl. [mm]\lambda_1+\lambda_3=a_1[/mm].
> Was ist wenn ich so ein Ergebnis bekomme?
Wir nehmen jetzt mal - völlig unabhängig von der Aufgabe! - das Gleichungssystem
> [mm]\lambda_1+\lambda_3=a_1[/mm]
> [mm]\lambda_2+\lambda_3=a_2[/mm]
> [mm]\lambda_4=a_3[/mm]
> [mm]\lambda_5=a_4[/mm]
Dieses Gleichungssystem hat nicht nur eine Lösung, sondern viele.
Man kann [mm] \lambda_3 [/mm] beliebig wählen, muß dann halt bloß das [mm] \lambda_1 [/mm] und [mm] \lambda_2 [/mm] passend dazu wählen.
Für jedes [mm] t\in \IR [/mm] ist
[mm] \lambda_1=a_1-t
[/mm]
[mm] \lambda_2=a_2-t
[/mm]
[mm] \lambda_3=t
[/mm]
[mm] \lambda_4=a_3
[/mm]
[mm] \lambda_5=a_4
[/mm]
eine Lösung des Gleichungssystems. Es gibt also unendlich viele Lösungen.
Eine Lösung ist zB
[mm] \lambda_1=a_1-7
[/mm]
[mm] \lambda_2=a_2-7
[/mm]
[mm] \lambda_3=7
[/mm]
[mm] \lambda_4=a_3
[/mm]
[mm] \lambda_5=a_4
[/mm]
LG Angela
> Muss ich da was machen?
> Danke!
>
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:29 Mi 21.05.2014 | | Autor: | Mathe93 |
aber folgt daraus nicht das alle System die 5 oder weniger Vektoren haben linear unabhängig sind?
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> aber folgt daraus
Hallo,
woraus denn genau?
Bedenke, daß wir nicht Gedanken lesen können, und formuliere Deine Frage präzise oder zitiere, worau Du Dich beziehst.
> nicht das alle System die 5 oder weniger
> Vektoren haben linear unabhängig sind?
Ich rate mal:
Deine Basis hat 5 Vektoren, und Du denkst jetzt: weil das ein macximales linear unabhängiges System ist, sind alle Systeme mit 5 oder weniger Vektoren linear unabhängig.
Das stimmt nicht. Sei [mm] (v_1,...,v_5) [/mm] eine Basis.
Betrachte [mm] (v_1+2v_2, 2v_1+v_3, 4v_1+4v_2+v_3). [/mm] Das System ist nicht linear unabhängig. Und [mm] (v_1, v_2, v_1, v_2) [/mm] auch nicht.
LG Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:00 Mi 21.05.2014 | | Autor: | Skippy05 |
>
> Betrachte [mm](v_1+2v_2, 2v_1+v_3, 4v_1+4v_2+v_3).[/mm] Das System
> ist nicht linear unabhängig. Und [mm](v_1, v_2, v_1, v_2)[/mm]
> auch nicht.
>
> LG Angela
>
Hier stehe ich grad auf dem Schlauch, warum ist das System lin. Abbhängig?
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> >
> > Betrachte [mm](v_1+2v_2, 2v_1+v_3, 4v_1+4v_2+v_3).[/mm] Das System
> > ist nicht linear unabhängig. Und [mm](v_1, v_2, v_1, v_2)[/mm]
> > auch nicht.
> >
> > LG Angela
> >
> Hier stehe ich grad auf dem Schlauch, warum ist das System
> lin. Abbhängig?
Hallo,
über welches der beiden Systeme sprichst Du?
Hast Du gerechnet? Gibt es jeweils nur die Nullösung, oder kannst Du eine andere Lösung finden?
[mm] \lambda_1(v_1+v_2)+\lambda_2(2v_2+v_3)+\lambda_3(4v_1+4v_2+v_3)=0
[/mm]
==> ???
[mm] \lambda_1v_1+\lambda_2v_2+\lambda_3v_1+\lambda_4v_2=0
[/mm]
==> ???
(Im zweiten System ist ja offensichtlich der dritte Vektor aus den ersten beiden zu erzeugen,
und im ersten System ist das auch der Fall - aber nicht soooo offensichtlich.)
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:11 Do 22.05.2014 | | Autor: | Skippy05 |
> > > Betrachte [mm](v_1+2v_2, 2v_1+v_3, 4v_1+4v_2+v_3).[/mm] Das System
> > > ist nicht linear unabhängig. Und [mm](v_1, v_2, v_1, v_2)[/mm]
> > > auch nicht.
> Hallo,
>
> über welches der beiden Systeme sprichst Du?
> Hast Du gerechnet? Gibt es jeweils nur die Nullösung,
> oder kannst Du eine andere Lösung finden?
> [mm]\lambda_1(v_1+v_2)+\lambda_2(2v_2+v_3)+\lambda_3(4v_1+4v_2+4v_3)=0[/mm]
>
> ==> ???
Ich habe hier versucht dieses System nachzurechnen:
[mm](v_1+2v_2, 2v_1+v_3, 4v_1+4v_2+v_3).[/mm]
Bei mir kommt raus:
[mm] $(\lambda_1+2\lambda_2+4\lambda_3)*v_1+(\lambda_1+4\lambda_3)*v_2+(\lambda_2+\lambda3)*v_3=0$
[/mm]
Hier sehe ich nicht wo aus den beiden ersten Vektoren ein dritter erzeugt werden kann...
[mm] $\lambda_1+2\lambda_2+4\lambda_3=0$
[/mm]
[mm] $\lambda__1+\lambda_3=0$
[/mm]
[mm] $\lambda2+4\lambda_3=0$
[/mm]
D.h nicht linear weil [mm] $\lambda$=0 [/mm] sind, und ich kann mit 2 Vektoren kein 3 erzeugen.
Erzeugendensystem ist das auch nicht da nur 3 Vektoren involviert sind. Richtig?
>
> [mm]\lambda_1v_1+\lambda_2v_2+\lambda_3v_1+\lambda_4v_2=0[/mm]
Hier ist tatsächlich linear abhängig, sehe ich auch so.
Was ich noch fragen möchte:
Wenn ich so eine Aufgabe habe:
Wo die Basis aus [mm] ${v_1,v_2,v_3}$ [/mm] besteht
Und [mm] ($v_1+v_2,v_1+v_3,v_2+v_3)$
[/mm]
Das System ist linear unabhängig, und erzeugt den ganzen Raum.
Ich glaube ich habe alles verstanden, vielen vielen Dank!!!
> (Im zweiten System ist ja offensichtlich der dritte Vektor
> aus den ersten beiden zu erzeugen,
> und im ersten System ist das auch der Fall - aber nicht
> soooo offensichtlich.)
>
> LG Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:30 Do 22.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> > > > Betrachte [mm](v_1+2v_2, 2v_1+v_3, 4v_1+4v_2+v_3).[/mm] Das System
> > > > ist nicht linear unabhängig. Und [mm](v_1, v_2, v_1, v_2)[/mm]
> > > > auch nicht.
> > Hallo,
> >
> > über welches der beiden Systeme sprichst Du?
> > Hast Du gerechnet? Gibt es jeweils nur die Nullösung,
> > oder kannst Du eine andere Lösung finden?
>
> >
> [mm]\lambda_1(v_1+v_2)+\lambda_2(2v_2+v_3)+\lambda_3(4v_1+4v_2+4v_3)=0[/mm]
> >
> > ==> ???
>
> Ich habe hier versucht dieses System nachzurechnen:
> [mm](v_1+2v_2, 2v_1+v_3, 4v_1+4v_2+v_3).[/mm]
> Bei mir kommt raus:
>
> [mm](\lambda_1+2\lambda_2+4\lambda_3)*v_1+(\lambda_1+4\lambda_3)*v_2+(\lambda_2+\lambda3)*v_3=0[/mm]
> Hier sehe ich nicht wo aus den beiden ersten Vektoren ein
> dritter erzeugt werden kann...
> [mm]\lambda_1+2\lambda_2+4\lambda_3=0[/mm]
> [mm]\lambda__1+\lambda_3=0[/mm]
> [mm]\lambda2+4\lambda_3=0[/mm]
> D.h nicht linear
nicht linear was ?
> weil [mm]\lambda[/mm]=0 sind, und ich kann mit 2
> Vektoren kein 3 erzeugen.
> Erzeugendensystem ist das auch nicht da nur 3 Vektoren
> involviert sind. Richtig?
Wir haben
[mm]\lambda_1+2\lambda_2+4\lambda_3=0[/mm]
[mm]\lambda_1+\lambda_3=0[/mm]
[mm]\lambda_2+4\lambda_3=0[/mm]
Rechne nach, dass folgt: [mm] \lambda_1= \lambda_2= \lambda_3=0
[/mm]
D.h.: das System $ [mm] (v_1+2v_2, 2v_1+v_3, 4v_1+4v_2+v_3)$ [/mm] ist linear unabhängig.
Ein Erzeugendensystem ist es nicht
FRED
>
> >
> > [mm]\lambda_1v_1+\lambda_2v_2+\lambda_3v_1+\lambda_4v_2=0[/mm]
>
> Hier ist tatsächlich linear abhängig, sehe ich auch so.
>
> Was ich noch fragen möchte:
> Wenn ich so eine Aufgabe habe:
> Wo die Basis aus [mm]{v_1,v_2,v_3}[/mm] besteht
> Und ([mm]v_1+v_2,v_1+v_3,v_2+v_3)[/mm]
> Das System ist linear unabhängig, und erzeugt den ganzen
> Raum.
> Ich glaube ich habe alles verstanden, vielen vielen
> Dank!!!
>
>
>
> > (Im zweiten System ist ja offensichtlich der dritte Vektor
> > aus den ersten beiden zu erzeugen,
> > und im ersten System ist das auch der Fall - aber nicht
> > soooo offensichtlich.)
> >
> > LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:12 Do 22.05.2014 | | Autor: | Skippy05 |
> Wir haben
>
> [mm]\lambda_1+2\lambda_2+4\lambda_3=0[/mm]
>
> [mm]\lambda_1+\lambda_3=0[/mm]
>
> [mm]\lambda_2+4\lambda_3=0[/mm]
>
> Rechne nach, dass folgt: [mm]\lambda_1= \lambda_2= \lambda_3=0[/mm]
>
> D.h.: das System [mm](v_1+2v_2, 2v_1+v_3, 4v_1+4v_2+v_3)[/mm] ist
> linear unabhängig.
>
> Ein Erzeugendensystem ist es nicht
>
> FRED
Ooo du hast absolut recht alle [mm] $\lambda=0 [/mm] $ sind. Ich danke dir für den Hinweis!!!!
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> Ich habe hier versucht dieses System nachzurechnen:
> [mm](v_1+2v_2, 2v_1+v_3, 4v_1+4v_2+v_3).[/mm]
> Bei mir kommt raus:
>
> [mm](\lambda_1+2\lambda_2+4\lambda_3)*v_1+(\lambda_1+4\lambda_3)*v_2+(\lambda_2+\lambda3)*v_3=0[/mm]
Hallo,
das ist falsch, und u.a. deshalb stimmt auch Dein LGS nicht.
> [mm]\lambda_1+2\lambda_2+4\lambda_3=0[/mm]
> [mm]\lambda_1+\lambda_3=0[/mm]
> [mm]\lambda2+4\lambda_3=0[/mm]
Es muß heißen
[mm] (\lambda_1+2\lambda_2+4\lambda_3)*v_1+(\red{2}\lambda_1+4\lambda_3)*v_2+(\lambda_2+\lambda_3)*v_3=0[/mm]
[/mm]
[mm]\lambda_1+2\lambda_2+4\lambda_3=0[/mm]
[mm]\red{2}\lambda_1+\red{4}\lambda_3=0[/mm]
[mm]\lambda_2+\red{1}\lambda_3=0[/mm],
und wenn Du das löst, stellst Du fest, daß es mehr als eine Lösung gibt.
Zur Lösung des LGS:
wenn es dran war, mit dem Gauß-Algorithmus,
ansonsten z.B. mit dem Elimationsverfahren:
I. [mm]\lambda_1+2\lambda_2+4\lambda_3=0[/mm]
II. [mm]\red{2}\lambda_1+\red{4}\lambda_3=0[/mm]
III. [mm]\lambda_2+\red{1}\lambda_3=0[/mm] [mm] \qquad [/mm] ==> [mm] \lambda_2=-\lambda_3
[/mm]
[mm] \lambda_2=-\lambda_3 [/mm] in I. und II.:
I'. [mm]\lambda_1+2\lambda_3=0[/mm] [mm] \qquad [/mm] ==> [mm] \lambda_1=-2\lambda_3
[/mm]
II'. [mm]\red{2}\lambda_1+\red{4}\lambda_3=0[/mm]
[mm] \lambda_1=-2\lambda_3 [/mm] in II'.:
III''. 0=0
An dieser Stelle lernen wir:
wir können [mm] \lambda_3 [/mm] beliebig wählen, denn kein [mm] \lambda_3 [/mm] der Welt kann die der richtigkeit Gleichung 0=0 verderben.
Wählen wir [mm] \lambda_3 [/mm] beliebig, so bekommen wir eine Lösung des Systems, wenn wir dann [mm] \lambda_1=-2\lambda_3 [/mm] und [mm] \lambda_2=-\lambda_3 [/mm] nehmen.
Eine Lösung wäre z.B.
[mm] \lambda_3=17, \lambda_2=-17, \lambda_1=-34,
[/mm]
und in der Tat ist [mm] -34(v_1+2v_2)-17(2v_1+v_3)+17(4v_1+4v_2+v_3)=0.
[/mm]
Also ist das System nicht linear unabhängig. Es ist linear abhängig.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:46 Fr 23.05.2014 | | Autor: | Skippy05 |
Hallo,
Danke für die Korrektur, mir ist wahrscheinlich ein Tippfehler passiert, und so kam es zur Verwirrung...
Ich habe alles nachgerechnet und verstanden,du hast alles super erklärt!!!
LG
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