Vektorraum harmonischer Funkt. < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ist U eine nicht-leere offene Teilmenge von [mm] \IR^n [/mm] mit n [mm] \ge [/mm] 2 und H(U) die Menge der hamonischen Funktion [mm] F:U->\IR, [/mm] so ist H(U) ein unendlich-dimensionaler reeller Vektorraum.
Definition Harmonisch: Ist U offen in [mm] \IR^n [/mm] und [mm] F:U->\IR [/mm] von der Klasse [mm] C^2, [/mm] so definiert man
[mm] \Delta [/mm] f:U [mm] \mapsto \R [/mm] durch
[mm] \Delta [/mm] f(x) := [mm] \summe_{i=1}^{n} D^{2}_{i} [/mm] f(x)
Eine Funktion heißt harmonisch, wenn [mm] \Delta [/mm] f = 0 |
Ich hab gerade bei dem Part, das ich zeigen muss, das H(U) ein Vektorraum ist Probleme, bzw ein Verständnisproblem? Ist das nicht vollkommen trivial?
Um zu zeigen, das die Menge der Funktion ein Vektorraum bildet, muss ich ja entsprechende Axiome aufweisen.
So fange ich an:
Zu Zeigen (H(U), +, *) ist ein Vektorraum über dem Körper [mm] \IR
[/mm]
+ : H(U) [mm] \times [/mm] H(U) [mm] \mapsto [/mm] H(U) [mm] \qquad [/mm] +(u,v)=u+v
* : K [mm] \times [/mm] H(U) [mm] \mapsto [/mm] H(U) [mm] \qquad *(\lambda, [/mm] u) = [mm] \lambda [/mm] * u
Nun gilt es entsprechende Axiome zu zeigen: Assoziativität, Existenz eines Nullelementes, Kommutativität, Distributitivät, Existenz des Einselementes. Mein konkretes Problem ist nun: Ist das Nachweisen der einzelnen 8 Axiome nicht komplett trivial, bzw ich gedenke den Nachweis des Vektorraums machen zu können, ohne das ich verwende, das die Funktionen harmonisch sind:
i) Assozitivität zeigen:
a,b [mm] \in [/mm] H(U): a+b = b+a (weil a und b auf [mm] \IR [/mm] abbilden und [mm] \IR [/mm] Körper ist)
ii) Existenz des Nullelementes
[mm] 0_V \in [/mm] H(U). Es gilt
[mm] 0_V [/mm] + a = a = a + [mm] 0_V \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] H(U)
iii) [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] H(U) existiert -a [mm] \in [/mm] H(U)
Stimmt, da a auf [mm] \IR [/mm] abbildet und -a [mm] \in \IR. [/mm] Hier könnte ich noch zeigen, das -a [mm] \in [/mm] H(U), was aber auch ein Einzeiler ist, da ich mit der Faktorregel aus -a = (-1) * a mache und weil a [mm] \in [/mm] H(U) liegt, folgt dann daraus, wenn ich [mm] \Delta [/mm] anwende, [mm] \Delta [/mm] -a = (-1) * [mm] \Delta [/mm] a = (-1) * 0 = 0 ist.
usw.
Das kommt mir alles so leicht vor. Was mache ich falsch?
Mein erster Gedanke war, das ich die Assoziativität von (a+b)+c = a+(b+c) über das [mm] \Delta [/mm] zeige, aber dann zeige ich ja leider was ganz anderes. Als nächstes kamen mir halt die o.g. Gedanken.
Ich könnte alternativ auch zeigen, das H(U) ein Untervektorraum des Vektorraums der stetigen Funktionen ist (das kann ich), jedoch haben wir in der Vorlesung nie gesagt, das [mm] C^0 [/mm] ein Vektorraum ist. Drum fällt dieser Ansatz erstmal flach.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Mi 26.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:07 Mi 26.05.2010 | | Autor: | Soinapret |
Ich habe mittlerweile Rücksprache mit dem Dozenten gehalten, die Aufgabe war echt so trivial wie ich dachte.
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