Vektorraum linear < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Betrachten Sie den Vektorraum K[t][mm] _{\le n} [/mm] = ( p [mm] \in [/mm] K[t]deg(p) [mm] \le [/mm] n ) und die, durch die Ableitung nach t gegebene Abbildung
f: K[t][mm] _{\le n} \to [/mm] K[t][mm] _{\le n},
[/mm]
[mm] a_{n}t^n [/mm] + [mm] a_{n-1}t^{n-1} [/mm] + ... + [mm] a_{1}t [/mm] + [mm] a_{0} \to (n-1)a_{n-1}t^{n-2} [/mm] + ... + [mm] 2a_{2}t [/mm] + [mm] a_{1}
[/mm]
Z.z.: Abbildung linear und bestimme Kern und Bild von f. |
Hallo,
ich habe hier eine Aufgabe aus Lineare Algebra I.
Linearität zeigen:
Dann muss ich diese Axiome nachweisen
f(v+w) = f(v) + f(w) [mm] \forall [/mm] v,w [mm] \in [/mm] V
f(kv) = k f(v) [mm] \forall [/mm] v [mm] \in [/mm] V, [mm] \forall [/mm] k [mm] \in [/mm] K
Ich würde dass gerne mal nachweisen, aber ich versteh noch nicht mal die Funktion. Wir hatten es mit einfacheren gemacht, wo man es nur nachrechnen musste.
Kern und Bild von f:
Bei Kern müsste ich glaube die rechte Seite gleich Null setzen und dann auflösen??? Stimmt das?
Und wie gehe ich beim Bild vor???
Vielen Dank für die Hilfe schonmal.
|
|
| |
|
Hallo mathestudent111,
> Betrachten Sie den Vektorraum K[t][mm] _{\le n}[/mm] = ( p [mm]\in[/mm] K[t]deg(p) [mm]\le[/mm] n ) und die, durch die Ableitung nach t gegebene Abbildung
>
> f: K[t][mm] _{\le n} \to[/mm] K[t][mm] _{\le n},[/mm]
> [mm]a_{n}t^n[/mm] + [mm]a_{n-1}t^{n-1}[/mm] + ... + [mm]a_{1}t[/mm] + [mm]a_{0} \to (n-1)a_{n-1}t^{n-2}[/mm] + ... + [mm]2a_{2}t[/mm] + [mm]a_{1}[/mm]
>
> Z.z.: Abbildung linear und bestimme Kern und Bild von f.
> Hallo,
> ich habe hier eine Aufgabe aus Lineare Algebra I.
>
> Linearität zeigen:
> Dann muss ich diese Axiome nachweisen
> f(v+w) = f(v) + f(w) [mm]\forall[/mm] v,w [mm]\in[/mm] V
> f(kv) = k f(v) [mm]\forall[/mm] v [mm]\in[/mm] V, [mm]\forall[/mm] k [mm]\in[/mm] K
>
> Ich würde dass gerne mal nachweisen, aber ich versteh noch nicht mal die Funktion. Wir hatten es mit einfacheren gemacht, wo man es nur nachrechnen musste.
Nun, beachte, dass die Vektoren $v,w$ hier Polynome höchstens n-ten Grades sind, vllt. nennen wir sie der besseren Übersicht halber $p,q$
Für 1) hast du also mit [mm] $p(t)=a_nt^n+a_{n-1}t^{n-1}+\ldots+a_1t+a_0$ [/mm] und [mm] $q(t)=b_nt^n+b_{n-1}t^{n-1}+\ldots+b_1t+b_0$ [/mm] zu zeigen, dass $f((p+q)(t))=f(p(t))+f(q(t))$ ist.
Also $(p+q)'(t)=p'(t)+q'(t)$
Das ist ie Linearität der Ableitung, die du zeigen sollst.
Rechne es geradeheraus aus.
Berechne zunächst $(p+q)(t)$, leite das ab und vergleiche mit der Summe der Ableitungen $p'(t)+q'(t)$ ...
Analog für die Mult. mit Skalaren
>
>
> Kern und Bild von f:
> Bei Kern müsste ich glaube die rechte Seite gleich Null setzen und dann auflösen??? Stimmt das?
>
> Und wie gehe ich beim Bild vor???
Bestimme für beides am besten mal die Abbildungsmatrix bzgl. der Standardbasen, dann kannst du alles ablesen ...
>
>
> Vielen Dank für die Hilfe schonmal.
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Okay super. Das habe ich jetzt hinbekommen.
Für die Mult. mit Skalaren habe ich:
f( (kp) (t) ) = k f( (p) (t) ) [mm] \forall [/mm] p [mm] \in [/mm] K[t] , k [mm] \in [/mm] K
[mm] \Rightarrow [/mm] (kp)' (t) = k (p)' (t)
trival, da k eine Konstante ist und sie rausziehen kann.
Kann man dass so schreiben??
Also, die Standardbasen der Polynome sind :
[mm] B_{v} [/mm] = {1, t, [mm] t^2, [/mm] ...., [mm] t^{n} [/mm] }
[mm] B_{w} [/mm] = {1, t, [mm] t^2,..., t^{n+1} [/mm] }
Nun bestimme ich die Abbildungsmatrix bzgl. der Standardbasen.
Welche Bezeichnung hat denn diese nomalerweise???
Ich muss jetzt doch [mm] f(B_{v}) [/mm] also Linearkomb. von [mm] B_{v} [/mm] und [mm] B_{w} [/mm] darstellen oder???
Wenn das richtig ist, was ist denn [mm] f(B_{v})? [/mm] Wie setze ich dass ein?
Und muss ich noch [mm] f(B_{w}) [/mm] berechnen`????
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Okay super. Das habe ich jetzt hinbekommen.
>
> Für die Mult. mit Skalaren habe ich:
>
> f( (kp) (t) ) = k f( (p) (t) ) [mm]\forall[/mm] p [mm]\in[/mm] K[t] , k [mm]\in[/mm] K
Das sollst du ja zeigen, daraus kannst du nix folgern ...
> [mm]\Rightarrow[/mm] (kp)' (t) = k (p)' (t)
>
> trival, da k eine Konstante ist und sie rausziehen kann.
> Kann man dass so schreiben??
Schreibe doch [mm](kp)(t)[/mm] mal konkret hin und leite ab, vergleiche das dann mit [mm]kf(t)[/mm]
>
>
> Also, die Standardbasen der Polynome sind :
> [mm]B_{v}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= {1, t, [mm]t^2,[/mm] ...., [mm]t^{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
> [mm]B_{w}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= {1, t, [mm]t^2,..., t^{n+1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
Was ist [mm]V[/mm], was [mm]W[/mm] ??
Der Urbildraum hat Dimension [mm]n+1[/mm], da hast du die Standardbasis korrekt. Nenne sie [mm]\mathcal B[/mm]
Aber der Zielraum ist doch [mm]\mathbb{K}[t]_{\le n-1}[/mm]
Wenn du Polynome vom Grad [mm]\le n[/mm] ableitest, kommen doch Polynome mit Höchstgrad [mm]n-1[/mm] dabei heraus ...
Standardbasis im Zielraum ist also [mm]\mathcal{C}=\{1,t,\ldots,t^{n-1}\}[/mm]
>
> Nun bestimme ich die Abbildungsmatrix bzgl. der Standardbasen.
> Welche Bezeichnung hat denn diese nomalerweise???
Keine Ahnung, wie ihr das bezeichnet?! [mm]A_{\mathcal B}^{\mathval C}[/mm] ??
>
> Ich muss jetzt doch [mm]f(B_{v})[/mm] also Linearkomb. von [mm]B_{v}[/mm] und [mm]B_{w}[/mm] darstellen oder???
> Wenn das richtig ist, was ist denn [mm]f(B_{v})?[/mm] Wie setze ich dass ein?
>
> Und muss ich noch [mm]f(B_{w})[/mm] berechnen'????
Du musst die Bilder der Basisvektoren aus [mm]\mathcal B[/mm] (unter f) bestimmen und dann als LK der Basisvektoren aus [mm]\mathcal C[/mm] darstellen. Die Koeffizienten, die in diesen LKen auftreten stopfst du als Spaltenvektoren in die gesuchte Matrix.
Dieses Prozedere angewandt auf den i-ten Basisvektor von [mm]\mathcal B[/mm] liefert die i-te Spalte der Abbildungsmatrix
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Ah okay. Ich habe dass so jetzt verstanden.
B = {1, t, [mm] t^2,..., t^n [/mm] }
C = {1, t, [mm] t^2,..., t^{n-1} [/mm] }
Dann B in f abbilden lassen???
Da ist mein Problem, was kommt denn raus???
Und dann als LK der Basisvektoren aus C darstellen!!!!
Nochmal danke für deine Geduld, schachuzipus.
|
|
|
| |
|
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo nochmal,
> Ah okay. Ich habe dass so jetzt verstanden.
>
> B = {1, t, [mm]t^2,..., t^n[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
> C = {1, t, [mm]t^2,..., t^{n-1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
>
> Dann B in f abbilden lassen???
Was heißt das?
> Da ist mein Problem, was kommt denn raus???
Ich habe doch ausführlichst geschrieben, wie das nun geht ...
Der $\red{1.}$ Basisvektor aus [mm]\mathcal B[/mm] ist [mm]1[/mm]
[mm]f(1)=0=\blue{0}\cdot{}1+\blue{0}\cdot{}t+\ldots+\blue{0}\cdot{}t^{n-1}[/mm]
Die 1. Spalte der Abbilgungsmatrix lautet also [mm]\blue{\vektor{0\\
0\\
\vdots\\
0}}[/mm]
Der 2. Basisvektor aus [mm]\mathcal B[/mm] ist [mm]t[/mm]
[mm]f(t)=1=\blue{1}\cdot{}1+\blue{0}\cdot{}t+\ldots+\blue{0}\cdot{}t^{n-1}[/mm]
Die 2. Spalte lautet also [mm]\blue{\vektor{1\\
0\\
\vdots\\
0}[/mm]
usw.
So, nun die Preisfrage:
Welches Format hat eigentlich die Abbildungsmatrix? Wieviele Zeilen, wieviele Spalten?
>
> Und dann als LK der Basisvektoren aus C darstellen!!!!
>
> Nochmal danke für deine Geduld, schachuzipus.
Jo, Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Die Abbildungsmatrix müsste dann (n+1) Zeilen und Spalten haben.
Diese Matrix ist ja dann schon in Zeilenstufenform, aber wie kann ich denn den Kern angeben???
Und wie ist es mit dem Bild???
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Die Abbildungsmatrix müsste dann (n+1) Zeilen und Spalten
> haben.
Nein, das war der Zonk!
Wie kann das denn hinkommen?
Wir haben doch festgestellt, dass der Urbildraum [mm]K[t]_{\le n}[/mm]
die Dimension n+1 hat und der Zielraum [mm]K[t]_{\le n-1}[/mm] die Dimension n
Und die Abbildungsmatrix einer linearen Abb. von einem $k$-dimensionalen VR in einen $m$-dimensionalen VR ist (bzgl. gegebener Basen) vom Format [mm] $m\times [/mm] k$
In den LKen sind doch nur $n$ Summanden, wie soll das in eine $n+1$- elementige Spalte passen?
>
> Diese Matrix ist ja dann schon in Zeilenstufenform,
Ja!
> aber wie kann ich denn den Kern angeben???
Schreibe die Matrix konkret auf (mit Pünktchen) - ich möchte 4 Spalten sehen ...
Dann kannst du den Kern ablesen, der ist $x$-dimensional (was ist x?)
Das Bild dann entsprechend dem Dimensionssatz $y$-dimens., also ...
Die Spaltenvektoren spannen das Bild auf, das kannst du ebenso ablesen!
>
> Und wie ist es mit dem Bild???
s.o.
Schreibe mal die Matrix hin ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
[mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 & ... & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & ... & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & ... & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... & ... & n \\ 0 & 0 & 0 & 0 & ... & 0 \\ }
[/mm]
Das müsste jetzt die Matrix sein.
So und wie ist das "Rezept" Bild und Kern dieser Matrix abzulesen??
Bild wäre doch span [mm] <\vektor{0 \\ ... \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ ... \\ 0},.... ,\vektor{0 \\ ... \\ n} [/mm] > Also alle Spaltenvektoren?? Weil sie alle lin unab. sind... Stimmt das??
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> [mm]\pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 & ... & 0 \\
0 & 0 & 2 & 0 & ... & 0 \\
0 & 0 & 0 & 3 & ... & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & ... & 0 \\
... & ... & ... & ... & ... & n \\
0 & 0 & 0 & 0 & ... & 0 \\
}[/mm]
>
> Das müsste jetzt die Matrix sein.
Nein, deine Matrix ist doch vom Format [mm](n+1)\times (n+1)[/mm].
Wie suchen eine vom Format [mm]n\times (n+1)[/mm] !
[mm]A=\pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\
0 & 0 & 2 & 0 & \ldots & 0 \\
0 & 0 & 0 & 3 & \ldots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & n }[/mm]
>
> So und wie ist das "Rezept" Bild und Kern dieser Matrix
> abzulesen??
Na, du hast doch [mm]x_1=\alpha\in\IK[/mm] bel. und [mm]x_2=x_3=\ldots=x_{n+1}=0[/mm]
Also [mm]\operatorname{kern}(A)=\left\langle\vektor{1\\
0\\
0\\
\vdots\\
0}\right\rangle}[/mm]
Also ist der Kern eindimensional.
Preisfrage: Wieviele Einträge hat der obige Basisvektor und was bedeutet er zurückübersetzt in die Sprache der Polynome?
Und passt das zu unserer Vorstellung?
Welche Polynome höchstens [mm]n[/mm]-ten Grades werden unter [mm]f[/mm] auf das Nullpolynom abgebildet?
>
> Bild wäre doch span [mm]<\vektor{0 \\
... \\
0}, \vektor{0 \\
1 \\
... \\
0},.... ,\vektor{0 \\
... \\
n}[/mm]
Oha, Vektoren unterschiedlichen Formats?
> > Also alle Spaltenvektoren??
Nein!
> Weil sie alle lin unab. sind...
Jede Menge von Vektoren, die den Nullvektor enthält, ist linear abh. !!
Überlege dir zunächst nochmal, welche Dimension das Bild haben muss, dann kannst du sicher passende Spaltenvektoren aus [mm]A[/mm] auswählen ...
> Stimmt das??
Noch nicht
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
> Hallo nochmal,
>
>
> > [mm]\pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 & ... & 0 \\
0 & 0 & 2 & 0 & ... & 0 \\
0 & 0 & 0 & 3 & ... & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & ... & 0 \\
... & ... & ... & ... & ... & n \\
0 & 0 & 0 & 0 & ... & 0 \\
}[/mm]
>
> >
> > Das müsste jetzt die Matrix sein.
>
> Nein, deine Matrix ist doch vom Format [mm](n+1)\times (n+1)[/mm].
>
> Wie suchen eine vom Format [mm]n\times (n+1)[/mm] !
Hallo,
vielleicht hab' ich etwas verpaßt, weil ich nicht jeden Beitrag studiert habe.
Aber in der Aufgabenstellung steht, daß man f als Abbildung aus dem [mm] K[X]_{\le n} [/mm] in den [mm] K[X]_{\le n} [/mm] betrachtet, und wenn man das tut, ist die Matrix oben goldrichtig.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Hallo Angela,
>
> > Hallo nochmal,
> >
> >
> > > [mm]\pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 & ... & 0 \\
0 & 0 & 2 & 0 & ... & 0 \\
0 & 0 & 0 & 3 & ... & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & ... & 0 \\
... & ... & ... & ... & ... & n \\
0 & 0 & 0 & 0 & ... & 0 \\
}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Das müsste jetzt die Matrix sein.
> >
> > Nein, deine Matrix ist doch vom Format [mm](n+1)\times (n+1)[/mm].
>
> >
> > Wie suchen eine vom Format [mm]n\times (n+1)[/mm] !
>
> Hallo,
>
> vielleicht hab' ich etwas verpaßt, weil ich nicht jeden
> Beitrag studiert habe.
> Aber in der Aufgabenstellung steht, daß man f als
> Abbildung aus dem [mm]K[X]_{\le n}[/mm] in den [mm]K[X]_{\le n}[/mm]
Oh, jetzt, wo du es sagst ...
@ mathestudent:
![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") , hatte das anders gelesen/interpretiert.
Aber du kannst die kleinen nötigen Modifikationen sicher anpassen und meine Antworten "zuschneiden" 
Zur Bestimmung von Bild und Kern hat dir Fred ja auch eine probate Alternative gezeigt ...
> betrachtet, und wenn man das tut, ist die Matrix oben
> goldrichtig.
Ja, wer lesen kann, ist klar im Vorteil ...
>
> Gruß v. Angela
>
Danke und Gruß zurück!
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:01 Mi 06.07.2011 | | Autor: | fred97 |
Die Bestimmung von Kern und Bild geht doch ganz einfach so:
1. $ p [mm] \in [/mm] kern(f) ~~ [mm] \gdw [/mm] ~~ f(p)=0 ~~ [mm] \gdw [/mm] ~~ p'=0 ~~ [mm] \gdw [/mm] ~~ p $ ist konstant
2. Klar ist:
(*) [mm] bild(f) \subseteq K[t]_{ \le n-1}[/mm]
Nun sei) [mm]q \in K[t]_{ \le n-1}[/mm] und Q eine (formale) Stammfunktion von q. Dann ist
[mm]Q \in K[t]_{ \le n}[/mm]
und
f(Q)=q.
Mit (*) erhalten wir:
[mm]bild(f) = K[t]_{\le n-1}.[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
Super. danke an euch allen. Jetzt habe ich es fertig bekommen.
|
|
|
|
