Vektorraum, lineare Unabhängig < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:39 Sa 22.12.2007 | | Autor: | zolushka |
| Aufgabe | Es sei K ein Körper und [mm] {u_1, ...u_n} [/mm] eine linear unabhängige Teilmenge eines K-Vektorraumes V. Zeige: Für u= [mm] a_1*u_1+ ...+a_n*u_n [/mm] (mit [mm] a_i [/mm] aus K) ist die Menge
[mm] {u_1- u, u_2- u, ...u_n- u}
[/mm]
genau dann linear abhängig, wenn [mm] a_1+ ...+a_n [/mm] = 1 ist. |
[mm] lambda_1* (u_1- [/mm] u )+ [mm] lambda_2* (u_2- [/mm] u)+ ...+ [mm] lambda_n* (u_n-u) \not [/mm] 0 das ist dann linear abhängig.
u setze ich ein ..
[mm] lambda_1* (u_1- (a_1*u_1+ ...+a_n*u_n)) [/mm] + ... [mm] lambda_n* (u_n [/mm] - [mm] (a_1*u_1+ ...+a_n*u_n)) \not= [/mm] 0
ich versuche dann [mm] a_1+ ...+a_n [/mm] aus der gleichung herauszuheben aber es klappt irgendwie nicht...vllt mein rechenweg ist falsch, hat jemand ein Tipp für mich ?
mein rechenweg:
[mm] lambda_1* u_1- lamda_1(a_1*u_1+ ...+a_n*u_n)+ [/mm] ...+ [mm] lambda_n* u_n- lambda*(a_1*u_1+ ...+a_n*u_n) \not= [/mm] 0
[mm] (a_1*u_1+ ...+a_n*u_n)* [/mm] (- [mm] lambda_1- [/mm] ...- [mm] lambda_n) [/mm] + [mm] lambda_1* u_1 [/mm] + [mm] ...lambda_n* u_n \not [/mm] 0
weiter komme ich nicht !
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:49 Sa 22.12.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo und
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Du hast ungeschickt aufgelöst:
[mm] (\lambda_1-\lambda_1*(a1+a2+...+an))*u1+.....(\lambda_n-\lambda_n*(a1+a2+...+an))*u_n=0
[/mm]
und die ln Unabh. der [mm] u_i [/mm] ausnutzen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:04 Sa 22.12.2007 | | Autor: | zolushka |
Hallo und
Danke für die nette Begrüßung!
[mm](\lambda_1-\lambda_1*(a1+a2+...+an))*u1+.....(\lambda_n-\lambda_n*(a1+a2+...+an))*u_n=0[/mm]
das haben Sie geschrieben und wenn ich nicht falsch verstehe, so beweise ich genau das Gegenteil, nämlich dass es linear unabhängig ist, wenn
[mm]a1+ ...an =1[/mm]
[mm](\lambda_1- \lambda_1)*u1+ ...+ (\lambda_n-\lambda_n)*u_n= 0[/mm]
so ist die Gleichung linear unabhängig ;( glaube ich ..
inzwischen meine lösung wäre
[mm](\lambda_1- (\lambda_1+...+\lambda_n)* a1)u1+ ...+ (\lambda_n- ((\lambda_1+...+\lambda_n)* a1)un = 0 [/mm]
ich versuche erst zu beweisen, dass es linear unabhängig ist. Aber damit es ausgeht muss
[mm]\lambda_i= (\lambda_1+...+\lambda_n)* ai)[/mm] sein
ich weiß nur nicht, warum es nicht sein könnte,
Meine Begründung wäre
[mm]\lambda_1= (\lambda_1+ ...+ \lambda_n)* a1)[/mm]
Können Sie mir Bitte weiter behilflich sein!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:35 Sa 22.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Wir duzen uns hier alle, nur so ganz nebenbei 
> [mm](\lambda_1-\lambda_1*(a1+a2+...+an))*u1+.....(\lambda_n-\lambda_n*(a1+a2+...+an))*u_n=0[/mm]
> das haben Sie geschrieben und wenn ich nicht falsch
> verstehe, so beweise ich genau das Gegenteil, nämlich dass
> es linear unabhängig ist, wenn
> [mm]a1+ ...an =1[/mm]
Hier muss man genau aufpassen, was man meint.
Die ursprüngliche Gleichung war:
[mm] \lambda_1 (u_1-u) + \dots + \lambda_n (u_n-u) = 0 [/mm]
Wenn diese Gleichung nur die Lösung [mm]\lambda_1=\dots=\lambda_n=0[/mm] hat, dann sind die Vektoren [mm]u_1-u,\dots,u_n-u[/mm] linear unabhängig.
Durch Umformung ergibt sich die Gleichung
[mm](\lambda_1-\lambda_1*(a_1+a_2+\dots+a_n))*u_1+\dots+(\lambda_n-\lambda_n*(a_1+a_2+\dots+a_n))*u_n=0[/mm]
Wir wissen aber schon, dass die Vektoren [mm]u_1,\dots,u_n[/mm] linear unabhängig sind, dass also diese Gleichung nur die Lösung
[mm] (\lambda_1-\lambda_1*(a_1+a_2+\dots+a_n)) = \dots = (\lambda_n-\lambda_n*(a_1+a_2+\dots+a_n))=0[/mm]
[mm]\gdw[/mm]
[mm] \lambda_1(1-(a_1+a_2+\dots+a_n))= \dots = \lambda_n(1-(a_1+a_2+\dots+a_n))=0[/mm]
hat.
An dieser Stelle muss man unterscheiden, ob [mm]a_1+a_2+\dots+a_n=1[/mm] oder nicht. Was kann man jeweils über die [mm]\lambda_1,\dots,\lambda_n[/mm] aussagen?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:30 Sa 22.12.2007 | | Autor: | zolushka |
Hallo und Danke,
eine super tolle Erklärung... mein PROBLEM ??
wie kommt man denn auf diese Gleichung, durch versch. Umformung schaffe ich es einfach nicht...
[mm](\lambda_1-\lambda_1*(a1+a2+...+an))*u1+.....(\lambda_n-\lambda_n*(a1+a2+...+an))*u_n=0[/mm]
Nach meinem Rechenweg komme ich höchstens auf
[mm](\lambda_1- (\lambda_1+...+\lambda_n)* a1)u1+ ...+ (\lambda_n- ((\lambda_1+...+\lambda_n)* an)un = 0[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:05 Sa 22.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo und Danke,
>
> eine super tolle Erklärung... mein PROBLEM ??
>
> wie kommt man denn auf diese Gleichung, durch versch.
> Umformung schaffe ich es einfach nicht...
>
> [mm](\lambda_1-\lambda_1*(a1+a2+...+an))*u1+.....(\lambda_n-\lambda_n*(a1+a2+...+an))*u_n=0[/mm]
>
> Nach meinem Rechenweg komme ich höchstens auf
>
> [mm](\lambda_1- (\lambda_1+...+\lambda_n)* a1)u1+ ...+ (\lambda_n- ((\lambda_1+...+\lambda_n)* an)un = 0[/mm]
Ah, ich sehe das Problem... irgendwie schaffe ich es im Moment auch nicht. ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Ist aber nicht schlimm, mit deiner Gleichung geht's auch: mit der linearen Unabhängigkeit der [mm]u_i[/mm] hast du die n Gleichungen
(*) [mm] \lambda_i- (\lambda_1+\dots+\lambda_n)* a_i = 0[/mm], [mm]i=1,\dots,n[/mm]
oder:
[mm] (\lambda_1+\dots+\lambda_n)* a_i = \lambda_i [/mm]
Wenn ich das von i=1 bis n summiere, steht da:
[mm] (\lambda_1+\dots+\lambda_n)*(a_1+\dots+a_n) = \lambda_1+\dots+\lambda_n[/mm].
oder:
[mm] (\lambda_1+\dots+\lambda_n)*(a_1+\dots+a_n-1) = 0 [/mm].
Wenn nun [mm]a_1+\dots+a_n\not=1 [/mm] ist, folgt [mm]\lambda_1+\dots+\lambda_n=0[/mm] und damit aus (*), dass alle [mm]\lambda_i=0[/mm] sind.
Das heisst: aus [mm]a_1+\dots+a_n\not=1 [/mm] folgt lineare Unabhängigkeit, im Umkehrschluss folgt aus der linearen Abhängigkeit, dass [mm]a_1+\dots+a_n=1 [/mm] ist.
Damit ist die eine Richtung bewiesen.
Kannst du die andere Richtung alleine? (Tipp: wenn die [mm]u_i-u[/mm] linear abhängig sind, dann kannst du mindestens einen der Vektoren als Linearkombination der anderen schreiben, zum Beispiel
[mm] u_n - u = \mu_1 (u_1 -u ) + \dots + \mu_n-1 (u_{n-1}-u) [/mm]
und daraus Bedingung herleiten.)
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:02 So 23.12.2007 | | Autor: | zolushka |
> Kannst du die andere Richtung alleine? (Tipp: wenn die
> [mm]u_i-u[/mm] linear abhängig sind, dann kannst du mindestens einen
> der Vektoren als Linearkombination der anderen schreiben,
> zum Beispiel
>
> [mm]u_n - u = \mu_1 (u_1 -u ) + \dots + \mu_n-1 (u_{n-1}-u)[/mm]
>
> und daraus Bedingung herleiten.)
>
ich bin so begeistert,...
Also die andere Richtung
[mm]u_n - (a1*u1+ ...+ an*un) = \mu_1 (u_1 - (a1*u1+ ...+ an*u1))+ ...+ \mu_n-1(u_n-1- (a1*u1+ ...+ an*un))[/mm]
[mm](a1*u1+ ...+ an*un)*(\mu_1+ ...+ \mu_n-1 -1) = \mu_1* u_1+...+ \mu_n-1* u_n-1- u_n[/mm]
[mm](\mu_1+ ...+ \mu_n-1 -1)*a1*u1+ ...+ (\mu_1+ ...+ \mu_n-1 -1)* an*un = \mu_1* u_1+...+ \mu_n-1* u_n-1- u_n[/mm]
[mm](\mu_1+ ...+ \mu_n-1 -1)*a1+ ...+ (\mu_1+ ...+ \mu_n-1 -1)* an= \mu_1+ ...+ \mu_n-1 -1[/mm]
[mm](\mu_1+ ...+ \mu_n-1 -1)*a_i= \mu_1+ ...+ \mu_n-1 -1[/mm]
Daraus folgt [mm] \summe_{i=1}^{n} a_i [/mm] = 1. Bewiesen !
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